2020-2021学年湖北省荆州市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x>1，x2+1≥0”的否定为( )
A.∃x≤1，x2+1<0B.∀x≤1，x2+1<0
C.∀x>1，x2+1<0D.∃x>1，x2+1<0

2. 设a=(13)−0.2，b=lg213，c=lg32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

3. 函数y=lg13(−x2+2x+3)的单调增区间是( )
A.(−1, 1]B.(−∞, 1)C.[1, 3)D.(1, +∞)

4. 已知函数g(x)=tx−2+2(t>0，t≠1)的图象过定点(a, b)，则函数f(x)=lgb(−ax2+2ax+7)在区间[−1, 2]上的值域为( )
A.[0, 1]B.[1, 2]C.[0, 2]D.[1, 3]

5. 已知函数f(x)=sin(2x+π4)(x∈R)，为了得到函数g(x)=cs2x的图象，只需将y=f(x)的图象( )
A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位
C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位

6. 若平面向量a→与b→的夹角为60∘，|b→|=4，(a→+2b→)⋅(a→−3b→)=−72，则向量a→的模为( )
A.2B.4C.6D.12

7. 在△ABC中，若sinC+sinB−A=sin2A，则△ABC的形状( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形或等腰三角形
C.等腰三角形D.直角三角形

8. 已知lg2a−2+lg2b−1=1，则2a+b取到最小值时， a+2b的值为( )
A.3+22B.9C.8D.152
二、多选题

下列说法错误的是( )
A.若a→⋅b→c→=a→b→⋅c→
B.若a→⋅b→=b→⋅c→，且b→≠0→，则a→=c→
C.在△ABC中，若|BA→+BC→|=|AC→|，则△ABC是直角三角形
D.已知a→=1,2，b→=2,λ，若a→与b→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−1,+∞

fx=cs2x−3sin2x，则下列说法正确的是( )
A.fx的周期为π
B.x=π3是fx的一条对称轴
C.−π3,π6是fx的一个递增区间
D.−π6,π3 是fx的一个递减区间

下列函数fx中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.fx=2−x−2x B.fx=−x|x|
C.fx=1xD.fx=−tanx

下列命题中，正确的是( )
A.在△ABC中，A>B，∴sinA>sinB
B.在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B=60∘，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题

在△ABC中，若sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，则角A为________．

设函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

已知△ABC，OA→+2OB→+3OC→=0→，则S△AOBS△ACB=________.

已知函数fx=|x+1|−1,x≤0,sinπx,x>0,则ff32=________；若fx在x∈a,32既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为________.
四、解答题

已知集合A={x|x2−(2a−2)x+a2−2a≤0}，B={x|x2−5x+4≤0}．
(1)若a=2，求A∩B；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

已知三点A(a, 0)，B(0, b)，C(2, 2)，其中a>0，b>0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；

(2)若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值.

设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3，已知f(π6)=0．
(1)求ω的值；

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4, 3π4]上的最小值．

已知两个不共线的向量a→，b→满足a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ)，θ∈R.
(1)若2a→−b→与a→−7b→垂直，求|a→+b→|的值；

(2)当θ∈[0,π2]时，若存在两个不同的θ使得|a→+3b→|=|ma→|成立，求正数m的取值范围．

已知△ABC中，AB=463，csB=66，AC边上中线BD=5.
求(1)BC，AC长；

(2)sinA的值.

已知fx，gx分别是定义在实数上的偶函数和奇函数，且满足fx+gx=2x.
(1)求fx与gx的函数表达式；

(2)证明gx在实数上是增函数；

(3)求函数ℎx=f2x−gx，x∈1,2的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x>1，x2+1≥0”的否定为
“∃x>1 ，x2+1<0”.
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
解：因为a=(13)−0.2=30.2>30=1，即a>1，
b=lg2130=lg1所以a>c>b．
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
复合函数的单调性
对数函数的单调性与特殊点
二次函数的性质
【解析】
由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由题意可知，−x2+2x+3>0，得−1令t=−x2+2x+3，
∵ 函数t=−x2+2x+3的对称轴方程为x=1，
∴ 二次函数t=−x2+2x+3在[1, 3)上为减函数，
∵ 函数y =lg13t为定义域内的减函数，
∴ 函数y =lg13(−x2+2x+3)的单调增区间是[1, 3)．
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
利用函数g(x)＝tx−2+2(t>0, t≠1)的图象过定点，求出a，b，化简函数f(x)，利用构造法求出真数范围，然后推出结果．
【解答】
解：∵ 函数g(x)=tx−2+2(t>0，t≠1)的图象过定点(2, 3)，
∴ a=2，b=3，
∴ 函数f(x)=lg3(−2x2+4x+7)，
令m=−2x2+4x+7，x∈[−1, 2]，则m∈[1, 9]，
∴ f(x)在区间[−1, 2]上的值域为[0, 2]．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用诱导公式把函数f(x)=sin(2x+π4)变形为，f(x)=cs(π4−2x)=cs(2x−π4)，得到要得到函数g(x)的图象，只要把函数g(x)平移为f(x)，转化即可．
【解答】
解：∵ f(x)=sin(2x+π4)=cs(π4−2x)=cs(2x−π4)，
∴ 将函数g(x)=cs2x的图象向右平移π8个单位长度，
即可得到y=cs2(x−π8)=cs(2x−π4)的图象．
为了得到函数g(x)=cs2x的图象，
只需将y=f(x)的图象向左平移π8个单位．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
向量的模
平面向量数量积的运算
平面向量数量积
【解析】
分解(a→+2b→)⋅(a→−3b→)=a→2−a→⋅b→−6b→2,结合数量积的定义，代入可得关于|a→|的方程，解方程可得．
【解答】
解：由题意可知，a→⋅b→=4|a→|cs60∘=2|a→|，
则(a→+2b→)⋅(a→−3b→)=a→2−a→⋅b→−6b→2
=|a→|2−2|a→|−96=−72，
即|a→|2−2|a→|−24=0，
解得|a→|=6或|a→|=−4（舍去）.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得csA=0或sinA=sinB．进而可作出判断．
【解答】
解：∵ sinC+sinB−A=sin2A，
∴ sinA+B+sinB−A=sin2A，
∴ sinAcsB+csAsinB+sinBcsA
−csBsinA=2sinAcsA，
即2sinBcsA=2sinAcsA，
即csAsinA−sinB=0，
∴ csA=0 或sinA=sinB，
∵ A，B∈(0,π)，
∴ A=π2或A=B，
∴ △ABC为直角三角形或等腰三角形．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
对数及其运算
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意ab≥a+2b，即2a+1b≤1，利用乘“1”法，求解2a+b取到最小值，可得a=b=3，从而求解a+2b的值．
【解答】
解：∵lg2a−2+lg2b−1≥1，
∴ a−2>0,b−1>0,a−2b−1≥2,
∴ a>2，b>1，ab≥a+2b，
∴ 2a+1b≤1，
∴ 2a+b≥2a+b2a+1b
=4+1+2ba+2ab≥5+24=9，
当且仅当2ba=2ab时等号成立，
此时a=b，
又由2a+1b≤1，
得a=3，b=3，
∴a+2b=9，
∴ 2a+b取到最小值时，a+2b=9.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
平面向量数量积的运算
命题的真假判断与应用
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由向量的数量积的定义和向量的数乘的定义，可判断A；由向量数量积的运算性质可判断B；由向量的加减运算和数量积的性质，可判断C；由向量的夹角为锐角的等价条件，可判断D．
【解答】
解：A，∵ a→⋅b→c→表示与c→共线的向量，
且a→(b→⋅c→)表示与a→共线的向量，
∴ 两者不一定相等，故A错误；
B，∵ a→⋅b→=|a→||b→|cs⟨a→,b→⟩，且b→⋅c→=|b→||c→|cs⟨b→,c→⟩，
若a→⋅b→=b→⋅c→，且b→≠0→，
∴ |a→|cs⟨a→,b→⟩=|c→|cs⟨b→,c→⟩，
∴ a→=c→不一定正确，故B错误；
C，在△ABC中，若|BA→+BC→|=|AC→|，
则|BA→+BC→|=|BC→−BA→|，
两边平方整理，得4BA→⋅BC→=0，即BA→⊥BC→，
∴ △ABC是直角三角形，故C正确；
D，若a→与b→的夹角为锐角，
∵ a→=1,2，b→=2,λ，
∴ 2+2λ>0,1,2≠m2,λ,
解得λ>−1且λ≠4，故D错误．
故选ABD．
【答案】
A,B,D
【考点】
两角和与差的余弦公式
余弦函数的单调性
余弦函数的周期性
复合函数的单调性
【解析】
【解答】
解：A，由fx=cs2x−3sin2x可得
fx=2cs2x+π3，
所以fx的周期为T=2π2=π，故A正确；
B，将x=π3代入fx=2cs2x+π3可得
fπ3=2cs2×π3+π3=−2，
此时fx取得最小值−2，
所以x=π3是fx的一条对称轴，故B正确；
C，令t=2x+π3，
则fx=2cst，
当x∈−π3,π6时，t∈−π3,2π3,
t=2x+π3在x∈−π3,π6上单调递增，
y=2cst在−π3,2π3上不单调，
由复合函数的单调性规律可得[−π3,π6]
不是fx的一个递增区间，故C错误；
D，当x∈−π6,π3时，t∈0,π,
t=2x+π3在−π6,π3上单调递增，
y=2cst在0,π上单调递减，
由复合函数的单调性规律可得
fx=2cs2x+π3在x∈−π6,π3时单调递减，故D正确.
故选ABD ．
【答案】
A,B
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数奇偶性的判断
【解析】
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】
解：A，函数的定义域为R，且f−x=2x−2−x=−fx，
故fx为奇函数，又y=2−x递减，y=−2x递减，所以fx在定义域内递减，故选项A符合题意；
B，函数fx=−x|x|=x2, x≤0,−x2, x>0,为奇函数，且在定义域R上为减函数，故选项B符合题意；
C，fx=1x为奇函数，但在其定义域内不具有单调性，故选项C不符合题意；
D，fx=−tanx为奇函数，但在其定义域内不具有单调性，故选项D不符合题意．
故选AB．
【答案】
A,B,D
【考点】
正弦定理
诱导公式
二倍角的正弦公式
三角形的形状判断
余弦定理
【解析】
A．在△ABC中，由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，即可判断出正误；
B．在锐角△ABC中，由π2>A>π2−B>0，可得sinA>sin(π2−B)＝csB，即可判断出正误；
C．在△ABC中，由acsA＝bcsB，利用正弦定理可得：sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝2π−2B即可判断出正误；
D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2＝a2+c2−2accsB，代入已知可得a＝c，又B＝60∘，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．
【解答】
解：对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sinA>sinB，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0, π2)，
∵ A+B>π2，
∴ π2>A>π2−B>0，
∴ sinA>sin(π2−B)=csB，
因此不等式sinA>csB恒成立，正确；
对于C，在△ABC中，由acsA=bcsB，
利用正弦定理可得：sinAcsA=sinBcsB，
∴ sin2A=sin2B.
∵ A，B∈(0, π)，
∴ 2A=2B或2A=π−2B，
∴ A=B或A+B=π2，
∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误；
对于D，由于B=60∘，b2=ac，由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2−ac，
可得(a−c)2=0，解得a=c，可得A=C=B=60∘，正确．
故选ABD.
三、填空题
【答案】
2π3
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
已知等式利用正弦定理化简，得到一个等式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的等式代入求出csA的值，即可确定出A的度数．
【解答】
解：由正弦定理，得a2−b2−c2=bc，
即b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=−12，
∵ A为三角形内角，
∴ A=2π3．
故答案为：2π3．
【答案】
23
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，
可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，ω>0，
则ω的最小值为：23．
故答案为：23．
【答案】
12
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量的基本定理及其意义
向量的三角形法则
【解析】
如图，延长OB至B1，使BB1=OB，延长OC至C1，使CC1=2OC，连接AB1，AC1，B1C1，B1C，得到点O是ΔAB1C1的重心，再利用三角形面积之间的关系求解即可.
【解答】
解：如图，延长OB至B1，使BB1=OB，
延长OC至C1，使CC1=2OC，
连接AB1，AC1，B1C1，B1C，如图所示，
则OB1→=2OB→，OC1→=3OC→.
∵ OA→+2OB→+3OC→=0→，
∴ OA→+OB1→+OC1→=0→，
∴ 点O是△AB1C1的重心，
∴ S△B1OC1=S△C1OA=S△AOB1=13S△AB1C1 ，
∴ S△AOC=19S△AB1C1 ，S△AOB=16S△AB1C1 ，
S△BOC=12S△B1OC=12×13△B1OC1=118S△AB1C1 ，
∴ S△BOC : S△AOC : S△AOB=118：19：16
=1:2:3，
∴ S△AOBS△ACB=12.
故答案为：12.
【答案】
−1,[−3,−1)
【考点】
分段函数的应用
【解析】

【解答】
解：∵ f32=sin32π=−1，
∴ ff32=f−1=|−1+1|−1=−1.
fx=|x+1|−1,x≤0,sinπx,x>0的图象如图，
令|x+1|−1=1，x<0，得x=−3，
|x+1|−1=−1，x<0，得x=−1，
若fx在x∈a,32既有最大值又有最小值，
则实数a的取值范围为−3≤a<−1．
故答案为：−1；[−3,−1).
四、解答题
【答案】
解：(1)a=2时，x2−2x≤0，
此时A=[0, 2]，B=[1, 4]，
故A∩B=[1, 2].
(2)A={x|x2−(2a−2)x+a2−2a≤0}={x|a−2≤x≤a}，
B=[1, 4]，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A真包含于B，
所以a−2≥1,a≤4,且等号不能同时成立，
解得3≤a≤4，
所以实数a的取值范围是[3, 4]．
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
代入a的值，求出集合A，B，求出其交集即可；
求出A，B根据A真包含于B，得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】
解：(1)a=2时，x2−2x≤0，
此时A=[0, 2]，B=[1, 4]，
故A∩B=[1, 2].
(2)A={x|x2−(2a−2)x+a2−2a≤0}={x|a−2≤x≤a}，
B=[1, 4]，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A真包含于B，
所以a−2≥1,a≤4,且等号不能同时成立，
解得3≤a≤4，
所以实数a的取值范围是[3, 4]．
【答案】
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以OA→=BC→，即a,0=2,2−b，
即a=2,2−b=0,
解得a=2,b=2.
(2)因为AB→=−a,b，BC→=2,2−b，
由A，B，C三点共线，得AB→//BC→，
所以−a2−b−2b=0，即2a+b=ab.
因为a>0，b>0，
所以2a+b=ab≤a+b22，
即a+b2−8a+b≥0，
解得a+b≥8或a+b≤0（舍去），
所以a+b≥8，即a+b的最小值是8，
当且仅当a=b=4时，等号成立．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
相等向量与相反向量
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）由于四边形OACB是平行四边形，可得OA→=BC→，利用坐标运算与向量相等即可得出．
(2)利用向量共线定理与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以OA→=BC→，即a,0=2,2−b，
即a=2,2−b=0,
解得a=2,b=2.
(2)因为AB→=−a,b，BC→=2,2−b，
由A，B，C三点共线，得AB→//BC→，
所以−a2−b−2b=0，即2a+b=ab.
因为a>0，b>0，
所以2a+b=ab≤a+b22，
即a+b2−8a+b≥0，
解得a+b≥8或a+b≤0（舍去），
所以a+b≥8，即a+b的最小值是8，
当且仅当a=b=4时，等号成立．
【答案】
解：(1)函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)
=sinωxcsπ6−csωxsinπ6−sin(π2−ωx)
=32sinωx−32csωx
=3sin(ωx−π3)，
又f(π6)=3sin(π6ω−π3)=0，
∴ π6ω−π3=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0<ω<3，
∴ ω=2；
(2)由(1)知，f(x)=3sin(2x−π3)，
将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数y=3sin(x−π3)的图象；
再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=3sin(x+π4−π3)的图象，
∴ 函数y=g(x)=3sin(x−π12)；
当x∈[−π4, 3π4]时，x−π12∈[−π3, 2π3]，
∴ sin(x−π12)∈[−32, 1]，
∴ 当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的奇偶性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三角函数的最值
三角函数值的符号
【解析】
（1）利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；
（2）写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4, 3π4]时g(x)的最小值．
【解答】
解：(1)函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)
=sinωxcsπ6−csωxsinπ6−sin(π2−ωx)
=32sinωx−32csωx
=3sin(ωx−π3)，
又f(π6)=3sin(π6ω−π3)=0，
∴ π6ω−π3=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0<ω<3，
∴ ω=2；
(2)由(1)知，f(x)=3sin(2x−π3)，
将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数y=3sin(x−π3)的图象；
再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=3sin(x+π4−π3)的图象，
∴ 函数y=g(x)=3sin(x−π12)；
当x∈[−π4, 3π4]时，x−π12∈[−π3, 2π3]，
∴ sin(x−π12)∈[−32, 1]，
∴ 当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．
【答案】
解：(1)∵ 2a→−b→与a→−7b→垂直，
∴ (2a→−b→)⋅(a→−7b→)=0，
即2a→2+7b→2−15a→⋅b→=0,
∵ a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ),θ∈R，
∴ |a→|=2，|b→|=1，
∴ 2×22+7×12−15a→⋅b→=0，
解得a→⋅b→=1，
∴ |a→+b→|2=|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=4+2+1=7,
∴ |a→+b→|=7.
(2)∵ a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ),θ∈R，
∴ |a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=csθ+3sinθ=2sin(θ+π6)，
由|a→+3b→|=|ma→|，得a→2+23a→⋅b→+3b→2=m2a→2，
即4m2=7+43sin(θ+π6)，
∵ θ∈[0,π2]，
∴ π6≤θ+π6≤2π3，
则要存在两个不同的θ使得|a→+3b→|=|ma→|成立，
则π3≤θ+π6≤2π3且θ+π6≠π2
此时32≤sin(θ+π6)<1，
∴ 13≤7+43sin(θ+π6)<7+43，
即13≤4m2<7+43，
∴ 134≤m2<7+434，
∵ m>0，
∴ 132≤m<2+32．
【考点】
平面向量在三角函数中的应用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
向量的模
正弦函数的单调性
【解析】
（1）利用条件2a→−b→与a→−7b→垂直，建立方程关系，先求a→⋅b→，然后求向量夹角．
（2）利用三角函数的性质得到关于θ的方程，结合三角函数的图象进行化简求范围．
【解答】
解：(1)∵ 2a→−b→与a→−7b→垂直，
∴ (2a→−b→)⋅(a→−7b→)=0，
即2a→2+7b→2−15a→⋅b→=0,
∵ a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ),θ∈R，
∴ |a→|=2，|b→|=1，
∴ 2×22+7×12−15a→⋅b→=0，
解得a→⋅b→=1，
∴ |a→+b→|2=|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=4+2+1=7,
∴ |a→+b→|=7.
(2)∵ a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ),θ∈R，
∴ |a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=csθ+3sinθ=2sin(θ+π6)，
由|a→+3b→|=|ma→|，得a→2+23a→⋅b→+3b→2=m2a→2，
即4m2=7+43sin(θ+π6)，
∵ θ∈[0,π2]，
∴ π6≤θ+π6≤2π3，
则要存在两个不同的θ使得|a→+3b→|=|ma→|成立，
则π3≤θ+π6≤2π3且θ+π6≠π2
此时32≤sin(θ+π6)<1，
∴ 13≤7+43sin(θ+π6)<7+43，
即13≤4m2<7+43，
∴ 134≤m2<7+434，
∵ m>0，
∴ 132≤m<2+32．
【答案】
解：(1)如图，取BC的中点E.
∵ D是AC的中点，
∴ DE是三角形ABC的中位线，
∴ DE=263，且∠DEB=π−B.
在△BDE中，由余弦定理可知，
BD2=ED2+EB2−2ED⋅EBcsπ−B，
即5=83+BE2+2×263×66⋅BE，
解得BE=1或BE=−73（舍去），
∴ BC=2.
在△ABC中，由余弦定理，
得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=283，
解得AC=2213.
(2)由csB=66，可得sinB=306，
由BCsinA=ACsinB，得sinA=BCsinBAC=2×3062213=7014，
故sinA的值为7014.
【考点】
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
(1)取BC的中点E，则DE是三角形ABC的中位线，∠DEB=π−B，△BDE中，由余弦定理可得BD2=ED2+EB2−2ED⋅EB⋅cs0π−B，解出BE，即可得到BC的值，在△ABC中，由余弦定理可求得AC的值；
(2)由正弦定理求得sinA的值．
【解答】
解：(1)如图，取BC的中点E.
∵ D是AC的中点，
∴ DE是三角形ABC的中位线，
∴ DE=263，且∠DEB=π−B.
在△BDE中，由余弦定理可知，
BD2=ED2+EB2−2ED⋅EBcsπ−B，
即5=83+BE2+2×263×66⋅BE，
解得BE=1或BE=−73（舍去），
∴ BC=2.
在△ABC中，由余弦定理，
得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=283，
解得AC=2213.
(2)由csB=66，可得sinB=306，
由BCsinA=ACsinB，得sinA=BCsinBAC=2×3062213=7014，
故sinA的值为7014.
【答案】
(1)解：∵ fx+gx=2x①，∴ f−x+g−x=2−x，
∵ f−x=fx，g−x=−gx，
∴ fx−gx=2−x②，
由①②得fx=2x+2−x2，gx=2x−2−x2.
(2)证明：取任意x1gx1−gx2=122x1−2−x1−2x2+2−x2
=122x1−2x2+2x1−2x22x1x2
=122x1−2x21+12x12x2，
∵2x1−2x2<0，1+12x12x2>0，
∴ gx1−gx2<0，
∴ gx1∴ gx在R上单调递增.
(3)ℎx=f2x−gx=1222x+2−2x−2x−2−x ，
=122x−2−x 2−2x−2−x +2，x∈1,2，
令2x−2−x=t，则t∈32,154，
ℎ(x)=12t2−t+2=12t−122+74，
∵ 二次函数对称轴t=12，在t∈32,154单调递增，
∴ 函数ℎx值域为118,19732.
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】



【解答】
(1)解：∵ fx+gx=2x①，∴ f−x+g−x=2−x，
∵ f−x=fx，g−x=−gx，
∴ fx−gx=2−x②，
由①②得fx=2x+2−x2，gx=2x−2−x2.
(2)证明：取任意x1gx1−gx2=122x1−2−x1−2x2+2−x2
=122x1−2x2+2x1−2x22x1x2
=122x1−2x21+12x12x2，
∵2x1−2x2<0，1+12x12x2>0，
∴ gx1−gx2<0，
∴ gx1∴ gx在R上单调递增.
(3)ℎx=f2x−gx=1222x+2−2x−2x−2−x ，
=122x−2−x 2−2x−2−x +2，x∈1,2，
令2x−2−x=t，则t∈32,154，
ℎ(x)=12t2−t+2=12t−122+74，
∵ 二次函数对称轴t=12，在t∈32,154单调递增，
∴ 函数ℎx值域为118,19732.