卷14 三角函数 2021-2022学年高一数学单元卷（中）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

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卷14 三角函数 章末复习单元检测（中）

数 学

本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧与弧的长度之比为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设扇形的半径为，半圆半径为，，

则由题意可得，，

所以，可得，

解得，

所以弧与弧的长度之比为．

故选：．

2．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为　　

A． B．2 C． D．1

【解答】解：因为：扇形的弧长为，圆心角为1弧度，

所以：圆的半径为：，

所以：扇形的面积为：．

故选：．

3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　

A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．25平方米

【解答】解：如图，由题意可得：，，

在中，可得：，，，

可得：矢，

由，

可得：弦，

所以：弧田面积（弦矢矢平方米．

故选：．

4．已知角的终边经过点，且，则　　

A． B．4 C． D．

【解答】解：角的终边经过点，且，则，

故选：．

5．若，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于：由于，所以，当为第一象限角时，成立，当为第三象限角时，不成立，故错误；

对于：由于，所以，当为第一象限角时，不成立，当为第三象限角时，成立，故错误；

对于：由于，所以，，当为第一象限时，不成立，当为第三象限角时不成立，故错误；

对于：由于，所以，当为第一象限角时，成立，当为第三象限角时，成立，故正确．

故选：．

6．已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

7．若，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

又，，

，

故选：．

8．设，，，若函数恰好有三个不同的零点、、，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，．

若函数恰好有三个不同的零点、、，且，则，，．

结合图象的对称性可得，，，

则，

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，则下列等式恒成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由于，故正确；

由于，故正确；

由于，故错误；

由于，故错误，

故选：．

10．关于函数，下列说法正确的是　　

A．是奇函数 

B．是图象的对称轴 

C．在上单调递增 

D．的图象关于对称

【解答】解：因为函数，

所以，

故是奇函数，故选项正确；

因为，

又为函数的最小值，

故是图象的对称轴，故选项正确；

令，

解得，，

所以函数在上单调递增，故选项错误；

因为，

故的图象关于对称，故选项正确．

故选：．

11．已知函数，，则　　

A．直线是图象的一条对称轴 

B．将图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到的图象 

C．在区间上单调递减 

D．函数的最大值为

【解答】解：是最大值，

则直线是图象的一条对称轴，故正确，

将图象上所有的点向右平移个单位长度，

得到，

即可得到的图象，故正确，

当，，则，，，，

此时不单调，故错误，

，

则当时，函数取得最大值，故正确．

故选：．

12．已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是　　

A．存在，使 

B．存在，使 

C．有且仅有一个，使 

D．存在，使

【解答】解：曲线，

对称轴为，即，

对称中心对应，即，

在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，

，解得，即，

选项，在范围内存在使，故选项正确；

选项，，则时成立，故选项正确；

选项，，不是仅有一个，使，故选项不正确；

选项，存在，，使，故选项正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的单调区间是　，　．

【解答】解：函数，

令，

解得，

故的单调区间是．

故答案为：．

14．已知函数，的部分图象如图所示，则的单调增区间是　　．

【解答】解：由图可知，，则，．

又，．

则．

由，，

解得，．

的单调增区间是，

故答案为：．

15．已知为钝角，且，则　　．

【解答】解：，

，

为钝角，

．

故答案为：

16．已知函数相邻对称轴为和，且对任意的都有，则函数的单调递增区间是　　．

【解答】解：因为函数相邻对称轴为和，

所以，所以函数的周期为，

则有，所以，

故，

因为对任意的都有，

所以时，函数取得最小值，

则有，，

所以，

故，

令，

解得，

故函数的单调递增区间是．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．

问题：若锐角满足 _____，求的值．

【解答】解：选择条件①：

由条件①，得，可得．

由，得

因为是锐角，所以，可得．

因为，，

所以．

选择条件②：

由条件②，得，可得．

由，得，

因为是锐角，所以，可得

因为，，

所以．

选择条件③：

由条件③，得，所以，

所以．

由，得，，

因为，是锐角，所以，，

所以，．

因为，，

所以．

18．如图，点、在单位圆上，点的坐标为，点在第二象限，为正三角形，点是单位圆与轴正半轴的交点．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为点的坐标为，根据三角函数定义，

可知．

（2）根据三角函数定义知，

因为三角形为正三角形，所以，

所以，

．

19．已知是第二象限，且．计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）已知是第二象限，且，

．

（2）．

20．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，且．记，求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大的面积．

【解答】解：由点向作垂线，垂足为，

在中，，，

由题意可知，，，

所以为等边三角形，

所以，

则，

所以，

所以，

，

所以矩形的面积为

，

因为，所以当，即时，最大为．

所以当时，矩形的面积最大为．

21．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若函数，求函数的单调增区间．

【解答】解：（1）函数，

所以函数的最小正周期为．

（2），

令，，

解得，，

所以函数的单调增区间为，，．

22．函数的部分图象如图所示．

（1）写出及图中的值；

（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．

【解答】解：（1）函数

从图象可知：当时，可得的值为，

即

将点，带入，得

或

，，

；

（2）由

上，

，，

又上，

那么，，

综上可知，，

当时，取得最大值为．

当时，取得最小值为．

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日期：2021/6/30 16:32:06；用户：刘老师；邮箱：13941386685；学号：28427759