2021届高中数学一轮复习 规范答题提升课一 课件 （文数）（北师大版）

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【考题】(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin x-xcs x-x ① f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点② (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax ，③ 求a的取值范围.
【命题意图】该题主要考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围等问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想以及数学抽象、数学运算以及逻辑推理等核心素养.
【规范解答】(1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cs x+xsin x-1,g′(x)=xcs x.………………………………………………………………………… 1分当x∈ 时,g′(x)>0;当x∈ 时,g′(x)<0, ……………………………………2分所以g(x)在 单调递增,在 单调递减. ………………3分又g(0)=0,g >0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点. …………4分所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点. ……………5分
(2)由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0. ……………6分由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0, ……………………7分所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,π)单调递减. ……………………8分又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0. ………………………10分又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0]. ………………………12分
【得分要点】送分点:简单的求导过程,若导数求错,则该题不得分.易错点:分析导函数符号,判断函数单调性.该处易出现的问题是错误判断导函数的符号,导致单调性判断错误,造成扣分.得分点:根据函数值符号判断零点的存在性,依据就是零点存在性定理.该处只需判断g(π)<0即可.所以不需求值,只要判断准确函数值符号就不扣分.得分点:根据导函数符号判断函数单调性,该处需要结合(1)问的结论,如判断失误,不能确定单调区间,则后面解题过程不得分.易错点:不能正确判断f(x)的符号扣1分.易错点:该处失分点,易漏掉等号导致扣1分.
【考情分析】利用导数研究函数的单调性、零点等是历年高考命题的重点与热点,此类问题虽然设问方式或载体函数多变,但核心问题就是综合运用导数.这类题型应加强熟练程度,提高综合灵活解决这类题的能力.