数学选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质同步达标检测题

第五章计数原理

§4　二项式定理

4.2　二项式系数的性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)

A.11 B.10 C.9 D.8

答案D

解析∵只有第5项的二项式系数最大,

∴+1=5.∴n=8.

2.(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是 (　　)

A.第(n-r)项 B.第(n-r+1)项

C.第(n-r+2)项 D.第(n-r+3)项

答案D

解析因为第(r-1)项的系数为,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.

3.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　　)

A.10 B.20 

C.30 D.120

答案B

解析由2n=64,得n=6,则Tk+1=x6-kx6-2k(0≤k≤6,k∈N).

由6-2k=0,得k=3.则T4==20.

4.若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为(　　)

A.5 B.8 C.10 D.15

答案A

解析(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.

5.若的二项式系数之和为128,则展开式中含的项是(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项Tk+1=(3x)7-k·=(-1)k·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T7=.

6.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　)

A.64 B.32 C.63 D.31

答案B

解析由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则=32.

7.设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+…+a10=　. 

答案1

解析令x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.

8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:

(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;

(3)a1+a3+a5.

解(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①

(2)∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.

令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35. ②

则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.

(3)由①②两式联立,得

则a1+a3+a5=×(1-243)=-121.

9.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,求:

(1)各项系数之和;

(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.

解(1)各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-3)10=(-1)10=1.

(2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+…+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.

由(1)知a0+a1+a2+…+a10=1, ①

令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510, ②

①+②得,2(a0+a2+…+a10)=1+510,则奇数项系数的和为;

①-②得,2(a1+a3+…+a9)=1-510,则偶数项系数的和为.

等级考提升练

10.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为(　　)

A.8 B.9 C.10 D.11

答案B

解析由题意知(1+1)n(3-1)=1024,

即2n+1=1024,故n=9.

11.若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则+…+的值为(　　)

A.2 B.0 C.-1 D.-2

答案C

解析令x=0,则a0=1,令x=,则a0++…+=0,故+…+=-1.

12.(x+1)9按x的升幂排列二项式系数最大的项是(　　)

A.第4项和第5项 B.第5项

C.第5项和第6项 D.第6项

答案C

解析展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大.

13.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是(　　)

A.第8项 B.第9项

C.第8项、第9项 D.第11项、第12项

答案D

解析展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.

14.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N*)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(　　)

A.26 B.27 C.7 D.8

答案D

解析第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即(r=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8.

15.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是　　　　　　　　　. 

答案

解析由题图可知,第n(n≥2)行的第2个数是第(n-1)行第1个数跟第2个数的和,即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,…….则an=2+2+3+4+5+…+…+n-1=1+.

16.若(2x+)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为　　　　　. 

答案1

解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+)4=1.

17.已知(+3x2)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.求:

(1)展开式中二项式系数最大的项;

(2)展开式中系数最大的项.

解令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n=4n.

展开式二项式系数和为+…+=2n,

由题意有4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.

(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,

它们是T3=)3·(3x2)2=90x6,

T4=)2(3x2)3=270.

(2)设展开式中第k+1项的系数最大.

由Tk+1=)5-k·(3x2)k=3k,

得≤k≤.

因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.

新情境创新练

18.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:

(1)求第20行中从左到右的第4个数;

(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.

解(1)=1140.

(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.