高中数学北师大版必修4第二章 平面向量5从力做的功到向量的数量积巩固练习

课时素养评价 二十　从力做的功到向量的数量积

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 (　　)

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

【解析】选A.因为|a+b|=|a-b|,

所以|a+b|2=|a-b|2,化简即有a·b=0,

所以a⊥b.

2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则

|a+b|等于 (　　)

A.2 B.2

C.4 D.12

【解析】选B.因为|a+b|2=|a|2+2|a||b|cos 60°+

|b|2=4+4+4=12,所以|a+b|=2.

3.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为 (　　)

A.2 B.4 C.6 D.12

【解析】选C.因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·|b|cos 60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,所以|a|2-2|a|-24=0,所以|a|=6.

4.在△ABC中,若||=3,||=4,∠BAC=60°,则·= (　　)

A.6 B.4 C.-6 D.-4

【解析】选C.·=-·=-||·

||·cos∠BAC=-3×4×=-6.

5.（2020·全国Ⅰ卷）设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=_____.

【解析】因为a,b为单位向量，所以

所以,解得：2a·b=-1，所以=

答案：

6.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b.

【解析】①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,

所以a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18;

若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,

所以a·b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18.

②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,所以a·b=0.

③当a与b的夹角是60°时a·b=|a||b|cos 60°=3×6×=9.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·= (　　)

A.20 B.15 C.9 D.6

【解析】选C.在平行四边形ABCD内,易得=+,=-,

所以·=·

=-=×36-×16=12-3=9.

2.如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC.若||=a,||=b,则·= (　　)

A.a2-b2 B.b2-a2

C.a2+b2 D.ab

【解析】选B.因为AD⊥DC,所以在方向上的投影为||cos ∠CAD=||,因为AB⊥BC,所以在方向上的投影为||cos ∠CAB=||,所以·=·(-)=·-·=||||-||||=b2-a2.

3.已知向量a,b满足|a|=4,b在a上的射影为-2,则|a-2b|的最小值为 (　　)

A.4 B.10 C. D.8

【解析】选D.因为b在a上的射影为-2,

所以|b|cos?a,b?=-2,即|b|=-,而-1≤cos?a,b?<0,所以|b|≥2,

因为|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2

=|a|2-4|a||b|cos?a,b?+4|b|2

=16-4×4×(-2)+4|b|2=48+4|b|2,

所以|a-2b|2≥48+4×4=64,即|a-2b|≥8.

4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,a⊥(a+b),则向量a在b方向上的射影为 (　　)

A.-1 B.-2 C.2 D.1

【解析】选A.设a与b的夹角为θ,因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=4+2×4·cos θ=4+8cos θ=0,

所以cos θ=-,所以θ=π.所以向量a在b方向上的射影为|a|cos θ=2×=-1.

【误区警示】本题易对射影定义理解错误,从而选择错误.

5.已知非零向量满足·=0且·=,则△ABC为 (　　)

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

【解析】选D.因为·=0,,分别为单位向量,所以∠A的平分线与BC垂直,所以AB=AC,

因为cos A==·=,

所以∠A=,所以∠B=∠C=∠A=,

所以△ABC为等边三角形.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.如图,向量⊥,||=2,||=1,P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点,若=m+n,则mn的最大值是　　　　. 

【解析】因为⊥,||=2,||=1,

所以||2=4,||2=1,·=0,

因为P在圆弧上,所以||2=4,

因为=m+n,所以||2

=(m+n)2,所以4=4m2+n2,

因为(2m-n)2≥0,即4m2+n2≥4mn,

所以4mn≤4,所以mn≤1.

答案:1

7.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为　　　　. 

【解析】由|a|=|a+2b|,等式两边平方得a2=a2+

4a·b+4b2,所以a·b=-b2,设a与b的夹角为θ,所以cos θ===-.

答案:-

8.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(a-mb)⊥a,则实数m的值为　　　　. 

【解析】因为(a-mb)⊥a,所以(a-mb)·a=a2-mb·a=32-m×2×3×cos 60°=9-3m=0,解得m=3.

答案:3

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2020·厦门市高一检测)已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.

(1)求向量a与b的夹角θ;

(2)求|a+b|.

【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,

所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=,

因为|a|=1,所以|b|2=,所以|b|=,

所以cos θ===,

又θ∈[0,π],所以θ=.

(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,

所以|a+b|==.

10.已知a与b的夹角为,且|a|=10,|b|=8,求:

(1)|a+b|.(2)a+b与a的夹角θ的余弦值.

【解析】(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2

=|a|2+2|a||b|cos +|b|2=102+2×10×8×+82=244,所以|a+b|=2.

(2)cos θ====

,所以a+b与a的夹角θ的余弦值是.

1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是　　　　. 

【解析】令=a,=b,则=-b,=2a,=3a,

则=3a-b,=3a+b,=2a-b,

=2a+b,=a-b,=a+b,

则·=9a2-b2,·=a2-b2,·

=4a2-b2,由·=4,·

=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,

因此a2=,b2=,

因此·=4a2-b2==.

答案:

2.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.

(1)求证:(a-b)⊥c.

(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.

【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间夹角均为120°,

所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos 120°-

|b||c|·cos 120°=0,所以(a-b)⊥c.

(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-,所以k2-2k>0,解得k<0或k>2,即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.