2021学年3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用练习题

第三章空间向量与立体几何

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为(　　)

A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)

C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)

答案D

解析∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴点B的坐标是(-5,6,24),故选D.

2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(　　)

A.-2 B.- C. D.2

答案D

解析由题意知,a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),

因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=(4-2λ)+(1-2λ)+(9-3λ)=14-7λ=0,解得λ=2.

3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|= (　　)

A. B.4 C.5 D.

答案D

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与AM所成的角为(　　)

A.45° B.60°

C.90° D.不能确定

答案C

解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,A1P=p,易得=(-2,0,1),=(1,p-1,2),

而=-2+0+2=0,所以,即OP⊥AM,

所以直线OP与AM所成的角为90°.故选C.

5.已知A(0,0,-x),B(1,,2),C(x,,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且=x+2x+4,则的夹角为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,∴x=-1,∴A(0,0,1),C(-1,,2),

∴=(1,,1),=(-1,,1),

∴cos<>=,即的夹角为.

故选C.

6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　　. 

答案-8

解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.

7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为　　　　　. 

答案120°

解析由题得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=.

因为(a+b)·c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为,即夹角为60°.

因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120°.

8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

解(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).

又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).

(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),

所以a+c与b+c所成角的余弦值cosθ==-.

9.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c.

(1)用向量a,b,c表示;

(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标.

解(1)∵,

∴)=)=-=-a+b+c.

(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0).

∵A(0,0,0),O,0,P,1,

∴c==,1,

∴=-a+b+c=-×(1,0,0)+×(0,1,0)+×,1=-.

等级考提升练

10.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos<a,b>等于(　　)

A. B. 

C. D.

答案C

11.已知两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于(　　)

A.19 B.- 

C. D.

答案C

解析=(1-x,2x-3,3-3x),||2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14,当且仅当x=时,||取得最小值.故选C.

12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则的夹角是(　　)

A.30° B.45° 

C.60° D.90°

答案C

13.(多选题)下列各组向量中共面的有(　　)

A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)

B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)

C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)

D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)

答案ABC

解析选项A中,设a=xb+yc,则解得故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.选项B中b=-2c,选项C中c=a-b.故B,C中三个向量也共面.

选项D中,设a=xb+yc,则显然无解,故a,b,c不共面.

14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定等于0的是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案C

解析如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c,

则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),

∴=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,b,0),=(0,b,0),=(-a,0,0),

∴=a2-c2,当a≠c时,≠0;=a2-b2,当a≠b时,≠0;=0;=a2≠0.故选ABC.

15.已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　　. 

答案6

解析由题意可得=(2,3,-1),=(-2,1,3),||=,||=,所以cos<>==-,所以sin<>=,

则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S==6.

16.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,点Q的坐标为　　　　　. 

答案

解析设=λ=(λ,λ,2λ),则Q(λ,λ,2λ),

故=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),

所以=6λ2-16λ+10=6,

当λ=时,取最小值,

此时点Q的坐标为.

17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

解(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

新情境创新练

18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

(1)若,求点D的坐标;

(2)是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.

解(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).

因为,所以存在实数m,n,有

解得即D(-1,1,2).

(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).

假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),

所以故存在α=β=1,

使得成立.