高中数学人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课时作业含解析，

[对应学生用书P24]
知识点 一元二次不等式
(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.
[微思考]
不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
[微体验]
1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是( )
A．{x|－3＜x＜1} B．{x|x＜－3或x＞1}
C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜－1或x＞3}
A [不等式变为(x－1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜1.]
2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．
解析 由x2－2x－5＞2x，得x2－4x－5＞0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5＞0的解集为{x|x＜－1或x＞5}．
答案 {x|x＞5或x＜－1}
3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.[来源:学+科+网]
答案 ∅
4．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．
解析 由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＜0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,4＋4a＜0))⇒a＜－1.
答案 a＜－1
[对应学生用书P25]
探究一 一元二次不等式的解法
求不等式4x2－4x＋1＞0的解集．
解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq \f(1,2)，
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2))))).
[变式探究] 将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集．
解 不等式可化为x2－2x＋3＜0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
[方法总结]
解一元二次不等式的一般步骤：
第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6.
解 (1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，
∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．
(2)由－x2＋7x＞6，得x2－7x＋6＜0.
∵x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，
∴不等式x2－7x＋6＜0的解集为{x|1＜x＜6}．
探究二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
解 由根与系数的关系，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝2.))
∴不等式bx2＋ax＋1＞0，即2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0，解得x＜eq \f(1,2)或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,2)或x＞1)))).
[方法总结]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
[跟踪训练2] 已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．
解 方法一：由题设条件知a＞0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝\f(b,a)，,1×2＝\f(2,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
方法二：把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋2＝0，,4a－2b＋2＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
探究三 一元二次不等式的实际应用问题
某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解 设花卉带的宽度为x m(0＜x＜300)，
则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.
根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
即(x－600)(x－100)≥0，
解得0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度的范围为(0,100]．
[方法总结]
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
[跟踪训练3] 在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问谁超速行驶应负主要责任．
解 由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01xeq \\al(2,甲) ＞12，
解得x甲＜－40或x甲＞30，
S乙＝0.05x乙＋0.005xeq \\al(2,乙)＞10.
解得x乙＜－50或x乙＞40.
由于x＞0，从而得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
[对应学生用书P26]
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
2．一元二次不等式解集的记忆方法
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．
(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的二次项系数a＜0时，可以转化为a＞0.
3．解一元二次不等式应用题
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式
[见课时作业(十)P145]
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))
C．∅ D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))
A [变形为(3x＋1)2≤0.∴x＝－eq \f(1,3).]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [通解：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
优解：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}．]
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1≤x≤2}
D [由题意知，－eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又∵a＜0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.]
4．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x| x＜－2或x＞1} D．{x|－1＜x＜2}
B [根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故不等式的解集是{x|－2＜x＜1}．]
5．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C [由条件知25x－y＝25x－3 000－20x＋0.1x2＝0.1x2＋5x－3 000≥0，即x2＋50x－30 000≥0. ∴(x＋200)(x－150)≥0. 解得x≥150或x≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．]
6．不等式ax2＋bx＋12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a－b＝________.
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－3＋2＝－\f(b,a)，,－3×2＝\f(12,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－2.))
∴a－b＝0.
答案 0
7．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B⊆A，则a的取值范围为________．
解析 A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}．若B⊆A，如图，则a≤1.
答案 (－∞， 1]
8．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．
解析 由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－32－4m≥0，,x1＋x2＝3－m＞0，,x1x2＝m＞0，))解得0＜m≤1.
答案 0＜m≤1
9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．
10．关于x的不等式mx2－mx－6＋m＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解 ①若m＝0，则问题等价于－6＜0对x∈R恒成立，显然成立．
②若m≠0，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,Δ＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,－m2－4mm－6＜0.))
解得m＜0.
综上所述，所求m的取值范围是m≤0.
1．不等式mx2－ax－1＞0(m＞0)的解集可能是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(1,4))))) B．R
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＜x＜\f(3,2))))) D．∅
A [因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m＞0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D．]
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＜0，,x2－3x＜0))的解集为( )
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|0＜x＜3}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
C [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＜0,x2－3x＜0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜1,0＜x＜3))，∴0＜x＜1.]
3．设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＜0的解集为________．
解析 因为a＜－1，所以a(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＜0⇔(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＞0.又a＜－1，所以eq \f(1,a)＞a，所以x＞eq \f(1,a)或x＜a.
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜a或x＞\f(1,a)))))
4．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为________．
解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
5．解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为
(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
6．(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30° 的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．
∵AB＝400，∠BAx＝30° ，
∴台风中心B的坐标为(200eq \r(3)，－200)，
x h后台风中心B到达点P(200eq \r(3)，40x－200)处．
由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，
即(200eq \r(3))2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，解得，3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.
课程标准
学科素养
1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两个不相等
的实数根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相
等的实数根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅