2021-2022学年度浙江省台州市九年级（上）第一次月考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年度浙江省台州市九年级（上）第一次月考数学模拟试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度浙江省台州市九年级（上）第一次月考数学模拟试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（4分）方程x2＝4x的根是（　　）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
3．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（4分）将多项式x2﹣2x﹣15因式分解得结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣15） B．（x﹣3）（x+5）
C．（x+3）（x﹣5） D．（x﹣1）2﹣16
5．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+7的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
6．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035
7．（4分）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣4x+1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．（4分）若抛物线y＝x2+5x+6与直线y＝x+a只有一个交点，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（4分）下列命题中，正确的个数有（　　）
①若|a+b|＝a﹣b，则a、b中至少有一个是0．
②若S△ABC＝S△ABD（C、D不重合），则CD∥AB．
③图象为直线的函数的解析式为一次函数．
④有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4 个
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2﹣1）a+（m﹣1）b≥0（m为任意实数）中成立式子（　　）

A．②④⑤⑥⑦ B．①②③⑥⑦ C．①③④⑤⑦ D．①③④⑥⑦
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝　　．
12．（5分）将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　　．
13．（5分）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是　　．

14．（5分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　　．
15．（5分）二次函数y＝x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为　　．
16．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，若线段AB在x轴上，且AB＝2，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该抛物线上，则点C的坐标为　　．
三、解答题（共80分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣4x＝﹣1；
（2）（x2+1）2﹣2x2﹣5＝0．
18．（8分）求证：一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
19．（8分）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标．例如：解方程2x+3＝﹣x﹣6可看成是求直线y＝2x+3和直线y＝﹣x﹣6的交点横坐标．利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程：|x2﹣4x+3|＝1的实数根有几个．
20．（9分）已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
21．（9分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
（3）若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°．

22．（12分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
23．（12分）二次函数y＝ax2+2x﹣1与直线y＝2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）设两函数图象的另一交点为Q，M是抛物线上的动点，当S△PQM＝2时，求M点的坐标．
24．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（4分）方程x2＝4x的根是（　　）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有
【分析】原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1代入Δ＝b2﹣4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△b2﹣4ac＝4+4＝8，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．（4分）将多项式x2﹣2x﹣15因式分解得结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣15） B．（x﹣3）（x+5）
C．（x+3）（x﹣5） D．（x﹣1）2﹣16
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有
【分析】根据十字相乘法分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣15
＝（x+3）（x﹣5），
故选：C．
【点评】本题考查了分解因式，能熟记分解因式的方法是解此题的关键．
5．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+7的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【考点】二次函数的性质．版权所有
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可求出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标的关系．顶点式y＝（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
6．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
7．（4分）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣4x+1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的左侧，y随x的增大而减小进行比较即可．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜1时，y随x的增大而减小，
∵A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3），
∴y3＜y2＜y1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解决问题是关键．
8．（4分）若抛物线y＝x2+5x+6与直线y＝x+a只有一个交点，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】根据抛物线y＝x2+5x+6与直线y＝x+a只有一个交点，可以得到方程x2+5x+6＝x+a中的△的值为0，然后计算即可．
【解答】解：令x2+5x+6＝x+a，可得
x2+4x+6﹣a＝0，
∵抛物线y＝x2+5x+6与直线y＝x+a只有一个交点，
∴△＝42﹣4×1×（6﹣a）＝0，
解得a＝2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
9．（4分）下列命题中，正确的个数有（　　）
①若|a+b|＝a﹣b，则a、b中至少有一个是0．
②若S△ABC＝S△ABD（C、D不重合），则CD∥AB．
③图象为直线的函数的解析式为一次函数．
④有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4 个
【考点】命题与定理．版权所有
【分析】根据绝对值、三角形面积、一次函数和平行四边形的判定判断即可．
【解答】解：①若|a+b|＝a﹣b，则a、b中至少有一个是0，是真命题．
②若S△ABC＝S△ABD（C、D不重合），则CD不一定平行AB，原命题是假命题．
③图象为直线的函数的解析式不一定是一次函数，例如直线y＝0或x＝1等，原命题是假命题．
④有一组对边相等和一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2﹣1）a+（m﹣1）b≥0（m为任意实数）中成立式子（　　）

A．②④⑤⑥⑦ B．①②③⑥⑦ C．①③④⑤⑦ D．①③④⑥⑦
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．版权所有
【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②错误，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，故③正确，
∵对称性x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故④正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故⑤错误，
∵2a+b＝0，a﹣b+c＞0，
∴3a+c＞，故⑥正确；
∵x＝1时，函数有最小值y＝a+b+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c（m为任意实数），
∴（m2﹣1）a+（m﹣1）b≥0，故⑦正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝　1　．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．版权所有
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1＝0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，
∴a+1≠0且a2＝1，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
12．（5分）将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　y＝（x﹣5）2+2或y＝x2﹣10x+27　．
【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：
y＝（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y＝x2﹣10x+27．
故答案为：y＝（x﹣5）2+2或y＝x2﹣10x+27．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（5分）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是　x1＝﹣1，x2＝5　．

【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点是（5，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程与二次函数的关系，难点在于熟练掌握二次函数的对称性确定出与x轴的另一交点坐标．
14．（5分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　（2，﹣6）　．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x＝2，又由作点C关于x＝2的对称点C′，直线AC′与x＝2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），
∴×42+4b＝0，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x＝2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x＝2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|＝AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC′的解析式为y＝3x﹣12，
当x＝2时，y＝﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．
15．（5分）二次函数y＝x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为　2　．
【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有
【分析】设两个交点的横坐标为m、n，则m+n＝﹣k﹣4，mn＝k，则|m﹣n|＝＝＝≥＝2，即可求解．
【解答】解：设两个交点的横坐标为m、n，
则m+n＝﹣k﹣4，mn＝k，
则|m﹣n|＝＝＝≥2，
故答案为2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征等，利用根与系数的关系求解是解题的关键．
16．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，若线段AB在x轴上，且AB＝2，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该抛物线上，则点C的坐标为　（+1，3），（﹣+1，3），（0，﹣3）或（2，﹣3）　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质．版权所有
【分析】根据题意和等边三角形的性质，可以求得点C的纵坐标，然后将点C的纵坐标代入二次函数解析式，即可求得相应的x的值，从而可以写出点C的坐标．
【解答】解：∵线段AB在x轴上，且AB＝2，△ABC是等边三角形，
∴点C的纵坐标的绝对值为2×sin60°＝2＝3，
∴点C的纵坐标为3或﹣3，
将y＝3代入y＝x2﹣2x﹣3，可得3＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝+1，x2＝﹣+1，
将y＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3，可得﹣3＝x2﹣2x﹣3，解得x3＝0，x4＝2，
即点C的坐标为（+1，3），（﹣+1，3），（0，﹣3）或（2，﹣3），
故答案为：（+1，3），（﹣+1，3），（0，﹣3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
三、解答题（共80分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣4x＝﹣1；
（2）（x2+1）2﹣2x2﹣5＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．版权所有
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）将x2+1看作整体，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣0.5，
则x2﹣2x+1＝1﹣0.5，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）∵（x2+1）2﹣2x2﹣5＝0，
∴（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0，
∴（x2+1+1）（x2+1﹣3）＝0，即（x2+2）（x2﹣2）＝0，
∵x2+2＞0，
∴x2﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）求证：一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】先进行判别式的值，再利用配方法得到Δ＝（m+2）2+4，接着利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×[﹣（m+2）]
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4，
∵（m+2）2≥0，
∴（m+2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．（8分）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标．例如：解方程2x+3＝﹣x﹣6可看成是求直线y＝2x+3和直线y＝﹣x﹣6的交点横坐标．利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程：|x2﹣4x+3|＝1的实数根有几个．
【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有
【分析】根据两函数图象交点的个数，找出方程解得个数．
【解答】解：方程：|x2﹣4x+3|＝1的根可以看作是函数y＝|x2﹣4x+3|与函数y＝1的图象交点的横坐标，
画出两函数图象，如图所示．

观察图象可知，函数y＝|x2﹣4x+3|与函数y＝1的图象有3个交点，
∴方程|x2﹣4x+3|＝1的实数根的个数是3个．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．
20．（9分）已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．版权所有
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；
（2）求出x＝﹣1时的函数值即可判断；
【解答】解：（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y＝ax2﹣bx+3，
得
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+3，
（2）当x＝﹣1时，y＝1+2+3＝6≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上．
【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（9分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
（3）若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°．

【考点】一元一次方程的应用；根的判别式；一元二次方程的应用．版权所有
【分析】（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，根据△PBQ的面积等于6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）不能，同（1）可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0可得出该方程无实数根，进而可得出在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2；
（3）分0＜t≤及＜t≤5两种情况考虑，理由正切的定义可得出关于t的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意得：（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
答：2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴该方程无实数根，即在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2．
（3）当0＜t≤时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∴tan∠PQB＝，即＝，
解得：t＝10﹣15；
当＜t≤5时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝7cm，
∴tan∠PQB＝，即＝，
解得：t＝5﹣（不符合题意，舍去）．
答：当t为（10﹣15）秒时，∠PQB＝30°．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”；（3）分0＜t≤及＜t≤5两种情况，找出关于t的方程．
22．（12分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【考点】二次函数的应用．版权所有
【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量＝60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费＝每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w＝（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求最大值．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝60﹣（2分）

（2）p＝（200+x）（60﹣）＝﹣+40x+12000（3分）

（3）w＝（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）（2分）
＝﹣+42x+10800
＝﹣（x﹣210）2+15210
当x＝210时，w有最大值．
此时，x+200＝410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
23．（12分）二次函数y＝ax2+2x﹣1与直线y＝2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）设两函数图象的另一交点为Q，M是抛物线上的动点，当S△PQM＝2时，求M点的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．版权所有
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）作MN⊥x轴，交直线y＝2x﹣3于N，令﹣2x2+2x﹣1＝2x﹣3，求得Q的坐标，然后根据三角形面积公式得到|﹣2x2+2x﹣1﹣2x+3|×（1+1）＝2，解方程即可求得M点的坐标．
【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线y＝2x﹣3上，
∴b＝2﹣3＝﹣1，
∴P（1，﹣1），
把P（1，﹣1）代入y＝ax2+2x﹣1，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2+2x﹣1．
（2）作MN⊥x轴，交直线y＝2x﹣3于N，
令﹣2x2+2x﹣1＝2x﹣3，
整理得，x2＝1，
∴x＝±1，
∴Q（﹣1，﹣5），
设M（x，﹣2x2+2x﹣1），则N（x，2x﹣3），
∵S△PQM＝2，
∴|﹣2x2+2x﹣1﹣2x+3|×（1+1）＝2，
∴|﹣2x2+2|＝2，
当﹣2x2+2＝2时，解得x＝0，
当﹣2x2+2＝﹣2时，解得x＝±，
∴M点的坐标为（0，﹣1）或（，﹣5+2）或（﹣，﹣5﹣2）．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
24．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．版权所有
【分析】（1）令抛物线解析式中y＝0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x＝0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y＝0求出x值，即可得出点E的坐标；
（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF＝90°、∠AFP＝90°和∠APF＝90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）当y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0时，有﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∵A在B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
当y＝﹣x2﹣2x+3中x＝0时，则y＝3，
∴C（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），
∴C′（0，﹣3）．
设直线C′D的解析式为y＝kx+b，
则有，解得：，
∴直线C′D的解析式为y＝﹣7x﹣3，
当y＝﹣7x﹣3中y＝0时，x＝﹣，
∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．
（3）设直线AC的解析式为y＝ax+c，
则有，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
假设存在，设点F（m，m+3），
△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF＝90°时，P（m，﹣m﹣3），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，
解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝2，
此时点P的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP＝90°时，P（2m+3，0）
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴0＝﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，
解得：m3＝﹣3（舍去），m4＝﹣1，
此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF＝90°时，P（m，0），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴0＝﹣m2﹣2m+3，
解得：m5＝﹣3（舍去），m6＝1，
此时点P的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．


【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF＝90°、∠AFP＝90°和∠APF＝90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．
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