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专题05 函数 5.2二次函数与幂函数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）
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知识梳理.二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一. 二次函数
考点1.二次函数根的分布、恒成立问题
1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]
2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为 ．
3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1B．m＞3+22
C．m＞3+22或0＜m＜3-2D．3﹣22＜m＜1
4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．[1，3]B．[﹣1，3]C．（﹣1，3）D．[0，2]
5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[12，+∞）D．（12，+∞）
6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为 ．
考点2.二次函数的值域与最值
1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）
2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．
3．已知函数f（x）=mx2-(m-2)x+m-1的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是 ．
4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
题型二. 幂函数
考点1.幂函数的图像与性质
1．已知幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）
2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）xm2-4m+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为
3．幂函数f(x)=(a-1)xm2-2m-3（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝ ．
4．已知函数f（x）=x-k2+k+2，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是 ．
考点2.利用幂函数比较大小
1．已知a＝（53）13，b＝（23）34，c＝（53）14，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a
2．设a=(34)12，b=(43)14，c=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2xm2-4m+2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝lg54，b＝lg153，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（ ）
A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称
知识梳理.二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一. 二次函数
考点1.二次函数根的分布、恒成立问题
1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]
2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为 ．
3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1B．m＞3+22
C．m＞3+22或0＜m＜3-2D．3﹣22＜m＜1
4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．[1，3]B．[﹣1，3]C．（﹣1，3）D．[0，2]
5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[12，+∞）D．（12，+∞）
6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为 ．
考点2.二次函数的值域与最值
1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）
2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．
3．已知函数f（x）=mx2-(m-2)x+m-1的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是 ．
4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
题型二. 幂函数
考点1.幂函数的图像与性质
1．已知幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）
2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）xm2-4m+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为
3．幂函数f(x)=(a-1)xm2-2m-3（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝ ．
4．已知函数f（x）=x-k2+k+2，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是 ．
考点2.利用幂函数比较大小
1．已知a＝（53）13，b＝（23）34，c＝（53）14，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a
2．设a=(34)12，b=(43)14，c=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2xm2-4m+2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝lg54，b＝lg153，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（ ）
A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
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