2022届一轮复习专题练习4 第27练 任意角和弧度制、三角函数的概念（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习4 第27练 任意角和弧度制、三角函数的概念（解析版），共7页。试卷主要包含了下列说法不正确的是，若α为第三象限角，则等内容，欢迎下载使用。

考点一 角及其表示
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝B
C．A∩B＝B D．A＝B＝C
2．(2020·天水模拟)已知角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
3．(2021·商丘质检)中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是( )
A．7点36分 B．7点38分
C．7点39分 D．7点40分
考点二 弧度制及其应用
4．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
5．已知某扇形的周长是8 cm，面积为4 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2020·舒城模拟)矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP上，然后不滑动的转动，当它转动一周时(A→A1)叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于________．
考点三 三角函数的概念
7．若α为第三象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
8．“tan x＝－eq \f(\r(3),3)”是“x＝eq \f(5π,6)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cs α等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(5),5)或－eq \f(\r(5),5) D.eq \f(3\r(5),5)或－eq \f(3\r(5),5)
10．将射线y＝eq \f(5,12)x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y＝－eq \f(4,3)x(x≤0)的位置所成的角为θ，则cs θ等于( )
A．±eq \f(16,65) B．－eq \f(16,65)
C．±eq \f(56,65) D．－eq \f(56,65)
11.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若平分△PBO的面积，且∠AOB＝α，则( )
A．tan α＝α
B．tan α＝2α
C．sin α＝2cs α
D．2sin α＝cs α
12．已知点P(sin α－cs α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
13.(2020·哈尔滨模拟)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为(注：一丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈eq \f(5,13))( )
A．300立方寸 B．305.6立方寸
C．310立方寸 D．316.6立方寸
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标为eq \f(12,13).若将点B沿单位圆逆时针旋转eq \f(π,2)到达点A，则点A的坐标为________.
答案精析
1．C [对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其他角，比如－330°，所以A选项错误；
对于B选项，锐角是小于90°的角，所以B∪C＝C，故B选项错误；
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确；
对于D选项，A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．]
2．D [方法一 取α＝220°，则eq \f(α,2)＝110°，此时角eq \f(α,2)为第二象限角；取α＝580°，则eq \f(α,2)＝290°，此时角eq \f(α,2)为第四象限角．
方法二 如图，
先将各象限分成两等份，再从x轴正半轴起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，
则标有三的区域即为角eq \f(α,2)的终边所在的区域，故角eq \f(α,2)为第二或第四象限角．]
3．B [设7点t分(0在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，
时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t，
于是6°t＝0.5°t＋210°，解得t＝38eq \f(2,11)≈38.
故这个时刻大约是7点38分．]
4．D [对于A，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确；
对于B，周角为360°，所以1°的角是周角的eq \f(1,360)，周角为2π rad，所以1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)，故B正确；
对于C，根据弧度制与角度制的互化，可得1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°>1°，故C正确；
对于D，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故D错误．]
5．B [设扇形的半径为r cm，所对弧长为l cm，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,l＝4，))故α＝eq \f(l,r)＝2.]
6．30π
解析 由题意可知一次操作完成，顶点A经过的路线分别是以AB为半径的eq \f(1,4)圆弧，AC为半径的eq \f(1,4)圆弧，AD为半径的eq \f(1,4)圆弧，
所以完成一次操作A经过的路线长为eq \f(1,4)×2π×4＋eq \f(1,4)×2π×5＋eq \f(1,4)×2π×3＝6π；
所以经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于6π×5＝30π.
7．C [因为α为第三象限角，所以π＋2kπ<α可得2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)，
所以2α是第一、二象限角，
所以sin 2α>0，cs 2α不确定．]
8．B [由x＝eq \f(5π,6)，可推出tan x＝－eq \f(\r(3),3)，
而由tan x＝－eq \f(\r(3),3)，可推出x＝kπ＋eq \f(5π,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈Z))，
有多个解，即不能推出x＝eq \f(5π,6)，
故“tan x＝－eq \f(\r(3),3)”是“x＝eq \f(5π,6)”的必要不充分条件．]
9．D [因为角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，
所以cs α＝eq \f(a,\r(a2＋2a2))＝eq \f(a,\r(5)|a|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，a>0，,－\f(\r(5),5)，a<0，))
sin α＝eq \f(2a,\r(a2＋2a2))＝eq \f(2a,\r(5)|a|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，a>0，,－\f(2\r(5),5)，a<0，))
所以2sin α－cs α＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，a>0，,－\f(3\r(5),5)，a<0.))]
10．B [设射线y＝eq \f(5,12)x(x≥0)的倾斜角为α，tan α＝eq \f(5,12)，α为第一象限角，
∴sin α＝eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13)；
同理设射线y＝－eq \f(4,3)x(x≤0)的倾斜角为β，tan β＝－eq \f(4,3)，β为第二象限角，
∴sin β＝eq \f(4,5)，cs β＝－eq \f(3,5)，
又θ＝β－α，
∴cs θ＝cs(β－α)＝cs βcs α＋sin βsin α
＝－eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).]
11．B [设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，△PBO的面积为eq \f(1,2)r×rtan α，
由题意得eq \f(1,2)r×rtan α＝2×eq \f(1,2)αr2，∴tan α＝2α.]
12．B [∵点P(sin α－cs α，tan α)在第一象限，
∴sin α－cs α>0，tan α>0，即sin α>cs α，tan α>0，
由sin α>cs α，可得eq \f(π,4)＋2kπ<α由tan α>0，可得2kπ<α∴eq \f(π,4)＋2kπ<α当k＝0时，eq \f(π,4)<α∵α∈[0,2π]，
∴eq \f(π,4)<α13．D [设截面图中圆的半径为R寸，则eq \r(R2－25)＋1＝R，解得R＝13.
如图，在截面图中连接OA，OB，设∠AOB＝α，
则sineq \f(α,2)＝eq \f(5,13)，故eq \f(α,2)≈22.5°，即α≈eq \f(π,4).
阴影部分的面积约为eq \f(1,2)×132×eq \f(π,4)－eq \f(1,2)×10×eq \r(132－52)≈6.332 5，
故木材镶嵌墙内部分的体积约为6.332 5×50＝316.625≈316.6(立方寸)．]
14.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))
解析 由题意得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13)，将点B沿单位圆逆时针旋转eq \f(π,2)到达A点，则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))，
即A(－sin α，cs α)，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，－\f(5,13))).