专题2.10《函数》单元测试卷 2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

专题2.10 《函数》单元测试卷

时间：120分钟        满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意列不等式组，化简得出结论.

【详解】

由题意得解得或.

所以原函数的定义域为.

故选：C.

2. （2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.

【详解】

义在R上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上单调递减，且，

或，

故或，

故选：C

3．（2021·河北衡水中学高三三模）己知，，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据指对幂不等式，结合指对幂函数的性质分别求参数a的范围，再取交集即可.

【详解】

由，得或，

由，得，

由，得，

∴当，，同时成立时，取交集得，

故选：A.

4．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（    ）

A．125天 B．100天 C．75天 D．50天

【答案】C

【解析】

根据题意将当时代入计算出，然后再代入计算即可求出结果.

【详解】

解析：由题意知，当时，有．

即，得．

所以当时，有．

即，得．

所以．

故选：C

5．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）函数（为常数，，为自然对数的底数）的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

考查函数在上的函数值符号，结合特殊值法、排除法可得出合适的选项.

【详解】

，排除A选项；

当时，，则，排除D选项；

因为，所以，根据指数函数的性质，对于，，

因为，故，排除C选项.

故选：B.

6．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由奇函数性质及的解析式，求得，在实数范围内单调递减，比较数的大小，从而有.

【详解】

当时，，由奇函数的性质知，

，，函数单调递减；

又，，

则

由函数单减知，

故选：D

7．（2021·全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

8．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.

【详解】

因为，所以且，

当时，在时单调递增，所以；

又在时单调递增，且，

因为方程有两解，所以，所以；

当时，在时单调递减，；

又在时单调递增，，

因为方程要有两解，所以，此时不成立.

综上可得，

故选：B.

9．（2021·山东高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.

【详解】

∵，则函数是周期的周期函数．

又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，

∴当时，，

令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，

分别作出函数和的图象，如下图，

显然与在上有1个交点，在上有一个交点，

当时，，而，

所以或时，与无交点．

综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．

故选：A

10．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）已知，下列不等式成立的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运算性质，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】

对于：构造函数，由于，则函数在上为减函数，

又因为，则有，所以错误；

对于：构造函数，由于，则函数在上为增函数，

又因为，则，所以B错误；

对于C：，

因为，所以，

所以，所以，所以正确;

对于D：，由于，

所以，所以，所以错误；

故选：C

第II卷 非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11．（2021·北京）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.

【答案】       

【解析】

根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.

【详解】

由题意可知函数关系式是，

由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.

故答案为：；

12．（2021·福建高三三模）已知函数，若，则___________.

【答案】4

【解析】

根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，函数，

当时，，无解；

当时，，解可得，符合题意，

故，

故答案为：4.

13．（2021·全国高三其他模拟）已知，若，则实数的值是___________；若，则实数的取值范围是___________.

【答案】或       

【解析】

（1）对分两种情况，可分别得到方程，再解方程；

（2）利用换元法令，将不等式转化为，再进一步解的取值范围；

【详解】

（1）当时，解得，

当时，解得或(舍).

（2）设，由得；

由，解得.

故答案为：或；.

14．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，

等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.

【详解】

因为是奇函数，故 图像关于 对称，

由题设，因为在上单调递减，

所以等价于，

因此不等式等价于，

即 ，即 且 ，

解得取值范围为.

故答案为：

15．（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.

【答案】    1   

【解析】

作出函数的图象，解出方程可得，由图可得，然后可得其最大值.

【详解】

函数的图象如下，

令，即

解得或

则集合

由题意及图象得

由图象知，当时，最大，最大值是1.

故答案为：，1

16．（2021·浙江高三其他模拟）已知则______；若函数的值域为，则的最小值为______．

【答案】2       

【解析】

根据函数的解析式，结合和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】

，

要使得函数的值域为，则满足，解得，

所以实数的最小值为．

故答案为：①2；②-3.

17．（2021·恩施市第一中学高一月考）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合．一病患开始注射后，最迟隔__________小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔__________小时开始进行第二次注射．（计算结果精确到个位数，参考数据：，）．

【答案】16    7   

【解析】

根据题意解方程可得第一个空的答案，利用对数知识解方程可得第二个空的答案.

【详解】

因为此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，所以血药浓度在15的时候，必须马上停止注射，由，得，得，即一病患开始注射后，最迟隔16小时停止注射.

为保证治疗效果，血药浓度从15降到4的时候开始进行第二次注射为最多时间间隔，

由，得，

两边取常用对数得，

得

，

所以为保证治疗效果，最多再隔7小时开始进行第二次注射．

故答案为：16；7

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（2020·福建福州市·高三月考）已知函数（）在区间上的最大值为4，最小值为1，记．

（1）求实数，的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

(1)结合函数的单调性及最值，构造关于，的方程组，解得，的值；

(2)由(1)可得函数解析式，根据根据函数的奇偶性可得出，解不等式即可.

【详解】

(1)∵函数，因为，

所以在区间上是增函数，

又∵函数故在区间上的最大值为4，最小值为1，

，解得；

(2)由已知可得为偶函数，

所以不等式可化为,

解得或．

19．（2021·云南丽江市·高一期末）已知函数是R上的奇函数.

（1）求的值；

（2）用定义证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值；

（2）直接利用函数单调性的定义证明即可；

（3）将不等式转化为，再由在上为减函数，可得，即，构造函数，利用二次函数的性质求出其最小值即可

【详解】

解：（1）由函数是R上的奇函数知，

即，解得.

（2）由（1）知.

任取，则

因为，所以，所以，

又因为，故，

所以，即

所以在上为减函数.

（3）不等式可化为

因为是奇函数，故

所以不等式可化为

由（2）知在上为减函数，故即

即对于任意，不等式恒成立.

设易知

因此

所以实数的取值范围是.

20．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．

（1）写出的解析式：

（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）设是函数图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数的图象上得，再是函数图象上的点，可得答案；

（2）求时，利用换元法求出的最小值可得答案．

【详解】

（1）由题意，设是函数图象上的任意一点，

则P关于原点的对称点Q的坐标为，

因为已知点Q在函数的图象上，

所以，而，

所以，所以，

而是函数图象上的点，

所以．

（2）当时，

，

下面求当时，的最小值，

令，则，

因为，即，解得，

所以，

又，所以，

所以，

所以时，的最小值为0，

因为当时，总有成立，

所以，即所求m的取值范围为．

21．（2021·浙江高二期末）设，函数，，且．

（1）当时，若在上是单调递增函数，求b的取值范围；

（2）若在R上恰有3个相异实根，求a的值；

（3）设，若对任意，都有，求的最小值．

【答案】（1）      （2）    （3）10

【解析】

(1) 当时，在上单调递增，由可得答案.

(2) 由题意，当时，不满足条件. 当时,由的对称轴方程为，此时，结合的图像可得答案.

(3)由题意即对任意，都有，也即是则且在时恒成立.设，当时，对任意，且恒成立.所以，从而得出，即可得出答案.

【详解】

由，可得

（1）当时，，其对称轴方程为

所以函数在上单调递增，

在上是单调递增函数，则

所以，解得

（2）在R上恰有3个相异实根，即在R上恰有3个相异实根

由

当时，，此时在R上恰有2个相异实根，不满足条件.

当时,由的对称轴方程为，此时

当时, 的图像如图，要使得在R上恰有3个相异实根

则，则

当时, 的图像如图，要使得在R上恰有3个相异实根

则，则

所以在R上恰有3个相异实根，则.

(3) 若，对任意，都有

即，若对任意，都有

则且在时恒成立.

设，

当时，对任意，且恒成立.

则，即，即

由，则，所以

则

所以当时，

所以当，时，有最小值10.

22．（2021·浙江高一期末）已知函数，函数，其中

（1）若恒成立，求实数t的取值范围；

（2）若，

①求使得成立的x的取值范围；

②求在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；

（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；

②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.

【详解】

（1）因为恒成立，所以恒成立，

所以恒成立，所以，解得，

所以；

（2）①当时，，所以，解得；

当时，，所以，

因为，所以，

所以无解，

综上所述：的取值范围是；

②由①可知：，

当时，，所以，所以；

当时，的对称轴为，所以，

且，所以，

令，所以，所以，

综上可知：.