2022届一轮复习专题练习13　平衡中的临界极值问题（解析版）

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1.(2020·四川泸州市一诊)如图1所示，三根不可伸长的轻绳一端共同系于O点，A端和B端分别固定在墙壁和地面上，某同学用水平方向的力拉绳OC，三绳绷紧后，OB绳竖直，OC绳水平，OA绳与竖直墙面夹角θ＝30°.三根绳能承受的最大拉力均为300 N，为保证三根轻绳都不被拉断，则人对OC绳的水平拉力最大不能超过( )
图1
A．100 N B．150 N C．150eq \r(3) N D．300 N
答案 B
解析 对结点O受力分析，如图所示，
由边角关系可知OA绳中的拉力最大，由平衡条件得：FC＝FAsin θ
只要OA不被拉断，则三根轻绳都不被拉断，则FA≤300 N，解得：FC≤150 N，选项B正确．
2.(2019·贵州毕节市适应性监测(三))如图2所示，一安装有滑轮的斜面M置于粗糙的水平地面上，P、Q两物体用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)，P悬于空中，Q在斜面上处于静止状态(与Q相连的轻绳与斜面平行)．当用沿斜面向上的恒力推Q时，M、Q仍恰好静止不动，则有( )
图2
A．Q受到的摩擦力大小不变，方向变化
B．Q受到的摩擦力可能变大
C．Q受到的拉力变小
D．M受到水平地面的摩擦力方向始终向左
答案 B
解析 在没用沿斜面向上的推力推物体Q时，对P、Q和M整体受力分析，可知水平方向不受力，因此刚开始地面和斜面M之间没有摩擦力；当用沿斜面向上的力推Q时，P、Q和M仍静止不动，对整体受力分析，可知整体受到竖直向下的重力、地面支持力、沿斜面向上的推力以及沿水平面向右的摩擦力，故D错误．在整个过程中物体P保持静止，对物体P受力分析可知绳上的拉力T＝mPg，因此绳上的拉力不变，Q受到的拉力也不变，C错误．对物体Q受力分析，当物体Q受到的静摩擦力沿斜面向下时有T＝mQgsin θ＋f1，当作用外力F时有T＋F＝mQgsin θ＋f2，可知静摩擦力可能增大；当物体Q受到的静摩擦力沿斜面向上时有T＋f1＝mQgsin θ，作用外力F时，T＋f2＋F＝mQgsin θ，可知静摩擦力可能减小，故A错误，B正确．
3.(2020·福建厦门双十中学第二次月考)如图3，轻杆上端可绕固定的水平光滑轴转动，下端固定一质量为m的小球搁在质量为2m的木板M上，木板置于光滑水平地面上，杆与竖直方向成30°角，球与木板间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．为将木板向右水平拉出，水平拉力F至少等于( )
图3
A.eq \f(\r(3),3)mg B.eq \f(\r(3),6)mg C.eq \f(\r(3),2)mg D.eq \f(1,6)mg
答案 B
解析 当刚好将木板向右水平拉出时，对球受力分析如图所示，根据平衡条件有：f＝Tsin θ，Tcs θ＋N＝mg且f＝μN，代入数据得：T＝eq \f(\r(3),3)mg，N＝eq \f(1,2)mg，f＝eq \f(\r(3),6)mg；对木板受力分析知：F＝f′＝f＝eq \f(\r(3),6)mg，故选项B正确．
4.(2019·河南开封市模拟)课堂上，老师准备了“∟”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图4所示(截面图)方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为( )
图4
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 θ取0°时，下面两圆柱之间将会分开，无法稳定，应适当增大θ以保持系统稳定，此时下面两圆柱之间有弹力；当下面两圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的θ为最小值；继续增大θ，右圆柱和上圆柱之间弹力减小，若θ太大，此两圆柱将分开，当上圆柱和右圆柱之间的弹力恰好为0，对应的θ为最大值．临界情况为θmax时，左边两圆柱的圆心连线在竖直方向上，保证上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互接触且无弹力，可得θ＝30°.故A正确，B、C、D项错误．
5．(2019·湖南娄底市下学期质量检测)如图5所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r的均匀半球体物块A，现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5，则A球球心距墙角的最远距离是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
图5
A.eq \f(9r,5) B．2r C.eq \f(11r,5) D.eq \f(13r,5)
答案 C
解析 由题意知，B的质量为2m，对A、B整体，地面对A的支持力为：N＝3mg，当地面对A的摩擦力达到最大静摩擦力时，A球球心距墙角的距离最远，分别对A、B受力分析，如图所示；
根据平衡条件得：NAB＝eq \f(2mg,sin θ)，NBAcs θ＝μN，
又NAB＝NBA，
解得：tan θ＝eq \f(4,3)，则A球球心距墙角的最远距离为：x＝2rcs θ＋r＝eq \f(11,5)r，故C正确，A、B、D错误．
6.(2019·陕西西安市高三一模)质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),3)，g取10 m/s2，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，如图6所示．为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时θ分别是( )
图6
A．50 N 30° B．50 N 60°
C.eq \f(200,3) N 30° D.eq \f(200,3) N 60°
答案 A
解析 木箱受重力mg、支持力N、摩擦力f、拉力F四个力作用，设N与f的合力F′与竖直方向夹角为α，tan α＝eq \f(f,N)＝μ＝eq \f(\r(3),3)，则α＝30°，如图所示．则当拉力F与F′垂直时，拉力最小，此时θ＝30°，Fmin＝mgsin α＝mgsin 30°＝50 N，故选A.
7.如图7所示，在两个人一推一拉作用下物体匀速上滑，设两人用力大小相同，均为F.已知物体与斜坡间的动摩擦因数为μ＝eq \f(\r(3),3)，推力F与斜坡平行，拉力F与斜坡成α角，斜坡与水平面的夹角为β，下列说法正确的是( )
图7
A．当α＝30°，F有最大值
B．当α＝45°，F有最小值
C．当α＝30°，F有最小值
D．当α＝45°，F有最大值
答案 C
解析 对物体受力分析，在垂直于斜面方向上，由平衡条件得：N＋Fsin α＝mgcs β，在平行于斜面方向上：Fcs α＋F－mgsin β－μN＝0，解得：F＝eq \f(mgsin β＋μmgcs β,1＋cs α＋μsin α)，cs α＋μsin α＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α＝eq \f(2\r(3),3)sin (60°＋α)，则当α＝30°时，cs α＋μsin α最大，F最小，故选C.