高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 综合过关检测(三)　函数的概念与性质
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，函数的个数是(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4　 B．3　
C．2　 D．1
B　[①②③是函数，④中x的取值集合为空集，不是函数．]
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－1,2)∪(2，＋∞)　 B．(－1，＋∞)
C．[－1,2)　 D．[－1，＋∞)
A　[由解得x≥－1，且x≠2.]
3．函数f(x)＝的图象是(　　)[来源:Z。xx。k.Com]

C　[由于f(x)＝＝所以其图象为C．]
4．函数f(x)＝则f(f(2))的值为(　　)
A．－1　 B．－3　
C．0　 D．－8
C　[f(2)＝22－2－3＝－1，f(f(2))＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.]
5．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3　 B．－1　
C．1　 D．3
C　[因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.]
6．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为(　　)
A．[－1,1]　 B．[－1,2]
C．(－∞，1]　 D．[－1，＋∞)
A　[原不等式等价于或解得－1≤x≤1.]
7．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则(　　)
A．函数f(x2)是奇函数　 B．函数[f(x)]2是奇函数
C．函数f(x)·x2是奇函数　 D．函数f(x)＋x2是奇函数
C　[f((－x)2)＝f(x2)，则函数f(x2)是偶函数，故A错误；[f(－x)]2＝[－f(x)]2＝[f(x)]2，则函数[f(x)]2是偶函数，故B错误；函数f(－x)·(－x)2＝－f(x)·x2，则函数f(x)·x2是奇函数，故C正确；f(－x)＋(－x)2≠f(x)＋x2，且f(－x)＋(－x)2≠－f(x)－x2，则函数f(x)＋x2是非奇非偶函数，故D错误．]
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A．　 B．
C． 　 D．
A　[∵函数f(x)是偶函数，∴f(2x－1)＜f等价于f(|2x－1|)＜f. 又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|＜，解得＜x＜.]
9．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
A　[由题意可得解得≤a＜.]
10．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图：则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的(　　)


A　[由图象知y＝ f(x)与y＝g(x)均为奇函数，所以F(x)＝ f(x)·g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D不符合要求. 在x＝0的左侧附近，因为f(x)>0，g(x)<0，所以F(x)<0，在x＝0的右侧附近，因为f(x)<0，g(x)>0，所以F(x)<0. 所以B，C不符合要求．]
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A．(0,3)　 B．(0,3]　
C．(0,2)　 D．(0,2]
D　[因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a－3<0 (1)，x>1时，f(x)递减，2a＞0，即a>0 (2)，且(a－3)×1＋5≥(3)，联立(1)(2)(3)计算得出0 12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为y＝－x2，值域为{－1，－9}的“同族函数”共有(　　)
A．9种　 B．8种　
C．5种　 D．4种
A　[由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数，函数解析式为y＝－x2，值域为{－1，－9}，当x＝±1时，y＝－1；当x＝±3时，y＝－9，则定义域可以为：{－1，－3}，{－1,3}，{1，－3}，{1,3}，{－1,1，－3}，{－1,1,3}，{－1，－3,3}，{1，－3,3}，{－1,1，－3,3}，共9个．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)满足f(2x＋1)＝3－2x，则f(x)的解析式为________．
解析　根据题意，设2x＋1＝t，t∈R，所以x＝，所以f(t)＝3－2×＝4－t，所以f(x)＝4－x.
答案　f(x)＝4－x
14．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析　函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴(m－2)x2－(m－1)x＋2＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2，∴(m－1)x＝0，此式对于任意实数x∈R都成立，所以m－1＝0，即m＝1.所以函数的解析式为f(x)＝－x2＋2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]．
答案　(－∞，0]
15．定义符号函数sgnx＝设f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)，x∈[0,1]，若f1(x)＝x＋，f2(x)＝2(1－x)，则f(x)的最大值等于________．
解析　由题意知f(x)＝
所以f(x)的最大值等于1.
答案　1
16．设函数f(x)＝|x2－2ax＋b|，给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称；
③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；
④f(x)有最大值|a2－b|.
其中正确命题的序号是________．[来源:Z§xx§k.Com]
解析　①，f(－x)＝|x2＋2ax＋b|，当a≠0时，f(－x)≠f(x)，所以f(x)不一定是偶函数，故①错误；②，当取函数为f(x)＝|x2－4x＋2|时，有f(0)＝f(2)，但函数关于x＝2对称，故②错误；③，由题意知，Δ＝(－2a)2－4b＝4(a2－b)≤0，所以x2－2ax＋b≥0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，对称轴为x＝a，所以f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，故③正确；④，f(x)＝|(x－a)2－(a2－b)|，当a2－b>0时，即Δ>0，函数与y轴有交点，此时最小值是0，故④错误．
答案　③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
(1)解　由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2,2a＋b＝－1，[来源:学,科,网]
即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)证明　函数f(x)在R上的单调递减，证明如下：∀x1x2∈R，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1 即函数f(x)在R上单调递减．
18．(12分)函数f(x)的定义域D：{x|x≠0}且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(1)解　令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)证明　函数f(x)为偶函数，证明如下，令x1＝x2＝－1，有f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0，令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
19．(12分)已知a，b为常数，a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)在区间[m，n]上的值域是[2m,2n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)由f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根，得，解得.
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)，知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1.
①当1＜m＜n时，f(x)在[m，n]上单调递减，
∴，即无解．
②当m＜n＜1时，f(x)在[m，n]上单调递增，
∴，即，解得.
③当m＜1＜n时，f(1)＝2n，即n＝＜1，不合题意．
综上，m＝－2，n＝0.
20．(12分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示学生的接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：
f(x)＝
(1)讲课开始后5 min和讲课开始后20 min比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13 min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
解　(1)f(5)＝53.5，f(20)＝47<53.5，
所以讲课开始后5 min学生的注意力更加集中．
(2)当0 所以f(x)max＝f(10)＝59，
当16 所以，讲课开始后10min注意力最集中，能持续6 min.
(3)当0 当16 所以学生能达到55的接受能力的时间为－6＝<13，所以，老师讲不完．
21．(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值是.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0,1]上的最小值，其中t∈R；
(3)在区间[－1,3]上， y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
解　(1)由题知二次函数图象的对称轴为x＝，又最小值是，
则可设f(x)＝a2＋(a≠0)，
又图象过点(0,4)，则a2＋＝4，解得a＝1.
∴f(x)＝2＋＝x2－3x＋4.
(2)h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其对称轴为x＝t.
①t≤0时，函数h(x)在[0,1]上单调递增，最小值为h(0)＝4.
②当0＜t＜1时，函数h(x)的最小值为h(t)＝4－t2.
③当t≥1时，函数h(x)在[0,1]上单调递减，
最小值为h(1)＝5－2t.
∴h(x)min＝
(3)由已知得f(x)＞2x＋m对x∈[－1,3]恒成立，
∴m＜x2－5x＋4对x∈[－1,3]恒成立．
∴m＜(x2－5x＋4)min(x∈[－1,3])．
令g(x)＝x2－5x＋4，
∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1,3]上的最小值为－，
∴实数m的取值范围为m＜－.
22．(12分)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；
②函数y＝ f(x)，x∈[a，b]的值域是[a, b]，则称区间[a, b]为函数f(x)的“不变”区间．
(1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间；
(2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
解　(1)易知函数y＝x2(x≥0)单调递增，
故有解得
又a 所以函数y＝x2(x≥0)的“不变”区间为[0, 1]．
(2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)单调递增，
若函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间，
则有：b>a≥0，
所以消去m得a2－b2＝a－b，
整理得(a－b)(a＋b－1)＝0.
因为a 又所以0≤a<.
因为m＝－a2＋a＝－2＋，
所以0≤m<.
同理，当a＜b≤0，a＝－b－1.又，
所以－＜b≤0，
因为m＝－2－，
∴－1≤m＜－.
综上，当0≤m<或－1≤m＜－时，[来源:学科网]
函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间．