必修13.3指数函数的图像和性质一课一练

指数函数的图像与性质

[A组　学业达标]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．R  B．(－∞，2]

C．[2，＋∞)  D．(0，＋∞)

解析：由2－x≥0，得x≤2.

答案：B

2．已知函数f(x)＝那么f(5)的值为(　　)

A．32      B．16       C．8     D．64

解析：f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)＝23＝8.

答案：C

3．已知f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)，f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值为(　　)

A．7       B．9        C．11        D．12

解析：∵f(1)＝3，∴a＋a－1＝3.

∵f(0)＝2，f(2)＝a2＋a－2，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋a2＋a－2

＝5＋(a＋a－1)2－2＝5＋32－2＝12.

答案：D

4．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：∵－2≤x＜2，∴－2＜－x≤2，∴3－2＜3－x≤32，

∴－＜3－x－1≤8，即y∈.

答案：A

5．函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图像可能是(　　)

解析：当a＞1时，y＝ax是增函数，－a＜－1，则函数y＝ax－a的图像与y轴的交点在x轴的下方，故选项A不正确；y＝ax－a的图像与x轴的交点是(1,0)，故选项B不正确；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，y＝ax－a的图像与x轴的交点是(1,0)，又－1＜－a＜0，y＝ax－a的图像与y轴的交点在x轴上方，故选项D不正确，选项C正确．

答案：C

6．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)，那么f(2)f(4)＝________.

解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，又f(2)＝a2＝4，

∴f(2)f(4)＝a2a4＝4×42＝43＝64.

答案：64

7．函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________.

解析：由题意可知∴k＝－1，b＝2.

答案：－1　2

8.如图所示是指数函数的图像，已知a的值取，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4对应的a依次为________．

解析：画出直线x＝1，则直线与曲线C1，C2，C3，C4交点的纵坐标即为对应的a值．由图(图略)易知，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，即依次为，，，.

答案：，，，

9．求下列函数的定义域：

(1)y＝；

解析：(1)由题意可知3x－1≥0，即3x≥1＝30，∴x≥0，

即y＝的定义域为[0，＋∞)．

(2)由题意可知，有意义便可，即x－1≠0，

∴x≠1，∴y＝的定义域为{x|x≠1}．

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点，其中a＞0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

解析：(1)函数图像过点，

所以，a2－1＝，则a＝.

(2)f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0得x－1≥－1，

于是0＜x－1≤－1＝2，

所以函数的值域为(0,2]．

[B组　能力提升]

11．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

解析：由已知，得f(1)＝2；

又当x＞0时，f(x)＝2x＞1，而f(a)＋f(1)＝0，

∴f(a)＝－2，且a＜0，

∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.

答案：A

12．函数y＝(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数又不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

解析：函数y＝的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，令f(x)＝，且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以该函数是奇函数．

答案：A

13．若函数y＝的定义域(－∞，0]，则a的取值范围是________．

解析：由ax－1≥0，知ax≥1.又当x≤0时该不等式成立，由指数函数的单调性知，0＜a＜1.

答案：0＜a＜1

14．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

解析：(1)若a＞1，则f(x)在[1,2]上递增，

∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)．

(2)若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上递减，

∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，所求a的值为或.

答案：或

15．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)．

(1)若f(x)的图像如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图像如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．

解析：(1)f(x)的图像过点(2,0)，(0，－2)，

所以解得a＝，b＝－3.

(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)，又f(0)＝1＋b＜0，

∴b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)由题图①可知y＝|f(x)|的图像如图所示：

由图可知使|f(x)|＝m有且仅有一个实数解的m值为m＝0或m≥3.

16．已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.

(1)求a，b的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．

解析：(1)∵

∴根据题意得

解得故a＝－1，b＝0.

(2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)为偶函数．

证明如下：f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2)＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·.

因为x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以2x1－2x2＜0,2x1＋x2＞1，所以2x1＋x2－1＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)．

所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

当x＝0时，函数取得最小值．因为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞)．