高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换示范课ppt课件

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1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式,并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算)
[激趣诱思]大雁是人们熟知的鸟类之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,互相紧接着列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”
字形,一旦减速,队伍又由“人”字形换成“一”字形.当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的就可以依次利用这股气流,从而节省了体力.研究表明,大雁排成的“人”字队形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字队形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.问题:这两个角的三角函数之间有什么关系?
知识点:二倍角的正弦、余弦、正切公式
名师点析 1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是 的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.2.对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.3.一般情况下,sin 2α≠2sin α,cs 2α≠2cs α,tan 2α≠2tan α.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin 3αcs 3α= sin 6α.
微拓展二倍角公式的变换(1)因式分解变换.cs 2α=cs2α-sin2α=(cs α+sin α)·(cs α-sin α).(2)配方变换.1±sin 2α=sin2α+cs2α±2sin αcs α=(sin α±cs α)2.(3)升幂缩角变换.1+cs 2α=2cs2α,1-cs 2α=2sin2α.(4)降幂扩角变换.
例1求下列各式的值:
反思感悟 对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
变式训练1求下列各式的值:
反思感悟 解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
反思感悟 1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
两组拓展公式及应用1.三倍角公式(1)sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcs α+cs 2αsin α=2sin αcs2α+(1-2sin2α)sin α=2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α=3sin α-4sin3α.(2)cs 3α=cs(2α+α)=cs 2αcs α-sin 2αsin α=(2cs2α-1)cs α-2(1-cs2α)cs α=4cs3α-3cs α.