数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时复习练习题

2.3  第2课时  一元二次不等式的应用

 基  础  练                                                                                  

      巩固新知    夯实基础

1.不等式>0的解集是(　　)

A.             B.

C.                    D.

2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是 (　　)

A．{a|0<a<4}      B．{a|0≤a<4}

C．{a|0<a≤4}      D．{a|0≤a≤4}

3.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 (　　)

A．1     B．－1        C．－3        D．3

4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

A．15≤x≤30  　

B．12≤x≤25

C．10≤x≤30  　　

D．20≤x≤30

5.若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.

6.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．

7.解下列分式不等式：

(1)≤1；    (2)<0.

8.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.不等式<2的解集为(　　)

A．{x|x≠－2}      B．R      C．∅      D．{x|x<－2或x>2}

10.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－2,2)       B．(－2,2]  C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)    D．(－∞，2)

11.下列结论错误的是 (  )

A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R

B.不等式ax2+bx+c=0≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0

C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-

D.不等式>1的解集为x<1

12.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)

A．1<x<3    B．x<1或x>3     C．1<x<2    D．x<1或x>2

13.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.

14.已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．

15.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．

【参考答案】

1. A 解析：>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.

2.D解析：a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}.

3.C解析：由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，

又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.

4.C 解析：设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，

∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.

5. 4解析：>0⇔(x＋1)(x－a)>0 ⇔(x＋1)(x－4)>0，∴a＝4.

6.－2<m<2  解析：由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝(m)2－4×1×1<0，所以－2<m<2.

7. 解　(1)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集为.

(2)由<0得>0，此不等式等价于(x－1)>0，解得x<－或x>1，

∴原不等式的解集为.

8.解　①当a2－1＝0时，a＝1或－1.

若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<，不合题意，舍去．

②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是

解得－<a<1.

综上a的取值范围是.

9.A 解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2. ∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

10.B 解析：∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x， ∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.

当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时，x∈R.

综上所述，－2<m≤2.

11.ABD解析：A选项中，只有a>0时才成立；B选项当a=b=0，c≤0时也成立；D选项x是大于0的.

12.B 解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.

13. －<a< 解析：根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－<a<.

14. a<9 解析：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．

令y＝－2x2＋9x.∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝，∴ymin＝9，∴a<9.∴a的取值范围为a<9.

15.解　设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，

m满足不等式组解得－<m<－.

16.解(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝

(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有整理，得

解此不等式，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.