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高中数学一轮总复习课件7.5 空间向量及其运算
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这是一份高中数学一轮总复习课件7.5 空间向量及其运算，共47页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，知识巩固，对点训练2，方法二坐标法等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念.4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.5.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.7.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.8.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
本节内容是在平面向量基础上的推广与扩充,复习时要类比平面向量的相关概念、定理、公式、运算律等,比较它们之间的异同.本节知识对数学抽象核心素养体现较多,是基础性和工具性的内容,难度不大.重点是理解和记忆定理、公式等,能准确进行空间向量的运算以及应用空间向量解决平行、垂直和夹角等问题.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.空间向量的相关概念(1)定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)特殊的空间向量
2.空间向量的线性运算(1)加法与减法运算
(2)数乘运算定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时, λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c;③分配律:λ(a+b)=λa+λb;λ(μa)=(λμ)a.
3.空间向量的基本定理(1)共线向量定理①定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,不存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,其中a,b,c都叫做基向量.
4.空间向量的数量积运算(1)空间两向量的夹角
②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则= 0或π.
(2)空间两向量的数量积运算①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cs叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cs.特别地,零向量与任意向量的数量积为 0 .②运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b);交换律:a·b=b·a;分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
(3)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
2.已知x,y∈R,有下列说法:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
其中正确说法的个数是( )A.1B.2C.3D.4
3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 .
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为 .
5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.
例2 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.
例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求CE的长;(2)求证:EF⊥CF;
对点训练3(1)如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,点D与点A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,则A,D两点间的距离为 .
(2)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB'的中点.①求证:CE⊥A'D;②求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
(方法二:坐标法)∵CC'⊥平面ABC,且CA⊥CB,∴以点C为原点,分别以CA,CB,CC'所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).令AC=BC=AA'=2,则点A(2,0,0),C'(0,0,2),A'(2,0,2),E(0,2,1),D(1,1,0).
方程思想与分类讨论思想在空间向量中的应用
典例 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为 . 答案:4
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念.4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.5.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.7.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.8.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
本节内容是在平面向量基础上的推广与扩充,复习时要类比平面向量的相关概念、定理、公式、运算律等,比较它们之间的异同.本节知识对数学抽象核心素养体现较多,是基础性和工具性的内容,难度不大.重点是理解和记忆定理、公式等,能准确进行空间向量的运算以及应用空间向量解决平行、垂直和夹角等问题.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.空间向量的相关概念(1)定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)特殊的空间向量
2.空间向量的线性运算(1)加法与减法运算
(2)数乘运算定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时, λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c;③分配律:λ(a+b)=λa+λb;λ(μa)=(λμ)a.
3.空间向量的基本定理(1)共线向量定理①定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,不存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,其中a,b,c都叫做基向量.
4.空间向量的数量积运算(1)空间两向量的夹角
②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则
(2)空间两向量的数量积运算①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cs
(3)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
2.已知x,y∈R,有下列说法:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
其中正确说法的个数是( )A.1B.2C.3D.4
3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 .
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为 .
5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.
例2 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.
例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求CE的长;(2)求证:EF⊥CF;
对点训练3(1)如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,点D与点A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,则A,D两点间的距离为 .
(2)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB'的中点.①求证:CE⊥A'D;②求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
(方法二:坐标法)∵CC'⊥平面ABC,且CA⊥CB,∴以点C为原点,分别以CA,CB,CC'所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).令AC=BC=AA'=2,则点A(2,0,0),C'(0,0,2),A'(2,0,2),E(0,2,1),D(1,1,0).
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