数学沪教版8.1向量的坐标表示及其运算教学设计及反思

向量的坐标表示及其运算

【教学目标】

1．了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题。

2．经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；

3．理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法。

4．感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯。

【教学重难点】

1．如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；

2．对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解。

【教学过程】

一、情境引入

上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演。

（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形。队员A

位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处。你能确定此时队员C的位置吗？

说明：此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处。这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题。

（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形。队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处。你能确定此时队员C的位置吗？

说明：不要求学生写出结果，只引导学生思考。这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望。

二、学习新课

1．向量的正交分解。

我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量。

思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？

如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得），于是可得：

。

由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解。

2．向量的坐标表示。

思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗？如下图左。

显然，如上图右，我们一定能够以原点O为起点作一位置向量，使。于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量。由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现。由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合。即：

==。

上式中基本单位向量前面的系数x，y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标。由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x，y抽取出来，得到有序实数对（x，y）。可知有序实数对（x，y）与向量的位置向量是一一对应的。因而可用有序实数对（x，y）表示向量，并称（x，y）为向量的坐标，记作：

=（x，y）。

说明：（x，y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的。这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化。

显然，依上面的表示法，我们有：。

四、课堂小结

本节课我们讲了哪些内容？（请学生作答）。

1．向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）。

2．向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）。

3．向量的坐标运算（运算法则是什么？）。