2021学年8.2向量的数量积教案设计

向量的数量积

【教学目标】

一、知识与技能

1． 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.

2． 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

二、过程与方法

1．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；

2．通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；

3．让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

三、情感、态度与价值观

1．让学生进一步领悟数形结合的思想；

2．让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.

【教学重难点】

重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用

难点：平面向量的数量积运算律的理解

【教学设计】

学法

（1）自主性学习+探究式学习法：

（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

【教学准备】

多媒体、实物投影仪.

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、创设情景，揭示课题

复习提问

1．（1）两个非零向量夹角的概念；

（2）平面向量数量积（内积）的定义；

（3）“投影”的概念；

（4）向量数量积的几何意义；

（5）两个向量的数量积的性质。

2．判断下列各题正确与否：

①若，则对任一向量，有；          ( √ )

②若，则对任一非零向量，有；      ( × )

③若，，则；                   ( × )

④若，则至少有一个为零向量；         ( × )

⑤若，则当且仅当时成立；     ( × )

⑥对任意向量，有．                    ( √ )

二、研探新知

1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）

（1）交换律：

证明：设夹角为，则，，∴．

（2）数乘结合律：

证明：若，此式显然成立.

若，， ，

，∴

若，，

，

．

∴

综上可知成立.

（3）分配律：．

在平面内取一点，作=, =，=，

∵（即）在方向上的投影等于在

方向上的投影和，即：

∴，∴

即：．

说明（1）一般地，()·≠·（·）

（2）·＝·，≠＝

（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋

（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,

2.向量的数量积不满足结合律

分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(•)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。举反例如下：

已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，

()·＝（||·||cos60°）·＝，

·(·)＝（||·||cos45°）＝

而≠，故（）·≠·（·）

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角

解：由题意可得：      ①

        ②

两式相减得：， 代入①或②得：，设的夹角为，

则,∴，即与的夹角为．

例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

举一反三

1 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

证：设== , ==  ∵为菱形     ∴|| = ||

∴•= (+)() = 2 2 = ||2  ||2 = 0  ∴，即菱形对角线互相垂直。

2． 如图，是的三条高，

求证：相交于一点。

变式：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点。

例3  四边形中，=，=，=,

＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形?

例4  设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由。

四、巩固深化，反馈矫正

1．已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______；

（2）若，； （3）若、的夹角为，则|+|；

2．已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|

3．设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；

6．对于两个非零向量、，（1）求使||最小时的值，并求此时与的夹角。

（2）当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直。

解：（2）①，∴当时, 最小；

②∵，∴与垂直。

五、归纳整理，整体认识

通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.

六、承上启下，留下悬念

1．向量的模分别为 ab的夹角为ab的模

2．设 ab是各不相等的非零向量

3．相互垂直的单位向量

4．预习向量数量积的坐标表示