专题05 函数 5.5单调性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题四  《函数》讲义

5.5 单调性

知识梳理.单调性

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3.判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

4．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

题型一. 常见函数的单调性（单调区间）

1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）

【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），

令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，

∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；

x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；

y＝lnt为增函数，

故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），

故选：D．

2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）

【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数

由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数

又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，

所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1，

故选：B．

3．已知函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0，] B．[） C．[] D．（]

【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，

根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，）单调递减，可得0．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+2]max，

故而得：，解答a，并且3a≥2，a∈（0，1）解得：1＞a．

∴a的取值范围是[，]，

故选：C．

4．已知函数f（x），满足对任意的实数x1≠x2，都有0成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，+∞） B． C． D．

【解答】解：由于f（x）满足对任意的实数x1≠x2，都有0成立，

∴f（x）为R上的减函数，

又函数f（x），

∴，解得a，

∴实数a的取值范围为．

故选：C．

题型二.利用函数单调性求值域、最值

1．若函数f（x）的值域为R，则a的取值范围是（　　）

A．[0，） B．（] C．[﹣1，） D．（0，）

【解答】解：由题意可得，y＝（1﹣2a）x+3a单调递增且1﹣2a+3a≥1，

故，解可得，0．

故选：A．

2．已知函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，4） B．（1，4）∪{0} C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）

【解答】解：对a分类讨论：a＝0时，函数f（x）＝lg（2x），由2x0，可得函数f（x）的值域为R，因此a＝0满足题意．

a≠0时，要使得函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x）的值域为R，则，解得0＜a≤1，或a≥4．

则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），

故选：D．

3．已知函数f（x），若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取值范围是　[3，+∞）　．

【解答】解：由题意可知要保证f（x）的最小值为f（1），需满足，

即，

解得a≥3．

故答案为：[3，+∞）

4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（　　）

A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．R

【解答】解：由指数函数的性质可知，函数f（x）＝2x的值域为（0，+∞），

令t＝2x，则t＞0，

∴f（f（x））＝f（t）＝2t＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．

故选：B．

5．已知函数f（x）＝lnx（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（　　）

A．（0，1] B．（1，+∞） C． D．[，+∞）

【解答】解：函数f（x）＝lnx（a﹣1）x+a（a＞0），其定义域满足：x＞0．

则f′（x）ax+（a﹣1）（a＞0）

令f′（x）＝0，可得x（舍去），x＝1．

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；

∴当x＝1时，f（x）取得最大值为；

f（x））的值域为（﹣∞，]，

∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，]，

则1；

解得：a．

则a的取值范围为[，+∞）；

故选：D．

题型三.利用函数单调性比较大小

1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

【解答】解：∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，

又∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴a＝f（）＝f（），

又∵b＝f（2），c＝f（e），

且2e，f（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴f（2）＞f（）＞f（e），

∵a＝f（）＝f（），b＝f（2），c＝f（e），

∴b＞a＞c，

故选：D．

2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c

【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，

又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，

a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），

又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，

则b＞c＞a，

故选：B．

3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（　　）

A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） 

C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0

【解答】解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增，

分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．

同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（），g（b）＝0，∴．

∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，

f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．

∴g（a）＜0＜f（b）．

故选：A．

题型四.利用(抽象)函数单调性解不等式

1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是　（﹣1，3）　．

【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，

∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），

即f（|x﹣1|）＞f（2），

∴|x﹣1|＜2，

解得﹣1＜x＜3，

故答案为：（﹣1，3）

2．已知函数，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 

C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）

【解答】解：由分段函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，

若f（a2﹣4）＞f（3a），

则a2﹣4＞3a，

解可得，a＞4或a＜﹣1．

故选：D．

3．（2012·全国）当时，不等式4x＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（，1）　．

【解答】解：当0≤x时，函数y＝4x的图象如下图所示：

若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所示）

∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于（，2）点时，a，

故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足a＜1，

故答案为：（，1）．

4．（2017·全国3）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是　（，+∞）　．

【解答】解：若x≤0，则x，

则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，

此时x≤0，

当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，

当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，

当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，

此时f（x）+f（x）＞1恒成立，

综上x，

故答案为：（，+∞）．