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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：10.1 随机事件与概率、事件的相互独立性
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：10.1 随机事件与概率、事件的相互独立性，共48页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，事件的分类，考点自诊，答案B，关键能力学案突破等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题13“正难则反”思想在概率中的应用
2.频率与概率(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)大数定律阐述了随着试验次数的增加,频率稳定在概率附近.(3)①概率的定义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.②范围:[0,1].③意义:概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.
温馨提示理解频数与频率需注意:①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)= .问题思考如何理解频率与概率的关系?
提示 (1)概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)通过公式fn(A)= 计算出频率,再由频率估算概率.
3.事件的关系与运算
温馨提示定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.相互独立事件(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)若事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).由此可得出P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件.
温馨提示(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率,事件B的发生不影响事件A发生的概率.(2)互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;互斥的两个事件可以独立,独立的两个事件也可以互斥.用表格表示如下:
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)随机事件和随机试验是一回事.( )(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( )(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( )(6)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为( )C.0.7
答案 B 解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
4.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6
答案 A 解析 设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的概率是P(B),摸出白球的概率为P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.故选A.
例❶(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件(2)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试,其中23人成绩为A,其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,则抽得C的概率是( )
答案 (1)D (2)A 解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,
任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.(2)由于成绩为A的有23人,故抽到C的概率为P=1- -0.4=0.14.
思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得 判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)定义法,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,否则,就不是互斥事件.(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.注意:①事件的包含、相等、互斥、对立等,其发生的前提条件应是一样的;②对立是针对两个事件来说的,而互斥可以是多个事件的关系.
对点训练1(1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )A.①B.②④ C.③D.①③(2)(多选)掷一枚骰子,设事件A:“向上的一面是奇数点”,事件B:“向上的一面点数不超过3”,事件C:“向上的一面点数不小于4”,则下列说法正确的是( )A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B不是互斥事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件
答案 (1)C (2)BD 解析 (1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,2个奇数,2个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.又①中的事件可以同时发生,不是对立事件,故选C.(2)将一枚骰子抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,事件A与事件B能同时发生,不是互斥事件,故A错误,B正确;事件B与事件C不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故C错误,D正确.
【例2】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a(元).
解题心得 1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列举法,树状图法.
对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【例3】 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
对点训练3 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
对点训练4(2019全国1,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18 解析 前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
素养提升微专题13“正难则反”思想在概率中的应用
概率求解中什么样的问题需用“正难则反”思想?一般来说,“正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)时,利用公式P(A)=1-P(B),先求容易的一个,再求另一个.
【典例】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
解记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)=0.12,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.
(2)(方法1)记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.(方法2)∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件 ,∴P( )=1-P(A)=1-0.1=0.9.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
解题心得 概率求解过程中,类似于否定命题的概率求解,或者“至多”“至少”问题的概率求解,一般地,若直接求概率,情况较多,讨论时有可能会产生重复或漏掉的情况,此时,若该问题的对立方面情况较少,且分类明了,则需考虑利用“正难则反”的思想求解.
对点训练某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解 (1)设“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为事件 .根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05.
素养提升微专题13“正难则反”思想在概率中的应用
2.频率与概率(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)大数定律阐述了随着试验次数的增加,频率稳定在概率附近.(3)①概率的定义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.②范围:[0,1].③意义:概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.
温馨提示理解频数与频率需注意:①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)= .问题思考如何理解频率与概率的关系?
提示 (1)概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)通过公式fn(A)= 计算出频率,再由频率估算概率.
3.事件的关系与运算
温馨提示定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.相互独立事件(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)若事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).由此可得出P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件.
温馨提示(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率,事件B的发生不影响事件A发生的概率.(2)互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;互斥的两个事件可以独立,独立的两个事件也可以互斥.用表格表示如下:
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)随机事件和随机试验是一回事.( )(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( )(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( )(6)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为( )C.0.7
答案 B 解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
4.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6
答案 A 解析 设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的概率是P(B),摸出白球的概率为P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.故选A.
例❶(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件(2)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试,其中23人成绩为A,其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,则抽得C的概率是( )
答案 (1)D (2)A 解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,
任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.(2)由于成绩为A的有23人,故抽到C的概率为P=1- -0.4=0.14.
思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得 判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)定义法,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,否则,就不是互斥事件.(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.注意:①事件的包含、相等、互斥、对立等,其发生的前提条件应是一样的;②对立是针对两个事件来说的,而互斥可以是多个事件的关系.
对点训练1(1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )A.①B.②④ C.③D.①③(2)(多选)掷一枚骰子,设事件A:“向上的一面是奇数点”,事件B:“向上的一面点数不超过3”,事件C:“向上的一面点数不小于4”,则下列说法正确的是( )A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B不是互斥事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件
答案 (1)C (2)BD 解析 (1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,2个奇数,2个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.又①中的事件可以同时发生,不是对立事件,故选C.(2)将一枚骰子抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,事件A与事件B能同时发生,不是互斥事件,故A错误,B正确;事件B与事件C不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故C错误,D正确.
【例2】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a(元).
解题心得 1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列举法,树状图法.
对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【例3】 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
对点训练3 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
对点训练4(2019全国1,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18 解析 前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
素养提升微专题13“正难则反”思想在概率中的应用
概率求解中什么样的问题需用“正难则反”思想?一般来说,“正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)时,利用公式P(A)=1-P(B),先求容易的一个,再求另一个.
【典例】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
解记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)=0.12,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.
(2)(方法1)记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.(方法2)∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件 ,∴P( )=1-P(A)=1-0.1=0.9.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
解题心得 概率求解过程中,类似于否定命题的概率求解,或者“至多”“至少”问题的概率求解,一般地,若直接求概率,情况较多,讨论时有可能会产生重复或漏掉的情况,此时,若该问题的对立方面情况较少,且分类明了,则需考虑利用“正难则反”的思想求解.
对点训练某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解 (1)设“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为事件 .根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05.
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