新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.2二次函数与幂函数（含解析）

专题四  《函数》讲义

5.2 二次函数与幂函数

知识梳理.二次函数与幂函数

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

2．幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.

(2)五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

题型一. 二次函数

考点1.二次函数根的分布、恒成立问题

1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣3，0） B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]

【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，

①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，

∵﹣3＜0，

∴f（x）在R上单调递减，符合题意；

②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，

∵二次函数在对称轴右侧单调递增，

∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，

故不符合题意；

③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x，

∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，

∴1，解得﹣3≤a＜0，

∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．

综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．

故选：D．

2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（﹣3，1]　．

【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．

∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，

∴，即，

解得﹣3＜a≤1．

故答案为（﹣3，1]．

3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（　　）

A．m＞1 B．m＞3+2 

C．m＞3+2或0＜m＜3 D．3﹣2m＜1

【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）

∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，

∴

∴

∴

故选：B．

4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣1，3） D．[0，2]

【解答】解：依题意x2+（a﹣1）x+1≥0对任意实数x都成立，所以△＝（a﹣1）2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤3．

故选：B．

5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．[，+∞） D．（，+∞）

【解答】解：由题意得，对一切x∈[，2]，f（x）＞0都成立，即a2（）2，

而﹣2（）2，则实数a的取值范围为：（，+∞）．

故选：D．

6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为　　．

【解答】解：令f（k）＝kx2﹣4kx﹣3＝（x2﹣4x）k﹣3，看作关于k的一次函数，

∵不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，

∴，即，解得或．

∴x的取值范围为．

故答案为：．

考点2.二次函数的值域与最值

1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）

【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，

当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，

函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，

则实数m的取值范围是[1，2]．

故选：C．

2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．

【解答】解：函数y＝﹣（x）2图象开口向下，

对称轴方程为x，

（1）当1，即a＜﹣2时，由图可知，当x＝﹣1时，ymax＝﹣a﹣1；

（2）当﹣11，即﹣2≤a≤2时，由图可知，

当x时，ymax；

（3）当1，即a＞2时，由图可知，当x＝1时，ymax＝a﹣1；

故ymax．

3．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是　[0，]　．

【解答】解：当m＝0时，（x），值域是[0，+∞），满足条件；

当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；

当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，

即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，

∴m，

综上，0≤m，

∴实数m的取值范围是：[0，]，

故答案为：[0，]，

4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1）　．

【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，

即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，

故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，

由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，

结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，

所以a＜1．

故答案为：（﹣∞，1）

题型二. 幂函数

考点1.幂函数的图像与性质

1．已知幂函数y＝xα的图象过点，则该函数的单调递减区间为（　　）

A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）

【解答】解：根据幂函数y＝xα的图象过点，

得4，解得α＝﹣2，

所以函数y＝x﹣2，x≠0；

所以函数y的单调递减区间为（0，+∞）．

故选：D．

2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为　m＝3　

【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，

∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，

故答案为：3．

3．幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝　3　．

【解答】解：∵幂函数（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，

∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，

∴a＝2，﹣1＜m＜3，

又∵m∈N，∴m＝0，1，2，

又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，

∴a+m＝3，

故答案为：3．

4．已知函数f（x），且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）　．

【解答】解：因为f（x），且f（2）＞f（3），

所以其在（0，+∞）上是减函数，

所以根据幂函数的性质，有﹣k2+k+2＜0，即k2﹣k﹣2＞0，

所以k＜﹣1或k＞2．

故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．

考点2.利用幂函数比较大小

1．已知a＝（），b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a

【解答】解：对于yx是增函数，

故c＝（）a＝（），

而b＝（）1c＝（），

故b＜c＜a，

故选：A．

2．设，则a，b，c的大小顺序是（　　）

A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a

【解答】解：a1，

b1，

c1；

且01，函数y在（0，+∞）上是单调增函数，

所以，

所以c＜a；

综上知，c＜a＜b．

故选：A．

3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝log54，b＝log3，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（　　）

A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） 

C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）

【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x（m∈R），在（0，+∞）上单调递增，

∴，解得m＝0，

∴f（x）＝x2，

故选：A．