高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理2 排列问题2.1 排列与排列数第2课时测试题

第五章计数原理

§2　排列问题

第2课时　排列(二)

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2020湖南益阳期末)设n∈N+,且n<20,则(20-n)(21-n)·…·(2 020-n)=(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析先确定最大数,即2020-n,再确定因式的个数,即(2020-n)-(20-n)+1=2001,所以原式=.

2.(2020安徽淮南九中月考)要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长,但甲不能当副组长,则不同的选法种数是(　　)

A.20 B.16 C.10 D.6

答案B

解析不考虑限制条件有种选法,若甲当副组长,有种选法,故甲不当副组长的选法有=16(种).

3.(2020湖北重点高中联考协作体月考)在由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位上的数字之和为奇数的共有(　　)

A.36个 B.24个 C.18个 D.6个

答案B

解析数字之和为奇数有两种可能:①“三奇”,可组成数字=6(个);②“两偶一奇”,可组成数字3·=18(个).由分类加法计数原理得,各位上的数字之和为奇数的共有6+18=24(个).

4.5人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数可以是(　　)

A.36 B.60 C.72 D.48

答案C

解析先将除了甲、乙两人之外的3人全排,共种不同的排法,

再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法,

所以5人并排站成一行,甲、乙两个人不相邻的不同排法种数是=6×12=72,故选C.

5.若要在某跨海大桥上建造风格不同的3个报警电话亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为(　　)

A.144 B.72 C.36 D.9

答案B

解析若电话亭用△表示,观景区用○表示,先排电话亭有种方法.则观景区插入电话亭所形成的空时,只有△○△○△○或○△○△○△两类,观景区有2种排法.故共有2=72种排法.

6.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有　　　　　种参赛方案. 

答案240

解析(方法一)从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类:

第1类,甲不参赛,有种参赛方案;

第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种方法,然后安排其他3棒,有种方法,此时有2种参赛方案.

由分类加法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有+2=240(种).

(方法二)从位置(元素)的角度考虑,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人,有种方法;其余两棒从剩余4人中选,有种方法.

由分步乘法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有=240(种).

(方法三)排除法

不考虑甲的约束,6个人占4个位置,有种安排方法,剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2种,所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有-2=240(种).

7.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为　　　　　. 

答案24

解析分3步进行分析,

①先安排两位爸爸,必须一首一尾,有=2种排法,

②两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素,考虑其顺序有=2种排法,

③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列,有=6种排法.则共有2×2×6=24种排法.

8.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?

(1)偶数不相邻;

(2)偶数一定在奇数位上;

(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.

解(1)用插空法,共有=1440个.

(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法.共有=576个.

(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720(个).

等级考提升练

9.7名学生站成一排,若甲、乙相邻,但都不和丙相邻,则不同的排法种数是(　　)

A.480 B.960 C.720 D.360

答案960

解析先将甲、乙捆绑,看作一个元素,有种排法,然后将除甲、乙、丙之外的4名学生全排列,有种不同的排法,再将甲、乙、丙插入5个空中的两个,有种不同的排法,因此,一共有=960种不同排法.

10.用0到9这10个数字,组成没有重复数字的四位偶数的个数是(　　)

A.2 295 B.2 296 C.2 297 D.2 298

答案B

解析(方法一)先排个位,若个位是0,则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排,有种,若个位不是0,则个位有种选择,再排千位,有种方法,再排百位和十位有种方法,所以没有重复数字的四位偶数共有=2296(个).

(方法二)个位是0的不同四位数偶数共有种,个位不是0时,先排个位,有种方法,其余三个数位从剩下的9个数中取3个排列,有种方法,则有个排列,其中包含千位为0的排列种,故没有重复数字的四位偶数共有)=2296(个).

(方法三)若千位为奇数,则有个,若千位是偶数,有个,故共有=2296(个).

(方法四)没有重复数字的四位数有个,没有重复数字的四位奇数有)个,故没有重复数字的四位偶数有)=2296(个).

故选B.

11.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 s.若要实现所有不同的闪烁,则需要的时间至少是(　　)

A.1 205 s B.1 200 s C.1 195 s D.1 190 s

答案C

解析由题意知,共有=120个不同的闪烁,而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5s,共有120×5=600s,每两个闪烁之间需间隔5s,共有120-1=119个闪烁间隔,用时119×5=595s,故总用时600+595=1195s.

12.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有(　　)

A.48种 B.192种

C.240种 D.288种

答案B

解析(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.

13.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有(　　)

A.120个 B.80个 

C.40个 D.20个

答案C

解析由题意知可按十位数字的取值进行分类:

第一类,十位数字取9,有个;

第二类,十位数字取6,有个;

第三类,十位数字取5,有个;

第四类,十位数字取4,有个.

所以一共有=40个.

14.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有　　　　　种. 

答案36

解析将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有种方法.于是符合题意的排法共有=36(种).

15.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有　　　　　个. 

答案120

解析数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120(个).

16.三个女生和五个男生排成一排.

(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?

(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?

(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?

解(1)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有六个元素,排成一排有种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有种排法,因此共有=4320种不同排法.

(2)先排5个男生,有种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有种排法,因此共有=14400种不同排法.

(3)因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人排列,有种排法,剩余的位置没有特殊要求,有种排法,因此共有=14400种不同排法.

新情境创新练

17.如图,某伞厂生产的太阳伞蓬是由8块相同的区域组成的,用7种颜色分别涂在伞蓬的8个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?

解如图,对8个区域进行编号,任选一组对称区域(如1与5)同色,用7种颜色涂8个区域的不同涂法有种,又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的,即重复染色2次,故此种图案至多有=2520(种).