专题4.8 《三角函数与解三角形》单元测试卷 2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

专题4.8 《三角函数与解三角形》单元测试卷

时间：120分钟        满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·宜宾市翠屏区天立学校高三其他模拟（理））下列函数中，周期为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据三角函数的性质和周期的计算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，函数的最小正周期为，不符合题意；

对于B中，函数的最小正周期为，不符合题意；

对于C中，函数的最小正周期为，不符合题意；

对于D中，函数的最小正周期为，符合题意.

故选：D.

2．（2021·福建龙岩市·高一期末）在中，角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据已知条件求出角，然后结合正弦定理即可求出结果.

【详解】

因为，则，结合正弦定理，即，

解得，

故选：B.

3．（2021·湖南高三其他模拟）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【解析】

在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.

【详解】

Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，

由AC-BC=AB得，约为米.

故选：B

4．（2020·镇江崇实女子中学高三月考）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据诱导公式计算即可．

【详解】

由题，．

故选：A．

5．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数，则其大致图象是下列图中的（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

首先根据函数的奇偶性排除AD，接着比较选项BD得到只需判断函数与直线在时交点横坐标的大小即可，最后结合函数图象进行判断即可.

【详解】

因为定义域为，

又，

所以函数是偶函数，故排除AD，

结合选项BD，只需求解函数与直线在时交点的横坐标，

令，，解得即，

当时，，

所以函数与直线在时的第一个交点的横坐标为，

结合函数图象可知，选项C符合题意，

故选：C.

6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美.已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点是线段的黄金分割点，由此推断（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据正五边形的性质可得，，，再根据黄金分割点的性质得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，最后利用诱导公式计算可得；

【详解】

解：依题意在正五边形中，每一个内角为，所以，所以，所以，．

因为为的黄金分割点，所以 ，即

所以，所以，故不妨设，

则在中，，

从而．

故选：．

7．（2021·河南高二月考（文））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由于，根据诱导公式可得，再根据余弦的二倍角公式，即可求出结果.

【详解】

因为，

所以

.

故选：C.

8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，，分别为内角，，的对边，，的面积为，则（    ）

A．45° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【解析】

由余弦定理和面积公式分别可得，，可得即可得解.

【详解】

由余弦定理可得：

由

可得，

所以，

即，由，

所以.

故选：A.

9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．的最小正周期为

C．在区间上单调递减 D．在区间上有4个零点

【答案】D

【解析】

先利用二倍角公式，辅助角公式，对进行化简，对A，根据函数奇偶性的定义即可判断；对B，根据计算最小正周期的公式即可判断；对C，根据的单调递增，单调递减区间即可判断，对D，根据的周期以及的图象，即可判断.

【详解】

解：，

其中，

对A，的定义域为关于原点对称，

，

故是非奇非偶函数，故A错误；

对B，，故B错误；

对C，，

，

又，

故，

即，

在区间上单调递增，故C错误；

对D，，

，

，

，

且，

故在上经历了两个周期，

即在区间上有4个零点，故D正确.

故选：D.

10．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．是函数图象的一条对称轴

C．函数的图象关于点中心对称

D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象

【答案】C

【解析】

先根据二倍角公式化简的解析式，

A．根据最小正周期计算公式进行求解；

B．根据是否为最值进行判断；

C．根据是否为进行判断；

D．先求解出平移后的函数解析式，然后进行判断.

【详解】

，

A．最小正周期，故正确；

B．因为为最小值，所以是图象的一条对称轴，故正确；

C．因为，所以的图象不关于点中心对称，故错误；

D．，的图象向右平移个单位后得到：

，故正确；

故选：C.

第II卷 非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11．（2021·北京高一其他模拟）函数的最小正周期是______，最大值是______．

【答案】       

【解析】

先利用辅助角公式化简原式，然后即可计算出最小正周期以及最大值.

【详解】

解：∵，

∴，，

故答案为：；.

12．（2021·浙江高三其他模拟）已知角的始边在轴非负半轴上，终边经过，则___________，___________.

【答案】       

【解析】

利用三角函数的定义求出，从而再利用两角和的正切公式可求出

【详解】

，又，所以.

故答案为：，

13．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））若，则___________.

【答案】

【解析】

先利用两角差的余弦公式展开，可得，两边平方即可求出的值．

【详解】

因为，

两边平方，得，解得.

故答案为：．

14.（2021·江西南昌市·高一期末）锐角A，B满足，则___________

【答案】

【解析】

利用诱导公式，化简得且，结合正弦函数的性质，求得，代入即可求解.

【详解】

由，且，可得且，

又由函数在区间上为单调递增函数，所以，即，

所以.

故答案为：.

15．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）在中，，则_________，_________.

【答案】       

【解析】

根据二倍角的正弦公式化简求出即可求A，由两角差的正弦展开即可求出，由A可化为，代入由两角差的正切公式求解即可.

【详解】

，，

故，

故.

由，

所以

由代入得，由，

解得.

故答案为：；

16．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数，则函数f(x)的最小值为___________.若，，则的值为___________.

【答案】       

【解析】

利用三角恒等变换的公式，化简，结合三角函数的性质，求得的最小值，再由，得到，结合及，求得，最后利用两角差的余弦函数，即可求解.

【详解】

由题意，函数

，

当，即，

函数取得最小值，最小值为；

由，即，即，

因为，所以，

又因为，所以，

所以，

则

.

故答案为：；.

17．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（理））已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前项和，则___________.

【答案】.

【解析】

根据函数的图象求得函数，再由，得到数列为最小正周期为6的数列，结合数列的周期性，即可求解.

【详解】

由的图象可得，即，所以，即，

又由，可得，

解得，因为，所以，所以，

因为，可得数列为最小正周期为6的数列，

由，

可得，

则.

故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（2020·镇江崇实女子中学高三月考）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，________？

【答案】存在.

【解析】

若选①：先用正弦地理进行角化边，结合条件b,c用a表示，再用余弦定理进一步即可解得.

若选②：先用正弦定理结合②即可求出a，在利用结合正弦定理求出b，最后用余弦定理即可解得.

【详解】

若选①：因为，由正弦定理有，又，

所以由余弦定理有：，则，

所以存在这样的三角形.

若选②：由正弦定理：，

又因为，由正弦定理有，所以，

再由余弦定理有：，

所以存在这样的三角形.

19．（2020·江苏镇江市·高一月考）如图所示，以为始边作角，它们的终边与单位圆分别相交于点A，B，点A的坐标为，

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）若，求．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）首先根据任意角的三角函数的概念，求出，结合二倍角公式求出，利用诱导公式化简整理带入数值即可；

（2）首先利用降次公式和辅助角公式将化简，然后根据题意得到，即可求出结果；

（3）利用向量的数量积求出，结合同角的平方关系求出，然后利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】

（1）因为点A的坐标为，所以，

，

；

（2）

，

因为，所以为等边三角形，所以，故，

所以原式；

（3）因为，所以，故，所以，所以，

故

20.（2021·天津红桥区·高一期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角A的大小：

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

【答案】（1）;（2）△ABC的周长为8.

【解析】

（1）由正弦定理边化角，可得的值，可得角A的大小；

（2）由△ABC的面积及角A的值，可得的值，由余弦定理可得的值，可得△ABC的周长.

【详解】

解：（1）由及正弦定理，得，

因为，所以，

又为锐角所以.

（2）由△ABC的面积为，得，

又，所以.

在△ABC中，由余弦定理，得，

因为a=3，所以，

所以， 

所以，即△ABC的周长为8.

21．（2021·重庆高三其他模拟）已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.

【答案】（1），；（2）最大值为.

【详解】

解：（1），令，解得单调递增区间为，；

（2），解得.

又令外接圆半径为，则，所以.

所以，又因为，

所以(当且仅当)

所以，所以面积最大值为.

22．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）已知函数．

（1）将函数化为形式，求的最小正周期和单调递增区间；

（2）若为的内角，恰为的最大值，求；

（3）若，求．

【答案】（1）；最小正周期；单调递增区间为；（2）；（3）．

【解析】

（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据最小正周期的计算公式以及单调递增区间的公式求解出结果；

（2）先分析的取值范围，然后根据正弦函数的单调性确定出的取值；

（3）根据二倍角的公式以及同角三角函数的基本关系将转化为，然后根据齐次式的计算将分子分母同除转化为和有关的形式，由此求解出结果.

【详解】

解：

所以的最小正周期

由，得

所以的单调递增区间为；

因为

所以

所以当，即当时，恰为的最大值；

因为

所以

又因为

所以.