2021-2022年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷人教A版

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这是一份2021-2022年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=x|x2+x−6<0 ，B=x|y=lg1−x，则A∪B=( )
A.x|−3
2. 已知i虚数单位，z是复数，若1+2iz=1−3i，则复数z的模为( )
A.2B.22C.2D.1

3. 已知a=lg20.3，b=lg0.30.2，c=0.20.3，则( )
A.a
4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线过点2,3，则双曲线离心率为( )
A.134B.132C.133D.139

5. 已知flnx=x2+lnx，则f′0=( )
A.2B.3C.4D.1

6. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A.66B.48C.36D.30

7. 已知fx是定义在R上的偶函数，且fx+2+fx=0，当x∈0,1时，fx=2x−2，则flg18125=( )
A.716B.−716C.34D.−34

8. 若曲线y=xex−ax+1与直线x−y+1=0相切．则实数a的值为( )
A.eB.0或−1C.0D.−1
二、多选题

下列命题为真命题的有( )
A.若a>b，则a3>b3B.若a>|b|，则a2>b2
C.若ab≠0，则ba+ab≥2D.若a>b>e，则lnaa>lnbb

下列结论错误的有( )
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>0，b>0，ab=a+b+3，则ab≥9
C.△ABC中， sinA+4sinA的最小值是4
D.不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立的充要条件是−3
下列说法正确的是( )
A.“a>b”是|a|>|b|”的充分不必要条件
B.命题“∃x∈−3,+∞，x2≤9”的否定是"∀x∈−3,+∞，x2>9”
C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的必要不充分条件
D.“m≤1是“关于x的方程x2−2x+m=0有实根”的充要条件

对于函数y=fx，若存在x0，使fx0=−f−x0，则称点x0,fx0与点−x0,f−x0为函数fx一对“和谐点”．已知函数fx=lnx−x−2，x>0，−ax2−2x+2，x≤0，则下列说法正确的是( )
A.fx可能有三对“和谐点”
B.若a=1，则fx有一对“和谐点”
C.若0D.若a<0，对∀x1>0，总∃x2≤0，使fx1+fx2=0
三、填空题

函数fx=6+x−x2lnx的定义域为________.

已知x>0，y>0且x+2y=1，则1x+2xy的最小值为________.

写出一个定义域为R，值域为(0,2]的偶函数________．（答案不唯一）

A，B为椭圆x2a2+y2b2=1a>6>0上的两点，F1，F2为其左右焦点，且满足AF1→=2F1B→，当∠F1AF2=π3时，椭圆的离心率为________.
四、解答题

已知条件p：“方程x23−m+y2m+1=1表示焦点在y轴上的椭圆”．条件q：“方程x2m−t+2−y2m−t+4=1表示双曲线”，其中m，t∈R.
(1)若条件p成立，求m的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求t的取值范围．

已知函数fx=x3−3x+a，gx=sinx−x.
(1)求y=fx的单调区间；

(2)若对∀x1≥0，x2≥0，fx1≥gx2恒成立，求实数a的取值范围．

已知fx=ax2+a2−3x−3a.
(1)若关于x的不等式fx<0的解集为{x|x>1或x<−3}，求实数a的值；

(2)若关于x的不等式fx+ax+a<0的解集中恰有2个整数，求正整数a的值．

已知fx和gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足fx+gx=ex+x.
(1)求fx和gx的解析式；

(2)若函数y=g2x+agx+1a∈R的最小值为−1，求a的值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为43，点P22,2在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为2,−22，∠APB的平分线交x轴于点M，求证PM⊥x轴．

已知函数fx=x−1x−alnxa∈R.
(1)若函数fx在2,+∞上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数fx有两个不同的极值点x1，x2，x1>x2不等式fx1参考答案与试题解析
2021-2022年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
求解二次不等式化简集合A，求对数型函数的定义域化简集合B，然后直接利用并集运算求解．
【解答】
解：集合A=x|x2+x−6<0={x|−3B=x|y=lg1−x={x|x<1}，
则A∪B=x|x<2 .
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由题意可得z=1−3i1+2i，
∴ |z|=|1−3i||1+2i|=12+3212+22=2.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
解：∵ a=lg20.3b=lg0.30.2>，
0∴ a故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±32x，知双曲线的标准方程为x24λ−y29λ=1 ，由此能求出此双曲线的离心率．
【解答】
解：由题意可知：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±32x，
∴ 设双曲线方程为x24λ−y29λ=1 ，λ>0，
∴ a2=4λ，b2=9λ，
∴ c2=13λ，
∴ 此双曲线的离心率e=13λ4λ=132.
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
根据已知求得fx的解析式，运用导数的运算法则求得x=0处的导数即可．
【解答】
解：令t=lnx，则x=et，
∴ f(t)=e2t+t，
∴ f(x)=e2x+x，
∴ f′(x)=2e2x+1，
∴ f′(0)=2e0+1=3.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
先求出四名学生中有两名学生分在一个班的种数，再减去甲、乙被分在同一个班的种数即可．
【解答】
解：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，再分配到不同的三个班有A33种，
而甲、乙被分在同一个班的有A33种，
所以满足条件的种数是C42A33−A33=30（种）.
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
通过函数fx的奇偶性及fx+2+fx=0求得则flg18125=flg25=−f(lg25−2)，再根据fx在0,1上的解析式得到答案．
【解答】
解：∵ fx+2+fx=0，
∴ f(x+2)=−f(x)，
又fx是定义在R上的偶函数，
∴ flg18125=f−lg25=flg25，
∵ 2∴ 0∴ flg18125=flg25=−f(lg25−2)=−2lg25−2+2
=−522+2=34.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，设出切点坐标，再由题意列关于x0与a的方程组，求解得答案．
【解答】
解：由y=xex−ax+1，得y′=x+1ex−a，
设切点坐标为A(x0, x0ex0−ax0+1)，
根据题意得 x0−(x0ex0−ax0+1)+1=0,x0+1ex0−a=1,
解得x0=0.a=0.
故选C．
二、多选题
【答案】
A,B
【考点】
命题的真假判断与应用
利用导数研究函数的单调性
不等式比较两数大小
基本不等式
【解析】
根据不等式的性质判定AB，根据基本不等式判定C，构造函数，利用函数的单调性判定D.
【解答】
解：A，若a>b，根据不等式的性质可知a3>b3 ，该选项正确；
B，因为a>|b|≥0，所以a2>b2，该选项正确；
C，若ab≠0，当a=1，b=−1时，ba+ab≥2显然不成立，该选项错误；
D，令f(x)=lnxx，
则f′(x)=1−lnxx2，
当x>e时，f′(x)=1−lnxx2<0，函数单调递减，
所以若a>b>e，则lnaa故选AB.
【答案】
A,C,D
【考点】
二次函数的性质
命题的真假判断与应用
不等式性质的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用不等式性质，基本不等式，对勾函数的单调性，以及二次函数的性质逐一分析求解即可.
【解答】
解：A，若a>b，c=0时，ac2>bc2 显然不成立，该选项错误；
B，若a>0，b>0，ab=a+b+3，则ab=a+b+3≥2ab+3，
解得ab≥3或ab≤−1（舍去），
所以ab≥9，该选项正确；
C，△ABC中，sinA∈(0,1]，
由对勾函数的单调性可知，y=sinA+4sinA在sinA∈(0,1]上单调递减，
所以sinA+4sinA的最小值是5，该选项错误；
D，不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立，
①当k=0时，不等式化为−38<0，满足题意；
②当k≠0时，要使不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立，
则k<0且Δ=k2+3k<0，
解得−3综上所述：不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立的充要条件是−3故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用充分必要条件的定义逐一分析求解即可.
【解答】
解：A，由a>b，得不到|a|>|b|；反之也不成立，
所以“a>b”是|a|>|b|”的即不充分也不必要条件，该选项错误；
B，命题“∃x∈−3,+∞，x2≤9”的否定是"∀x∈−3,+∞，x2>9”，该选项正确；
C，设x，y∈R，
由“x≥2且y≥2”可以得到“x+y≥4”成立；反之不一定成立，
则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件，该选项错误；
D，若关于x的方程x2−2x+m=0有实根，
则Δ=(−2)2−4m≥0，
解得m≤1，
故“m≤1是“关于x的方程x2−2x+m=0有实根”的充要条件，该选项正确.
故选BD.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数与方程的综合运用
分段函数的应用
利用导数研究函数的极值
【解析】
1
【解答】
解：A，∵y=lnx−x−2，∴y′=1x−1，
易得原函数在(0,1)单调递增，(1,+∞)单调递减，
则ymax=ln1−1−2=−3，
若a<0，至多有一对，若a>0，至多有两对，故A错误；
B，若a=1，即y=−x2−2x+2，
如图所示，
对称轴为x=−1，最大值为3，
由图易知，B选项正确；
C，当0−1a<−1，最大值−a⋅1a2+2a+2=2+1a，
2+1a>3，即如图所示，
故C正确；
D，若a<0时，y=−ax2−2x+2，对称轴为x=−1a>0，
二次函数在(−∞,0)上单调递减，值域为[2,+∞)，
y=lnx−x−2的值域为(−∞,−3].故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
(0,1)∪(1,3]
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数，分母不为零，对数的真数大于零，列不等式组求解即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则6+x−x2≥0且lnx≠0且x>0，
解得x∈(0,1)∪(1,3].
故答案为：(0,1)∪(1,3].
【答案】
5
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
1x+2xy=1+2yx+2xy，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为x>0，y>0且x+2y=1，
所以1x+2xy
=x+2yx+2xy
=1+2yx+2xy
≥1+22yx⋅2xy
=5，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，
所以1x+2xy的最小值为5.
故答案为：5.
【答案】
f(x)=21+x2（答案不唯一）
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
找出一个满足题意的函数即可，答案不唯一.
【解答】
解：满足定义域为R，值域为(0,2]的偶函数可以为f(x)=21+x2.
对于f(x)=21+x2，定义域为R，
且f(−x)=21+(−x)2=f(x)为偶函数，
且1+x2≥1，
∴ f(x)=21+x2∈(0,2]满足题意.
故答案为：f(x)=21+x2（答案不唯一）.
【答案】
219
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
1
【解答】
解：∵AF1→=2F1B→，∴|AF1→|=2|F1B→|，
|AF1|+|AF2|=|F1B|+|F2B|=2a.
∵∠F1AF2=π3，
在△AF1F2中，由余弦定理得
csπ3=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|，
即|AF1|2+|AF2|2=|AF1||AF2|+4c2，
∴|AF1||AF2|=4b23，
在△ABF2中，由余弦定理得
csπ3=|AB|2+|AF2|2−|BF2|22|AB||AF2|，
解得|BF1|=59a，则|AF1|=109a，
|AF2|=89a，
|AF1||AF2|=4b23，故b2a2=2027，
∴e=ca=219.
故答案为：219.
四、解答题
【答案】
解：(1)若方程x23−m+y2m+1=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则m+1>0，3−m>0，且m+1>3−m，
解得1所以m的取值范围为1,3.
(2)若方程x2m−t+2−y2m−t+4=1表示双曲线，
则m−t−2m−t−4>0，
解得m>t+4或m若p是q的充分不必要条件，
则1,3∈−∞,t+2∪t+4,+∞，t+2≥3或t+4≤1，
解得t≥1或t≤−3，
所以t的取值范围为−∞,−3∪1,+∞.
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
双曲线的定义
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)若方程x23−m+y2m+1=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则m+1>0，3−m>0，且m+1>3−m，
解得1所以m的取值范围为1,3.
(2)若方程x2m−t+2−y2m−t+4=1表示双曲线，
则m−t−2m−t−4>0，
解得m>t+4或m若p是q的充分不必要条件，
则1,3∈−∞,t+2∪t+4,+∞，t+2≥3或t+4≤1，
解得t≥1或t≤−3，
所以t的取值范围为−∞,−3∪1,+∞.
【答案】
解：(1)f′x=3x2−3=3x+1x−1，
结合函数的单调性与导数的关系知fx的单调递增区间为−∞,−1,1,+∞，
单调递减区间为−1,1.
(2)依题意有fxmin≤gxmax，
由(1)知当x≥0时，fxmin=f1=a−2，
而g′x=csx−1≤0，gx在[0,+∞）上为减函数，
所以当x≥0时，gxmax=g0=0，
即a−2≥0，解得a≥2，
故a的取值范围为[2,+∞).
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)f′x=3x2−3=3x+1x−1，
结合函数的单调性与导数的关系知fx的单调递增区间为−∞,−1,1,+∞，
单调递减区间为−1,1.
(2)依题意有fxmin≤gxmax，
由(1)知当x≥0时，fxmin=f1=a−2，
而g′x=csx−1≤0，gx在[0,+∞）上为减函数，
所以当x≥0时，gxmax=g0=0，
即a−2≥0，解得a≥2，
故a的取值范围为[2,+∞).
【答案】
解： (1)fx=ax2+a2−3x−3a=ax−3x+a，
若不等式fx<0的解集为−∞,−3∪1,+∞，
则a<0，即−a=1，
解得a=−1.
(2)不等式fx+ax+a<0，
即ax2+a2−2x−2a<0有两整数解，
ax−2x+a<0，
又a为正整数，−a则解集必含0，两整数解为−1，0或0，1.
当a>2时，整数解为−2，−1，0，不符合；
∴a=1或a=2.
【考点】
一元二次不等式的解法
其他不等式的解法
【解析】
1
1
【解答】
解： (1)fx=ax2+a2−3x−3a=ax−3x+a，
若不等式fx<0的解集为−∞,−3∪1,+∞，
则a<0，即−a=1，
解得a=−1.
(2)不等式fx+ax+a<0，
即ax2+a2−2x−2a<0有两整数解，
ax−2x+a<0，
又a为正整数，−a则解集必含0，两整数解为−1，0或0，1.
当a>2时，整数解为−2，−1，0，不符合；
∴a=1或a=2.
【答案】
解：(1)∵ fx+gx=ex+x ①，
f−x+g−x=e−x−x，即−fx+gx=e−x−x②，
联立①②得fx=ex−e−x+2x2，gx=ex+ex2.
(2)由(1)知y=e2x+e−2x2+aex+e−x2+1，
令ex+e−x=t，e2x+e−2x=t2−2，t≥2，
y=12t2+at=12t+a22−a28，t≥2，
当−a2≤2，即a≥−4时，ymin=1222+2a=−1，∴a=−3，
当−a2>2，即a<−4时，ymin=−a28=−1，
∴a=±22不符，舍去，
∴a=−3.
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)∵ fx+gx=ex+x ①，
f−x+g−x=e−x−x，即−fx+gx=e−x−x②，
联立①②得fx=ex−e−x+2x2，gx=ex+ex2.
(2)由(1)知y=e2x+e−2x2+aex+e−x2+1，
令ex+e−x=t，e2x+e−2x=t2−2，t≥2，
y=12t2+at=12t+a22−a28，t≥2，
当−a2≤2，即a≥−4时，ymin=1222+2a=−1，∴a=−3，
当−a2>2，即a<−4时，ymin=−a28=−1，
∴a=±22不符，舍去，
∴a=−3.
【答案】
(1)解：依题意有c=23，
222a2+2b2=1，a2−b2=12，
解得a2=16，b2=4，
故椭圆方程为x216+y24=1.
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1216+y124=1，x2216+y224=1，
两式相减得x1+x2x1−x2+4y1+y2y1−y2=0，
又AB中点为2,−22，
∴x1+x2=22， y1+y2=−2，
代入上式有y1−y2x1−x2=12，即kAB=12，
∴AB的直线方程y=12x−2，
y=12x−2，x2−4y2=16 消去y得x2−22x−4=0，
x1+x2=22， x1x2=−4.
kPA+kPB=y1−2x1−22+y2−2x2−22=12x1−22x1−22+12x2−22x2−22=x1x2−32x1+x2+16x1x2−22x1+x2+8=−4−32×22+16−4−22×22+8=0，
∴ PM⊥x轴．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
1
1
【解答】
(1)解：依题意有c=23，
222a2+2b2=1，a2−b2=12，
解得a2=16，b2=4，
故椭圆方程为x216+y24=1.
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1216+y124=1，x2216+y224=1，
两式相减得x1+x2x1−x2+4y1+y2y1−y2=0，
又AB中点为2,−22，
∴x1+x2=22， y1+y2=−2，
代入上式有y1−y2x1−x2=12，即kAB=12，
∴AB的直线方程y=12x−2，
y=12x−2，x2−4y2=16 消去y得x2−22x−4=0，
x1+x2=22， x1x2=−4.
kPA+kPB=y1−2x1−22+y2−2x2−22=12x1−22x1−22+12x2−22x2−22=x1x2−32x1+x2+16x1x2−22x1+x2+8=−4−32×22+16−4−22×22+8=0，
∴ PM⊥x轴．
【答案】
解：(1)f′x=1+1x2−ax≥0对x>2恒成立，
即a≤x+1x对x>2恒成立，
又x+1x在2,+∞上单调递增，
∴ a≤2+12=52，
故a的取值范围为(−∞,52].
(2)f′x=1+1x2−ax=x2−ax+1x2，
若fx有两极值点，即x2−ax+1=0在0,+∞上有两根x1，x2，x1>x2，
则 Δ=a2−4>0，x1+x2=a>0，x1x2=1，∴a>2a=x1+1x1.
∵ x1>x2，x1>1，0∴m>x1fx1=x12−ax1lnx1−1
=x12−x12+1lnx1−1，
令gx=x2−x2+1lnx−1，x>1,g′x=x−2xlnx−1x，
令ℎx=x−2xlnx−1x，ℎ′x=1x2−2lnx−1，
∵x>1，1x2−1<0，ℎ′x<0，
∴ℎx<ℎ1=0，即g′x<0
∴gx在1,+∞单调递减，gx∴m≥0，故m的取值范围为[0,+∞).
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)f′x=1+1x2−ax≥0对x>2恒成立，
即a≤x+1x对x>2恒成立，
又x+1x在2,+∞上单调递增，
∴ a≤2+12=52，
故a的取值范围为(−∞,52].
(2)f′x=1+1x2−ax=x2−ax+1x2，
若fx有两极值点，即x2−ax+1=0在0,+∞上有两根x1，x2，x1>x2，
则 Δ=a2−4>0，x1+x2=a>0，x1x2=1，∴a>2a=x1+1x1.
∵ x1>x2，x1>1，0∴m>x1fx1=x12−ax1lnx1−1
=x12−x12+1lnx1−1，
令gx=x2−x2+1lnx−1，x>1,g′x=x−2xlnx−1x，
令ℎx=x−2xlnx−1x，ℎ′x=1x2−2lnx−1，
∵x>1，1x2−1<0，ℎ′x<0，
∴ℎx<ℎ1=0，即g′x<0
∴gx在1,+∞单调递减，gx∴m≥0，故m的取值范围为[0,+∞).

2021-2022年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷人教A版

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