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2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+5y＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+3x＝0 D．x2+3x﹣2＝x2
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
4．（4分）若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
5．（4分）抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，那么抛物线对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣2
6．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，则下列平移正确的是（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
7．（4分）一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5
8．（4分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＝0；④8a+c＞0；⑤9a+3b+c＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①③④⑤
10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ ．
12．（5分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＞”连接）．
14．（5分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 ．
15．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 ．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：
（1）x2＝2x
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）某商品的售价为100元，经过连续两次降价后，售价为64元，问：该商品单价平均每次降价的百分比是多少？
19．（8分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
21．（10分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
22．（12分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
23．（12分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集；（直接写出答案）
（3）若M（a，y1），N（a+1，y2）两点都在抛物线y＝x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小．
24．（14分）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）为了保证利润不低于8750元，试确定该工艺品销售单价的范围，并说明理由．
2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+5y＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+3x＝0 D．x2+3x﹣2＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；
B．xy+1＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．整理后得3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】整理后得出x2﹣2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
整理，得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：B．
4．（4分）若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2＝＝﹣5．
故选：D．
5．（4分）抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，那么抛物线对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣2
【分析】根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，
∴其对称轴为：直线x＝＝0，即为y轴，
故选：B．
6．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，则下列平移正确的是（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】先将抛物线y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣1）2+2的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3可化为y＝（x﹣1）2+2，
∴把抛物线y＝（x﹣1）2+2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到抛物线y＝x2．
故选：A．
7．（4分）一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5
【分析】根据平方根定义开方，即可得出两个一元一次方程．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
即另一个方程是x﹣1＝﹣5，
故选：C．
8．（4分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560
【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＝0；④8a+c＞0；⑤9a+3b+c＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①③④⑤
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0
即b2＞4ac，∴①正确；
抛物线开口向上，a＞0，与y轴的交点在负半轴，则c＜0，
对称轴﹣＞0，则b＜0，
∴abc＞0，∴②错误；
又∵抛物线对称轴是直线x＝1
即﹣＝1，可得2a+b＝0，∴③正确；
∵从图象可以看到，当x＝﹣2时，y＞0
∴4a﹣2b+c＞0
由③可知b＝﹣2a
∴8a+c＞0，∴④正确；
根据抛物线的轴对称性可知，它与x轴的另一个交点应该在3、4之间，
∴当x＝3时，y＜0
∴9a+3b+c＜0，∴⑤正确．
故选：D．
10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
【分析】由函数解析式可知抛物线对称轴为直线x＝2，分类讨论a＞0与a＜0，根据|x1﹣2|＜|x2﹣2|及开口方向求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＞y1，
∴y1﹣y2＜0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＜y1，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ 2 ．
【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．（5分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+2 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＞y2＞y3 （用“＞”连接）．
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点（2，y3）与点C（4，y3）关于直线x＝3对称，
∵﹣1＜1＜2，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
14．（5分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 900平方米 ．
【分析】设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，
由题意，得S＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，
∵﹣1＜0，
∴当x＝30时，S最大，最大值为900，
故答案为：900平方米．
15．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 27 ．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出点A坐标及对称轴，通过S△ABC＝BC（yA﹣yB）求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标A为（3，4），对称轴为直线x＝3，
∴BC＝6，
当x＝0时y＝﹣5，
∴点B坐标为（0，﹣5），
∴S△ABC＝BC（yA﹣yB）＝×（4+5）＝27．
故答案为：27．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 ①③ （填序号）．
【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：
（1）x2＝2x
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先移项得到x2﹣2x＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）解：△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝．
18．（8分）某商品的售价为100元，经过连续两次降价后，售价为64元，问：该商品单价平均每次降价的百分比是多少？
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：该商品单价平均每次降价的百分比是20%．
19．（8分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 x＜2 时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
【分析】（1）求得抛物线的开口方向和对称轴，进而求解；
（2）计算出当x＝1和x＝5对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＜2；
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，y＝1，
当x＝1时，y＝x2﹣4x+5＝2，
当x＝5时，y＝x2﹣4x+5＝10，
∴当1≤x≤5时，函数值y的取值范围为1≤y≤10．
21．（10分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（12，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式；
（2）把x＝4代入函数解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得，a＝﹣，
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
22．（12分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
【分析】（1）根据h＝10可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（2）由题意可得方程20t﹣t2＝m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m的范围．
【解答】解：（1）∵h＝10，
∴20t﹣5t2＝10，即t2﹣4t+2＝0，
解得：t＝2+或t＝2﹣，
故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；
（2）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2＝m 的两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝202﹣20m＞0，
∴m＜20，
故m的取值范围是0≤m＜20．
23．（12分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集；（直接写出答案）
（3）若M（a，y1），N（a+1，y2）两点都在抛物线y＝x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c，利用待定系数法解得y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3；
（3）直接根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c得：
0＝1+m，，
∴m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2，
∴y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，不等式x2+bx+c＞x+m的解集；
（3）将M（a，y1），N（a+1，y2）两点代入y＝x2﹣3x+2，得：
y1＝a2﹣3a+2，y2＝（a+1）2﹣3（a+1）+2＝a2﹣a．
则y1﹣y2＝a2﹣3a+2﹣（a2﹣a）＝2﹣2a．
①当2﹣2a＞0，即a＜1时，y1＞y2；
②当2﹣2a＝0，即a＝1时，y1＝y2；
③当2﹣2a＜0，即a＞1时，y1＜y2；
所以当a＜1时，y1＞y2；当a＝1时，y1＝y2；当a＞1时，y1＜y2；．
24．（14分）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）为了保证利润不低于8750元，试确定该工艺品销售单价的范围，并说明理由．
【分析】（1）先用描点法画函数图象，再设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）根据每天的利润＝单件利润×每天的销售量列出函数关系式，根据函数的性质求最值；
（3）根据二次函数的性质以及利润等于8750时自变量的取值，写出利润不低于8750元时单价的取值范围．
【解答】解：（1）画图如图：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0），
这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，
解得，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700；
（2）设工艺厂每天的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣10）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+800x﹣7000
＝﹣10（x﹣40）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为40元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；
（3）令y＝8750，则﹣10x2+800x﹣7000＝8750，
整理得：x2﹣80x+1575＝0，
解得：x1＝35，x2＝45，
对于w＝﹣10x2+800x﹣7000，
∵﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当35≤x≤45时，w≥8750，
∴为了保证利润不低于8750元，工艺品销售单价的范围为35≤x≤45．
2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+5y＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+3x＝0 D．x2+3x﹣2＝x2
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
4．（4分）若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
5．（4分）抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，那么抛物线对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣2
6．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，则下列平移正确的是（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
7．（4分）一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5
8．（4分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＝0；④8a+c＞0；⑤9a+3b+c＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①③④⑤
10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ ．
12．（5分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＞”连接）．
14．（5分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 ．
15．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 ．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：
（1）x2＝2x
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）某商品的售价为100元，经过连续两次降价后，售价为64元，问：该商品单价平均每次降价的百分比是多少？
19．（8分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
21．（10分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
22．（12分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
23．（12分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集；（直接写出答案）
（3）若M（a，y1），N（a+1，y2）两点都在抛物线y＝x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小．
24．（14分）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）为了保证利润不低于8750元，试确定该工艺品销售单价的范围，并说明理由．
2021-2022学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+5y＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+3x＝0 D．x2+3x﹣2＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；
B．xy+1＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．整理后得3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】整理后得出x2﹣2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
整理，得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：B．
4．（4分）若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2＝＝﹣5．
故选：D．
5．（4分）抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，那么抛物线对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣2
【分析】根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过（﹣2，0），（2，0）两点，
∴其对称轴为：直线x＝＝0，即为y轴，
故选：B．
6．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，则下列平移正确的是（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】先将抛物线y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣1）2+2的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3可化为y＝（x﹣1）2+2，
∴把抛物线y＝（x﹣1）2+2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到抛物线y＝x2．
故选：A．
7．（4分）一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5
【分析】根据平方根定义开方，即可得出两个一元一次方程．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
即另一个方程是x﹣1＝﹣5，
故选：C．
8．（4分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560
【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＝0；④8a+c＞0；⑤9a+3b+c＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①③④⑤
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0
即b2＞4ac，∴①正确；
抛物线开口向上，a＞0，与y轴的交点在负半轴，则c＜0，
对称轴﹣＞0，则b＜0，
∴abc＞0，∴②错误；
又∵抛物线对称轴是直线x＝1
即﹣＝1，可得2a+b＝0，∴③正确；
∵从图象可以看到，当x＝﹣2时，y＞0
∴4a﹣2b+c＞0
由③可知b＝﹣2a
∴8a+c＞0，∴④正确；
根据抛物线的轴对称性可知，它与x轴的另一个交点应该在3、4之间，
∴当x＝3时，y＜0
∴9a+3b+c＜0，∴⑤正确．
故选：D．
10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
【分析】由函数解析式可知抛物线对称轴为直线x＝2，分类讨论a＞0与a＜0，根据|x1﹣2|＜|x2﹣2|及开口方向求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＞y1，
∴y1﹣y2＜0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＜y1，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ 2 ．
【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．（5分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+2 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＞y2＞y3 （用“＞”连接）．
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点（2，y3）与点C（4，y3）关于直线x＝3对称，
∵﹣1＜1＜2，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
14．（5分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 900平方米 ．
【分析】设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，
由题意，得S＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，
∵﹣1＜0，
∴当x＝30时，S最大，最大值为900，
故答案为：900平方米．
15．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 27 ．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出点A坐标及对称轴，通过S△ABC＝BC（yA﹣yB）求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标A为（3，4），对称轴为直线x＝3，
∴BC＝6，
当x＝0时y＝﹣5，
∴点B坐标为（0，﹣5），
∴S△ABC＝BC（yA﹣yB）＝×（4+5）＝27．
故答案为：27．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 ①③ （填序号）．
【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：
（1）x2＝2x
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先移项得到x2﹣2x＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）解：△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝．
18．（8分）某商品的售价为100元，经过连续两次降价后，售价为64元，问：该商品单价平均每次降价的百分比是多少？
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：该商品单价平均每次降价的百分比是20%．
19．（8分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 x＜2 时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
【分析】（1）求得抛物线的开口方向和对称轴，进而求解；
（2）计算出当x＝1和x＝5对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＜2；
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，y＝1，
当x＝1时，y＝x2﹣4x+5＝2，
当x＝5时，y＝x2﹣4x+5＝10，
∴当1≤x≤5时，函数值y的取值范围为1≤y≤10．
21．（10分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（12，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式；
（2）把x＝4代入函数解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得，a＝﹣，
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
22．（12分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
【分析】（1）根据h＝10可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（2）由题意可得方程20t﹣t2＝m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m的范围．
【解答】解：（1）∵h＝10，
∴20t﹣5t2＝10，即t2﹣4t+2＝0，
解得：t＝2+或t＝2﹣，
故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；
（2）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2＝m 的两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝202﹣20m＞0，
∴m＜20，
故m的取值范围是0≤m＜20．
23．（12分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集；（直接写出答案）
（3）若M（a，y1），N（a+1，y2）两点都在抛物线y＝x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c，利用待定系数法解得y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3；
（3）直接根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c得：
0＝1+m，，
∴m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2，
∴y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，不等式x2+bx+c＞x+m的解集；
（3）将M（a，y1），N（a+1，y2）两点代入y＝x2﹣3x+2，得：
y1＝a2﹣3a+2，y2＝（a+1）2﹣3（a+1）+2＝a2﹣a．
则y1﹣y2＝a2﹣3a+2﹣（a2﹣a）＝2﹣2a．
①当2﹣2a＞0，即a＜1时，y1＞y2；
②当2﹣2a＝0，即a＝1时，y1＝y2；
③当2﹣2a＜0，即a＞1时，y1＜y2；
所以当a＜1时，y1＞y2；当a＝1时，y1＝y2；当a＞1时，y1＜y2；．
24．（14分）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）为了保证利润不低于8750元，试确定该工艺品销售单价的范围，并说明理由．
【分析】（1）先用描点法画函数图象，再设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）根据每天的利润＝单件利润×每天的销售量列出函数关系式，根据函数的性质求最值；
（3）根据二次函数的性质以及利润等于8750时自变量的取值，写出利润不低于8750元时单价的取值范围．
【解答】解：（1）画图如图：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0），
这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，
解得，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700；
（2）设工艺厂每天的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣10）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+800x﹣7000
＝﹣10（x﹣40）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为40元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；
（3）令y＝8750，则﹣10x2+800x﹣7000＝8750，
整理得：x2﹣80x+1575＝0，
解得：x1＝35，x2＝45，
对于w＝﹣10x2+800x﹣7000，
∵﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当35≤x≤45时，w≥8750，
∴为了保证利润不低于8750元，工艺品销售单价的范围为35≤x≤45．
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