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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：7.5 空间向量及其运算
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：7.5 空间向量及其运算，共45页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，常用结论，考点自诊，答案C，关键能力学案突破，答案1A等内容，欢迎下载使用。
1.空间向量及其有关概念
存在唯一一个实数λ,使a=λb
存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
2.空间向量的数量积及空间向量的坐标运算(1)两个非零向量的数量积:①a·b=|a||b|cs,特别地,零向量与任意向量的数量积为0;②若a与b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;③设a=(a1,a2,a3),
(2)空间向量的坐标运算:
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1b1+a2b2+a3b3=0
3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
4.空间位置关系的向量表示
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( )(3)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(4)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.(2020北京朝阳检测)已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( )A.2B.-4C.4D.-2
3.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4
4.(2020山东烟台月考)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则直线l与平面α的位置关系为 .
答案 l⊥α 解析 因为a=- n,所以l⊥α.
5.正四面体A-BCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
答案 (1)A (2)C
解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
解题心得共线、共面向量定理的类比
对点训练2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= . (2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 .
【例3】 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1⊥BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则cs θ= ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练3(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则直线l与直线QB1所成角的余弦值为( )(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
解析 (1)取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l,
【例4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证: (1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
(2)如图,取AP的中点E,连接BE,
解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.
对点训练4如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
1.空间向量及其有关概念
存在唯一一个实数λ,使a=λb
存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
2.空间向量的数量积及空间向量的坐标运算(1)两个非零向量的数量积:①a·b=|a||b|cs
(2)空间向量的坐标运算:
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1b1+a2b2+a3b3=0
3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
4.空间位置关系的向量表示
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( )(3)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(4)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.(2020北京朝阳检测)已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( )A.2B.-4C.4D.-2
3.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4
4.(2020山东烟台月考)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则直线l与平面α的位置关系为 .
答案 l⊥α 解析 因为a=- n,所以l⊥α.
5.正四面体A-BCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
答案 (1)A (2)C
解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
解题心得共线、共面向量定理的类比
对点训练2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= . (2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 .
【例3】 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1⊥BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则cs θ= ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练3(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则直线l与直线QB1所成角的余弦值为( )(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
解析 (1)取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l,
【例4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证: (1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
(2)如图,取AP的中点E,连接BE,
解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.
对点训练4如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
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