沪教版高中二年级 第一学期8.2向量的数量积教学设计及反思

平面向量的数量积

【教学目标】

1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．掌握向量垂直的条件。

【教学重点】

平面向量的数量积定义

【教学难点】

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

【授课类型】

新授课

【内容分析】

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律。

【教学过程】

一、复习引入：

1． 向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。

2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

3．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

4．平面向量的坐标运算

若，，则，，。

若，，则

5．∥()的充要条件是x1y²-x²y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，

使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7．定比分点坐标公式：

若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x²，y²)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比。

8．点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点。

②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点。

9．线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，

可得=。

10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角。

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角。

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。范围0≤≤180

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0.

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

（4）已知实数a．b．c(b0)，则ab=bc  a=C．但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc  但a  c

（5）在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|。

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：

设a．b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

ea = ae =|a|cos

ab  ab = 0

当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|。 特别的aa = |a|2或

cos =

|ab| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·B．

例2已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b)。

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直。

例4 判断正误，并简要说明理由。

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２。

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；

对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；

对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；

对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс。

则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），

∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ

若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ。

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律。

例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ。

解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；

若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，

∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能。

四、课堂练习：

1．已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（    ）

A．60°         B．30°          C．135°         D．４５°

2．已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（   ）

A．2            B．2          C．6            D．12

3．已知a．b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（    ）

A．充分但不必要条件               B．必要但不充分条件

C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件

4．已知向量a．b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|=            。

5．已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=           。

6．已知a⊥b．c与a．b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______。

7．已知|a|=1，|b|=，（1）若a∥b，求a·b；（2）若a．b的夹角为６０°，求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角。

8．设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角。

9．对于两个非零向量a．b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角。

五、小结