数学必修45从力做的功到向量的数量积教学设计及反思

5  从力做的功到向量的数量积（一）教学设计

教材依据：本教学设计依据北师大版高中数学必修四第二章第五节《从力做的功到向量的数量积》，课本第93至95页，结合课标相关理念。

一、设计思路

1、指导思想：本教学设计以新课程基本理念为指导，以培养全面发展的人为指向，体现立德树人，培养核心素养，发展素质教育。

（1）设计理念：注重“四基”，基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。提高“四能”，提高从数学的角度发现问题、提出问题、认识问题、解决问题的能力。引导“三会”，会用数学的眼光看待世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。

（2）高效合作课堂：充分发挥学生的主观能动性，培养合作探究意识，寻找学生学习的最近发展区，搭建学生学习的脚手架，问题驱动，生成教学。

（3）教材分析：向量是代数研究最重要的对象之一，它不仅可以线性运算，还可以进行数量积。向量既有大小又有方向，是连接代数和几何的桥梁。也是运算对象由数——字母——向量的又一次升级。

（4）学情分析：学生已经学习了向量的线性运算和坐标表示，对向量有一定的认识，物理学科学习了功的概念，这是数量积运算的物理背景，这些都为向量数量积的学习埋下了伏笔，这些都是本节课知识的生长点。

2、教学三维目标

（1）知识与技能：

理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（2） 过程与方法：

利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.

（3）情感、态度、价值观：

通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学中功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，体验数学的工具性作用，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神。

现代教学手段：实物展台、投影仪、教学屏幕等。

3.教学重、难点

教学的重点由教学内容决定，教学难点由教学对象，也就是学生决定。本节课是概念课，主要让学生体会数量积的来龙去脉，为后续学习打好基础。基于此设计如下：

重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。

难点: 数量积概念的理解，运算律的理解。

难点突破：依靠学生的认知基础，物理中功的概念来理解突破。

  4、学法与教法

 (1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

 （3）问题驱动法。

二、教学准备

1、物理上，功的概念的学习，探寻学生的最近发展区。

2、课件的制作：用多媒体辅助教学，增强了课堂的直观性，理顺了上课的流程，加大了课堂容量，拓展了课堂深度，提高了课堂效率。

3、三角板等作图工具：教师以身作则，规范作图，培养学生良好的作图等学习习惯。

三.教学过程

1、情境导入，引入新课

力做的功：W = |F|•|s|cos    是F与s的夹角

思考： 1）、请同学们回忆物理学中做功的含义；

（2）、力和位移都对应数学上的向量，功能否看成两个向量之间的运算？

（3）、一般的向量a和b，如何定义这种运算？

设计意图：基于旧知，引入新知，探求未知。

2、重点讲解、引导思维

（1）自主探究向量夹角的概念和范围：0≤≤180

 设计意图：学生体验夹角范围规定的科学性和必要性，体验主体地位。

（2）投影

思考与交流：射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.

 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。

注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当 = 0时射影为 |b|；当 = 180时射影为 |b|.

（3）生成定义：平面向量数量积（内积）的定义：a•b = |a||b|cos，

规定0与任何向量的数量积为0。

 设计意图：学生能自然生成概念，发展学生数学抽象的核心素养。

（4）思考与交流：向量数量积的物理、几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.

物理意义：力对物体做功就是力与其作用下发生位移的数量积。

几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

运算性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

①e•a = a•e =|a|cos

 ②ab  a•b = 0

③当a与b同向时，a•b = |a||b|；当a与b反向时，a•b = |a||b|。 特别的a•a = |a|2或

④cos =（|a||b|≠0）

⑤ |ab|≤|a||b|

设计意图：学生自主推导相关性质，培养了学生积极探索精神和动手能力，发展学生的逻辑推理核心素养。

 3、课堂实践、加深理解

（1）课本95页例题讲解。

（2）变式训练：95页练习题。

设计意图：通过例题和练习题的讲解，帮助学生认识数量积的意义，发展学生数学运算的核心素养。

4、知识小结、升华提升

（1）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积；

（2）向量数量积的几何意义和物理意义；

(3)向量数量积的五条性质；

感悟：数学和物理等学科知识的相关性，数学的工具性作用。

5、课后巩固，知识内化

   （1） 必做题     97页  A组   2、3题

         选做题     97页  B组   1题

    设计意图：新课程要求，人人获得必要的数学知识，不同的人在数学上有不同的发展。必做题面向全体同学要求全做，学有余力的同学完成选做题。

  （2） 课后思考：向量的线性运算能用坐标表示，数量积能否用坐标表示？

   设计意图：为下一节内容数量积的坐标表示打好铺垫，诱发学生思考。

  （3）励志感言分享：做人要有方向，做事要有力量！

        人生不仅仅取决于努力的程度，更重要在于努力的方向！

    设计意图：通过向量学习引发出的感言，激发学生拼搏的励志精神。

四、教学反思：

 本教学设计经过实践，较好的达成了教学三维目标，发展了学生质疑、求索的素质，取得了比较满意的教学效果。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别，学生理解的不够深刻。在今后的教学中，给学生渗透以下几个方面：

1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

2、两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3、在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.

4、已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是a•b = b•c  a = c

       如右图：a•b = |a||b|cos = |b||OA|

               b•c = |b||c|cos = |b||OA|

                   a•b=b•c  但a  c

5、在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c  a(b•c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

 6、本节教学整体还行，但还有很多提升的地方。对差生的关注还不够，如何进行学困生的转化还需努力。个别同学还不能完全投入到课堂，需要进一步想办法调动学习积极性。