高中数学7.8无穷等比数列各项的和教案

无穷等比数列各项的和

【教学目标】

1．理解无穷等比数列的各项和的定义；

2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；

3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；

4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识。

【教学重难点】

1．无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用。

2．正确理解无穷等比数列的各项和的定义。

【教学过程】

一、复习引入

思考下列问题：

1．和1哪个数大？为什么？

2．由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%。假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。

对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果。

引导学生回答以下问题：

（1）如果你认为，那么比1小多少？

（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？

换一个角度来看，事实上：

；

而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为：

。

于是可以把看作当时的极限，从而：

。

对于问题2，同样进行分析。

对比以上两个问题，它们有何共同特征？

二、讲授新课

1．无穷等比数列的各项和的公式的推导。

提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限。请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？

指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在。

当时，无穷等比数列前项和的极限如下：

∵（）；

∴；

。

∵，∴。

∴。

让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式。

强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在。

2．无穷等比数列的各项和的定义。

提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下。

我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示。

（）。

强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在。

3．无穷等比数列各项和的应用。

例1：化下列循环小数为分数：

（1）；        （2）。

分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限。

解：（1）；

等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以：

。

（2）；

等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以：

。

师生共同总结得出：

循环小数化为分数的法则：

1．纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。

混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。

三、课堂小结

1．无穷等比数列的各项和的公式：S=（）；

2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；

3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比满足；

4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法。