2021-2022学年湖北省十堰市某校高一（下）月考数学试卷 (1)

这是一份2021-2022学年湖北省十堰市某校高一（下）月考数学试卷 (1)，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头一相距3km，江水向正东（AD））流．已知一渡船从A码头按AC→方向以10km/h的速度航行，且∠BAC=30∘，若航行0.2h到达北岸的B码头，则江水速度是（ ）

A.102km/hB.52km/hC.5km/hD.1km/h

2. sin17∘cs43∘+cs17∘sin43∘=( )
A.32B.−32C.12D.−12

3. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A.y=−1xB.y=x3C.y=tanxD.y=3x

4. 已知函数fx=lgx,x>010x,x≤0，则ff−1=（ ）
A.−1B.1C.−10D.10

5. 函数fx=3x+a与函数g(x)=lgax(a>0且a≠1）的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.

6. 已知a=lg23, b=18−12 ,c=1614，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

7. 已知定义在R上的偶函数fx满足fx⋅fx+2=2，且fx>0，则f2021=（ ）
A.12B.1C.2D.2

8. 已知函数fx=sinωxω>0在0,π上恰有三个零点，则ω的取值范围为（ ）
A.2,3B.(2,3]C.3,4D.(3,4]
二、多选题


下列说法错误的有( )
A.共线的两个单位向量模相等
B.相等向量的起点相同
C.若AB→//CD→，则一定有直线AB//CD
D.若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

记函数y=csx的图象为C1，函数y=cs2x+π3的图象为C2，则（ ）
A.把C1上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到C2
B.把C1上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度，得到C2
C.把C1向左平移π3个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变，得到C2
D.把C1向左平移π3个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到C2

已知函数fx=x|x|+1，则（ ）
A.函数fx是奇函数B.函数fx在R上单调递增
C.函数y=fx的值域是−1,1D.方程fx−x3=0有三个实数根

气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数fx=Asinωx+φ+bA>0,ω>0,0<φ<π，如图，则（ ）

A.φ=3π4
B.函数fx的最小正周期为16π
C.∀x∈R,fx+fx+8=40
D.若gx=fx+m是偶函数，则|m|的最小值为2
三、填空题

函数y=ax+3+3(a>0且a≠1）的图象恒过定点________.

如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．（填序号）
①AO→=OC→；②AO→//AC→；③AB→与CD→共线；④AO→=BO→


已知扇形的面积为3π，圆心角为2π3，则该扇形的弧长为________.

已知函数fx=cs2x+acsx，当a=2时，fx的最小值为________；若fx的最大值为2，则a的值为________．
四、解答题

已知集合A=x|2<2x<8,B=x|x>2
(1)求A∩B,CRB∪A

(2)若非空集合C=x|1
已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB=α且sinα=35．
(1)求B点坐标；

(2)求sin(π+α)+2sin(π2−α)2tan(π−α)的值．

已知函数fx=lg3x+3x−3
(1)判断函数fx的奇偶性并证明；

(2)判断函数fx+3在区间0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

已知函数f(x)＝2sinx⋅csx+23cs2x−3
（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求不等式fx≥1在0,π的解集．

如图，在射线OA，OB，OC中，相邻两条射线所成的角都是120∘，且线段OA＝OB＝OC．
设OP→=xOA→+yOB→．

(1)当x＝2，y＝1时，在图1中作出点P的位置（保留作图的痕迹）；

(2)请用x，y写出“点P在射线OC上”的一个充要条件：________；

(3)设满足“x+2y＝4且xy≥0”的点P所构成的图形为G，
①图形G是________；
A．线段 B．射线 C．直线 D．圆
②在图2中作出图形G．

“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段MAB是函数y=2sin(ωx+φ)，(ω>0, 0<φ<π)，x∈[−4, 0]的图象，且图象的最高点为A(−1, 2)．中间部分是长为1千米的直线段BC，且BC // MN．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧CN．

(1)试确定ω，φ的值；

(2)若计划在扇形OCN区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边EF紧靠道路MN，顶点Q罗总半径OC上，另一顶点P落在圆弧CN上．记∠PON=θ，请问矩形EFPQ面积最大时θ应取何值，并求出最大面积？
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖北省十堰市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
向量在几何中的应用
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
2.
【答案】
A
【考点】
求两角和与差的正弦
【解析】
原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】
解：sin17∘cs43∘+cs17∘sin43∘=sin(17∘+43∘)=sin60∘=32．
故选A
3.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
4.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
5.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
7.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
8.
【答案】
D
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
相等向量与相反向量
共线向量与共面向量
平行向量（共线向量）
【解析】
根据平面向量的基本概念，对每一个选项进行判断即可．
【解答】
解：①共线的两个单位向量模相等，A正确；
②相等向量是指方向相同，长度相等的两个向量，它们的起点不一定相同，B错误；
③若AB→//CD→，则可能为直线AB//CD，也可能为点A，B，C，D共线，C错误；
④若向量AB→，CD→共线，则可能为直线AB//CD，也可能为点A，B，C，D共线，D错误．
故选BCD.
【答案】
B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
BC
【答案】
A,B,D
【考点】
函数奇偶性的判断
根的存在性及根的个数判断
函数的值域及其求法
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ABD
【答案】
A,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ACD
三、填空题
【答案】
(−3,4)
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(−3,4)
【答案】
①②③
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
相等向量与相反向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
①②③
【答案】
2π
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2π
【答案】
−32 , ±1
【考点】
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
−32 ；±1
四、解答题
【答案】
解：（1）因为2<2x<8，所以1因为B=x|x>2，所以A∩B=x|2CRB=x|x≤2
所以CRB∪A=x|x<3 ．
（2）由（1）知，A=x|1因为C≠⌀，所以a>1，
因为C⊆A，所以a≤3 ,解得1所以a的取值范围为a|1【考点】
交、并、补集的混合运算
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为2<2x<8，所以1因为B=x|x>2，所以A∩B=x|2CRB=x|x≤2
所以CRB∪A=x|x<3 ．
（2）由（1）知，A=x|1因为C≠⌀，所以a>1，
因为C⊆A，所以a≤3 ,解得1所以a的取值范围为a|1【答案】
解：（1）设点B坐标为Bx,y，则y=sinα=35，
因为点B在第二象限，
所以x=csα=−1−sin2α=−1−352=−45
点B坐标为B(−45,35)
（2）由诱导公式可得 sinπ+α+sinπ2−α4tanπ−α=−sinα+csα−4tanα
由（1）知sinα=35,csα=−45，所以tanα=sinαcsα=−34
所以 sinπ+α+sinπ2−α4tanπ−α=−sinα+csα−4tanα=−754×34=−715
【考点】
单位圆与周期性
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设点B坐标为Bx,y，则y=sinα=35，
因为点B在第二象限，
所以x=csα=−1−sin2α=−1−352=−45
点B坐标为B(−45,35)
（2）由诱导公式可得 sinπ+α+sinπ2−α4tanπ−α=−sinα+csα−4tanα
由（1）知sinα=35,csα=−45，所以tanα=sinαcsα=−34
所以 sinπ+α+sinπ2−α4tanπ−α=−sinα+csα−4tanα=−754×34=−715
【答案】
解：（1）因为x+3x−3>0，即x−3x+3>0，解得x<−3或x>3
所以函数fx的定义域为−∞,−3∪3,+∞，定义域关于原点对称，
f−x=lg3−x+3−x−3=lg3x−3x+3
=lg3(x+3x−3)−1=−lg3(x+3x−3)，
因为f−x=−fx，所以y=fx为奇函数．
（2）fx+3=lg3x+6x,fx+3在区间0,+∞上单调递减，
证明：任取x1,x2∈0,+∞且x1fx1+3−fx2+3=lg3x1+6x1−lg3x2+6x2=lg3x2x1+6x1x2+6
因为0x1x2+6x1>0
可得x2x1+6x1x2+6>1，所以lg3x2x1+6x1x2+6>0，所以fx1+3>fx2+3
所以fx+3在区间0,+∞ 上单调递减．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为x+3x−3>0，即x−3x+3>0，解得x<−3或x>3
所以函数fx的定义域为−∞,−3∪3,+∞，定义域关于原点对称，
f−x=lg3−x+3−x−3=lg3x−3x+3
=lg3(x+3x−3)−1=−lg3(x+3x−3)，
因为f−x=−fx，所以y=fx为奇函数．
（2）fx+3=lg3x+6x,fx+3在区间0,+∞上单调递减，
证明：任取x1,x2∈0,+∞且x1fx1+3−fx2+3=lg3x1+6x1−lg3x2+6x2=lg3x2x1+6x1x2+6
因为0x1x2+6x1>0
可得x2x1+6x1x2+6>1，所以lg3x2x1+6x1x2+6>0，所以fx1+3>fx2+3
所以fx+3在区间0,+∞ 上单调递减．
【答案】
解：(1)f(x)＝2sinx⋅csx+23cs2x−3=sin2x+3cs2x＝2sin(2x+π3)，
∵ ω＝2，∴ f(x)的最小正周期T＝π，
（2）由（1）可知，fx=2sin2x+π3,fx≥1即sin2x+π3≥12
可得π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,k∈Z
即−π12+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z
当k=0时，[−π12,π4] ∩[0,π]=[0,π4
当k=1时， 11π12,5π4∩0,π=11π12,π
综上所述，不等式fx≥1在0,π上的解集为0,π4∪11π12,π
【考点】
函数的周期性
三角函数的最值
【解析】
（1）f(x)解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f(x)的单调递减区间即可；
（2）由f(x)解析式，以及f(A2−π6)=3，求出A的度数，将sinB+sinC=13314，利用正弦定理化简，求出bc的值即可．
【解答】
解：(1)f(x)＝2sinx⋅csx+23cs2x−3=sin2x+3cs2x＝2sin(2x+π3)，
∵ ω＝2，∴ f(x)的最小正周期T＝π，
（2）由（1）可知，fx=2sin2x+π3,fx≥1即sin2x+π3≥12
可得π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,k∈Z
即−π12+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z
当k=0时，[−π12,π4] ∩[0,π]=[0,π4
当k=1时， 11π12,5π4∩0,π=11π12,π
综上所述，不等式fx≥1在0,π上的解集为0,π4∪11π12,π
【答案】
解：（1）
图中点P即为所求．
x＝y且x≤0，y≤(0)
(3) ①A；
②图中线段DE即为所求．
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的线性运算性质及几何意义
向量的三角形法则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）
图中点P即为所求．
(2) x＝y且x≤0，y≤(0)
(3) ①A；
②图中线段DE即为所求．
【答案】
解：(1)∵ T4=−1−(−4)=3，
∴ T=2πω=12，
∴ ω=π6．
图象过A(−1, 2)，
∴ −π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，
∴ φ=2π3．
(2)连结OP，如图：
由(1)知y=2sin(π6x+2π3)，交y轴于B(0,3)，
又BC=1，BC // MN，
∴ OC=2,∠CON=∠BCO=π3．
又∠PON=θ，
∴ P(2csθ, 2sinθ)，PF=2sinθ，EF=2csθ−2sinθtan60∘=2csθ−23sinθ，
∴ SEFPQ=PF⋅EF=2sinθ(2csθ−23sinθ)
=2sin2θ−43sin2θ
=2sin2θ−23(1−cs2θ)=2sin2θ+23cs2θ−233
=433(32sin2θ+12cs2θ)−233
=433sin(2θ+π6)−233.
又θ∈(0,π3)，
∴ θ=π6时，sin(2θ+π6)=1，此时矩形EFPQ面积最大为233km2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的图象
函数最值的应用
【解析】
（1）利用正确确定ω，图象过A(−1, 2)，确定ϕ的值；
（2）求出PF，EF，可得面积，利用三角函数求出最大面积．
【解答】
解：(1)∵ T4=−1−(−4)=3，
∴ T=2πω=12，
∴ ω=π6．
图象过A(−1, 2)，
∴ −π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，
∴ φ=2π3．
(2)连结OP，如图：
由(1)知y=2sin(π6x+2π3)，交y轴于B(0,3)，
又BC=1，BC // MN，
∴ OC=2,∠CON=∠BCO=π3．
又∠PON=θ，
∴ P(2csθ, 2sinθ)，PF=2sinθ，EF=2csθ−2sinθtan60∘=2csθ−23sinθ，
∴ SEFPQ=PF⋅EF=2sinθ(2csθ−23sinθ)
=2sin2θ−43sin2θ
=2sin2θ−23(1−cs2θ)=2sin2θ+23cs2θ−233
=433(32sin2θ+12cs2θ)−233
=433sin(2θ+π6)−233.
又θ∈(0,π3)，
∴ θ=π6时，sin(2θ+π6)=1，此时矩形EFPQ面积最大为233km2．