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2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期中模拟试卷（含解析）
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这是一份2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期中模拟试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期中模拟试卷
姓名 班级 座号 成绩
一、选择题（共10小题）.
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．x2＝1
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的一个根为2，则另一根是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．﹣2
3．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．40°
4．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17 C．17或19 D．19
10．已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（ ）
A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
12．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是 ．
13．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 y2．（填“＞”或“＜”）．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 cm2．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．解方程
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+8x+15＝0；
（3）25x2+10x+1＝0；
（4）x2﹣3x+1＝0．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求﹣的值．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC和边AC、BC的中点D、E（所有点都在格线的交点处）．
（1）请画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B（其中D′与D对应）；
（2）求证DE＝，DE∥AB．
（提示：不能直接使用中位线的性质）
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，∠EAD＝ °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ．
22．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ．
23．若关于x的分式方程＝﹣2有正整数解，则整数a的值为 ．
24．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
25．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？
27．如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
28．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．x2＝1
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
解：A、2x+1＝0未知数的最高次数是1，故错误；
B、y2+x＝1含有两个未知数，故错误；
C、x2+1＝0是一元二次方程，正确；
D、是分式方程，故错误．
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的一个根为2，则另一根是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．
解：设方程的另一根为x1，
又∵x＝2，
∴x1•2＝﹣4，
解得x1＝﹣2．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．40°
【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．
解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝55°，
故选：C．
4．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，
故选：C．
5．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．
故选：D．
6．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
【分析】作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC＝OA＝，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．
解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，OA＝，
∴OC＝OA＝，
又∵∠AOC＝45°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DOC＝∠OCD，
∴CD＝OD，
在Rt△OCD中，OC＝，CD2+OD2＝OC2，
∴2OD2＝OC2＝（）2＝2，
∴OD2＝1，
∴OD＝CD＝1，
则点C的坐标为（1，1），
故选：B．
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
解：依题意得：（80+2x）（50+2x）＝5400，
即4000+260x+4x2＝5400，
化简为：4x2+260x﹣1400＝0，
即x2+65x﹣350＝0．
故选：B．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0
解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选：D．
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17 C．17或19 D．19
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长＝2+8+9＝19．故选D．
10．已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（ ）
A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确，不符合题意；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确，不符合题意；
C、由①②不能判断四边形是正方形；故符合题意；
D、由②得，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光
所以P（灯泡发光）＝．
故本题答案为：．
12．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是 100（1+x）+100（1+x）2＝250 ．
【分析】设二、三月份的平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，二月份的生产量+三月份的生产量＝250台，可列出方程．
解：设二、三月份的平均增长率为x，则二月份的生产量为100×（1+x），三月份的生产量为100×（1+x）（1+x），
根据题意，得100（1+x）+100（1+x）2＝250．
故答案为：100（1+x）+100（1+x）2＝250．
13．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）．
【分析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 10 cm2．
【分析】由全等三角形的判定得到△AOE≌△COF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO与△FCO中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD＝×8×5＝10（cm²），
故答案为：10．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．解方程
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+8x+15＝0；
（3）25x2+10x+1＝0；
（4）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）方程变形后，开方即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（3）方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
（4）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±1.5，
解得：x1＝2.5，x2＝﹣0.5；
（2）分解因式得：（x+3）（x+5）＝0，
可得x+3＝0或x+5＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5；
（3）方程变形得：（5x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣；
（4）这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∵△＝9﹣4＝5．
∴x＝．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求﹣的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝﹣k，再利用通分和同分母的减法运算得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算，最后约分即可．
解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0，
解得k＞﹣1；
（2）根据题意得a+b＝﹣2，ab＝﹣k，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝1．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC和边AC、BC的中点D、E（所有点都在格线的交点处）．
（1）请画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B（其中D′与D对应）；
（2）求证DE＝，DE∥AB．
（提示：不能直接使用中位线的性质）
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B；
（2）结合（1）利用网格即可证明DE＝，DE∥AB．
【解答】（1）解：如图，△ED′B即为所求；
（2）证明：由（1）知：
D′E＝DE＝DD′,
∵DD′∥AB,DD′＝AB
∴DE＝，DE∥AB．
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 180 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 126° ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
（2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）根据题意得：
54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝ 45 °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD＝90°
∴∠DAE＝45°
故答案为：3，45
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD
∴PF＝x＝AF，
∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4
∴DF＝4﹣x，
∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8
当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．
∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm
∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4
（3）当0＜x≤2时
∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝cm
∴x＝
∴x＝
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
∴PM＝DF＝4﹣x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x
∵MP2+MQ2＝PQ2，
∴（4﹣x）2+（4﹣x）2＝
∴x＝4±＞3（不合题意舍去）
当3＜x≤时，
∵PQ2＝CP2+CQ2，
∴＝1+（7﹣2x）2，
∴x＝
综上所述：x＝或
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ﹣3 ．
【分析】已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a，b就是方程x2+3x＝7的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解：根据题意得：a，b就是方程x2+3x＝7的两根
则a+b＝﹣3
故本题的答案为﹣3．
22．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ﹣2＜a≤﹣1 ．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出a的取值．
解：，
解①得：x≥a，
解②得：x＜1，
则不等式组的解集是：a≤x＜1，
恰有两个整数解，则整数解是0，﹣1．
则﹣2＜a≤﹣1．
故答案是：﹣2＜a≤﹣1．
23．若关于x的分式方程＝﹣2有正整数解，则整数a的值为 a＝0 ．
【分析】先解分式方程式，得x＝，因为有正整数解，所以x＞0，即，得a＜2，x﹣2≠0，x≠2，即，a≠1，即可求出a的取值．
解：原式＝1﹣ax＝﹣1﹣2（x﹣2）
1﹣ax+2x﹣4+1＝0
（2﹣a）x＝2
x＝，
∵分式方程有正整数解，
∴x＞0，即，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
即，∴a≠1，
∴数a的值为：a＝0．
故答案为：a＝0．
24．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【分析】将﹣1，1，2分别代入y＝2x+a，求出与x轴、y轴围成的三角形的面积，将﹣1，1，2分别代入，求出解集，有解者即为所求．
解：当a＝﹣1时，y＝2x+a可化为y＝2x﹣1，与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，﹣1），
三角形面积为××1＝；
当a＝1时，y＝2x+a可化为y＝2x+1，与x轴交点为（﹣，0），与y轴交点为（0，1），
三角形的面积为××1＝；
当a＝2时，y＝2x+2可化为y＝2x+2，与x轴交点为（﹣1，0），与y轴交点为（0，2），
三角形的面积为×2×1＝1（舍去）；
当a＝﹣1时，不等式组可化为，不等式组的解集为，无解；
当a＝1时，不等式组可化为，解得，解集为，解得x＝﹣1．
使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为P＝．
故答案为：．
25．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．
解：在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
在Rt△AHD中，∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？
【分析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利（40﹣x）元，每天可售（20+2x）件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程（40﹣x）（20+2x）＝1200，即可求解．
解：设每件羽绒服应降价x元，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10；x2＝20．
答：每件羽绒服应降价10元或20元．
27．如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；
（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．
解：（1）AG＝FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如图，延长GH交CD于点N，
∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
28．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC＝1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ＝AB，BQ＝BA，BQ＝QA三种情况讨论可求Q点的坐标．
解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，
（x﹣）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1，
∵OA＜OB，
∴OA＝1，OB＝，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB＝2，
又∵AB：AC＝1：2，
∴AC＝4，
∴C（﹣3，0）；
（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
即∠ABC＝90°，
由题意得：CM＝t，CB＝2．
①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；
②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；
（3）存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），
在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），
在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），
②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，
所以Q4（1，）．
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．
2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期中模拟试卷
姓名 班级 座号 成绩
一、选择题（共10小题）.
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．x2＝1
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的一个根为2，则另一根是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．﹣2
3．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．40°
4．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17 C．17或19 D．19
10．已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（ ）
A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
12．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是 ．
13．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 y2．（填“＞”或“＜”）．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 cm2．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．解方程
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+8x+15＝0；
（3）25x2+10x+1＝0；
（4）x2﹣3x+1＝0．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求﹣的值．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC和边AC、BC的中点D、E（所有点都在格线的交点处）．
（1）请画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B（其中D′与D对应）；
（2）求证DE＝，DE∥AB．
（提示：不能直接使用中位线的性质）
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，∠EAD＝ °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ．
22．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ．
23．若关于x的分式方程＝﹣2有正整数解，则整数a的值为 ．
24．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
25．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？
27．如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
28．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．x2＝1
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
解：A、2x+1＝0未知数的最高次数是1，故错误；
B、y2+x＝1含有两个未知数，故错误；
C、x2+1＝0是一元二次方程，正确；
D、是分式方程，故错误．
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的一个根为2，则另一根是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．
解：设方程的另一根为x1，
又∵x＝2，
∴x1•2＝﹣4，
解得x1＝﹣2．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．40°
【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．
解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝55°，
故选：C．
4．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，
故选：C．
5．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．
故选：D．
6．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
【分析】作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC＝OA＝，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．
解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，OA＝，
∴OC＝OA＝，
又∵∠AOC＝45°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DOC＝∠OCD，
∴CD＝OD，
在Rt△OCD中，OC＝，CD2+OD2＝OC2，
∴2OD2＝OC2＝（）2＝2，
∴OD2＝1，
∴OD＝CD＝1，
则点C的坐标为（1，1），
故选：B．
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
解：依题意得：（80+2x）（50+2x）＝5400，
即4000+260x+4x2＝5400，
化简为：4x2+260x﹣1400＝0，
即x2+65x﹣350＝0．
故选：B．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0
解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选：D．
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17 C．17或19 D．19
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长＝2+8+9＝19．故选D．
10．已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（ ）
A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确，不符合题意；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确，不符合题意；
C、由①②不能判断四边形是正方形；故符合题意；
D、由②得，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光
所以P（灯泡发光）＝．
故本题答案为：．
12．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是 100（1+x）+100（1+x）2＝250 ．
【分析】设二、三月份的平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，二月份的生产量+三月份的生产量＝250台，可列出方程．
解：设二、三月份的平均增长率为x，则二月份的生产量为100×（1+x），三月份的生产量为100×（1+x）（1+x），
根据题意，得100（1+x）+100（1+x）2＝250．
故答案为：100（1+x）+100（1+x）2＝250．
13．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）．
【分析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 10 cm2．
【分析】由全等三角形的判定得到△AOE≌△COF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO与△FCO中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD＝×8×5＝10（cm²），
故答案为：10．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．解方程
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+8x+15＝0；
（3）25x2+10x+1＝0；
（4）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）方程变形后，开方即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（3）方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
（4）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±1.5，
解得：x1＝2.5，x2＝﹣0.5；
（2）分解因式得：（x+3）（x+5）＝0，
可得x+3＝0或x+5＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5；
（3）方程变形得：（5x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣；
（4）这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∵△＝9﹣4＝5．
∴x＝．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求﹣的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝﹣k，再利用通分和同分母的减法运算得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算，最后约分即可．
解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0，
解得k＞﹣1；
（2）根据题意得a+b＝﹣2，ab＝﹣k，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝1．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC和边AC、BC的中点D、E（所有点都在格线的交点处）．
（1）请画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B（其中D′与D对应）；
（2）求证DE＝，DE∥AB．
（提示：不能直接使用中位线的性质）
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△EDC绕点E按顺时针方向旋转180°后的△ED′B；
（2）结合（1）利用网格即可证明DE＝，DE∥AB．
【解答】（1）解：如图，△ED′B即为所求；
（2）证明：由（1）知：
D′E＝DE＝DD′,
∵DD′∥AB,DD′＝AB
∴DE＝，DE∥AB．
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 180 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 126° ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
（2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）根据题意得：
54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
19．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝ 45 °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD＝90°
∴∠DAE＝45°
故答案为：3，45
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD
∴PF＝x＝AF，
∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4
∴DF＝4﹣x，
∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8
当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．
∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm
∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4
（3）当0＜x≤2时
∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝cm
∴x＝
∴x＝
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
∴PM＝DF＝4﹣x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x
∵MP2+MQ2＝PQ2，
∴（4﹣x）2+（4﹣x）2＝
∴x＝4±＞3（不合题意舍去）
当3＜x≤时，
∵PQ2＝CP2+CQ2，
∴＝1+（7﹣2x）2，
∴x＝
综上所述：x＝或
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ﹣3 ．
【分析】已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a，b就是方程x2+3x＝7的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解：根据题意得：a，b就是方程x2+3x＝7的两根
则a+b＝﹣3
故本题的答案为﹣3．
22．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ﹣2＜a≤﹣1 ．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出a的取值．
解：，
解①得：x≥a，
解②得：x＜1，
则不等式组的解集是：a≤x＜1，
恰有两个整数解，则整数解是0，﹣1．
则﹣2＜a≤﹣1．
故答案是：﹣2＜a≤﹣1．
23．若关于x的分式方程＝﹣2有正整数解，则整数a的值为 a＝0 ．
【分析】先解分式方程式，得x＝，因为有正整数解，所以x＞0，即，得a＜2，x﹣2≠0，x≠2，即，a≠1，即可求出a的取值．
解：原式＝1﹣ax＝﹣1﹣2（x﹣2）
1﹣ax+2x﹣4+1＝0
（2﹣a）x＝2
x＝，
∵分式方程有正整数解，
∴x＞0，即，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
即，∴a≠1，
∴数a的值为：a＝0．
故答案为：a＝0．
24．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【分析】将﹣1，1，2分别代入y＝2x+a，求出与x轴、y轴围成的三角形的面积，将﹣1，1，2分别代入，求出解集，有解者即为所求．
解：当a＝﹣1时，y＝2x+a可化为y＝2x﹣1，与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，﹣1），
三角形面积为××1＝；
当a＝1时，y＝2x+a可化为y＝2x+1，与x轴交点为（﹣，0），与y轴交点为（0，1），
三角形的面积为××1＝；
当a＝2时，y＝2x+2可化为y＝2x+2，与x轴交点为（﹣1，0），与y轴交点为（0，2），
三角形的面积为×2×1＝1（舍去）；
当a＝﹣1时，不等式组可化为，不等式组的解集为，无解；
当a＝1时，不等式组可化为，解得，解集为，解得x＝﹣1．
使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为P＝．
故答案为：．
25．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．
解：在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
在Rt△AHD中，∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？
【分析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利（40﹣x）元，每天可售（20+2x）件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程（40﹣x）（20+2x）＝1200，即可求解．
解：设每件羽绒服应降价x元，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10；x2＝20．
答：每件羽绒服应降价10元或20元．
27．如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；
（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．
解：（1）AG＝FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如图，延长GH交CD于点N，
∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
28．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC＝1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ＝AB，BQ＝BA，BQ＝QA三种情况讨论可求Q点的坐标．
解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，
（x﹣）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1，
∵OA＜OB，
∴OA＝1，OB＝，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB＝2，
又∵AB：AC＝1：2，
∴AC＝4，
∴C（﹣3，0）；
（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
即∠ABC＝90°，
由题意得：CM＝t，CB＝2．
①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；
②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；
（3）存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），
在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），
在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），
②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，
所以Q4（1，）．
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．
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