2020-2021学年河南省南阳市高一（下）4月摸底考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（下）4月摸底考试数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列问题中，最适合用分层抽样法抽样的是（ ）
A.某兴趣小组8人决定去郊游，选择1人去购买所需物品
B.某公司有600名员工一起参加集体会议，会议结束后选择60名员工继续进行座谈
C.从某生产线的20名工人中选出4名工人调查其工作强度情况
D.某批次产品中有A款产品40件，B款产品140件，C款产品20件，现从该批次产品中抽取20件产品进行质量分析

2. 观察下列散点图，其中变量x，y之间有线性相关关系的是（ ）
A.B.
C.D.

3. 在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少摸出1个白球B.至少摸出1个红球
C.摸出2个白球D.摸出2个白球或摸出2个红球

4. 总体由编号为01，02，03，⋯，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：
若从表中第6行第6列开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是（ ）
A.09B.03C.35D.37

5. 某工厂3月份生产某种机械设备200台，从中任选40台进行质量检测，则每台机械设备被选到的概率是（ ）
A.140B.1200C.14D.15

6. 在一组样本数据中，1，3，5出现的频率分别为p1，p2，p3，且i=13pi=1，若这组数据的中位数为4，则p3=（ ）
A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1

7. 近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加．下图为国家统计局发布的2010∼2019年幼儿园数量及学前教育毛人园率统计图．根据该统计图，下列说法不一定正确的是（ ）
注：毛入园率=适龄儿童入读幼儿园人数适龄儿童总人数.

A.2019年，全国共有幼儿园28.1万所
B.2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%
C.2010∼2019年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加
D.2010∼2019年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=121，则判断框中的整数a=（ ）

A.3B.4C.5D.6

9. 某校为了了解高一年级900名新生的身体素质，将这些学生编号为001，002，…，900，用系统抽样的方法抽出60名学生进行体质测试，若编号为004，079，095，634，754的5名学生中有1名没有被抽到，则这个编号是（ ）
A.004B.079C.095D.964

10. 将一枚骰子先后连续抛掷三次，则向上点数之和大于5的概率是（ ）
A.2627B.5354C.103108D.209216

11. 设样本数据x1,x2，…，x2021的平均数为x¯，方差为s2，若数据2x1+1,2x2+1，…，2x2021+1的平均数比方差大3，则s2−x¯2的最大值为（ ）
A.1B.12C.−2D.−1

12. 有一列数1，2，3，4，5，⋯．现进行如下分组：第一组有1个数，为1；第二组有2个数，为2，3；第三组有4个数，为4，5，6，7；第四组有8个数，为8，9，10，11，12，13，14，15；⋯；依此类推．若从第七组中随机抽取一个数，则这个数是4的倍数的概率是（ ）
A.732B.1564C.14D.932
二、填空题

某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为________．

二进制101010转化为等值的八进制数为________.

如图，同心圆中大圆半径是小圆半径的两倍，小圆内接三角形为等边三角形，随机在大圆内取一点，则该点在等边三角形内的概率为________．


执行如图所示的程序框图，若输出的y<69，则输入的x的取值范围是________．

三、解答题

某饮料公司为了调查某款新品饮料在市场上的反响，决定从本地区代理销售的6000个商家中随机抽取100个进行关于市场认可度的调查，调查结果以分值（百分制）呈现．收集的数据绘制成频率分布表如下：

(1)估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．

(2)若商家给出的认可度分值不低于80分，则认为商家看好该款新品饮料的销售前景；否则，次月将不再销售该款新品饮料．试估计本地区看好该款新品饮料的销售前景的商家个数．

某地区拟举办汉字听写大赛，某校为了选拔优秀的学生参加比赛，在本校举行了3次汉字听写大赛，其中甲、乙两位同学的成绩最优异，由甲、乙两位同学的成绩绘制的茎叶图如图所示．已知甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数．

(1)求x的值；

(2)若要从甲、乙中选择一名同学参加该地区举办的汉字听写大赛，试从统计学的角度分析，选哪位同学比较合适．

某公司研发出一种新型材料，并迅速投入生产，下表记录了该材料生产过程中的产量x（吨）与所需消耗的原材料y（吨）的几组对照数据．

(1)请根据上表的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；

(2)若该公司打算生产100吨该材料，估计该公司需要准备多少吨原材料．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2，a¯=y¯−bx¯.

2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14)，[14,16)，⋯，22,24分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4．

(1)求频率分布直方图中a和b的值；

(2)该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励．若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值．

袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“1”的球有3个，标有数字“2”的球有2个，标有数字“3”的球有1个．规定取出一个标有数字“1”的球记1分，取出一个标有数字“2”的球记2分，取出一个标有数字“3”的球记3分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3球．规定取出球的总积分多者获胜．
(1)求甲、乙平局的概率；

(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，AC与BD相交于点O，点P是矩形ABCD内部任意一点．

(1)求|OP|≥1的概率；

(2)记事件A为“△PAB，△PBC，△PCD，△PAD的面积都大于43”，求事件A发生的概率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）4月摸底考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；
对于B，总体容量较大，宜采用系统抽样法；
对于C，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；
对于D，总体容量较大，且各款产品不同，宜采用分层抽样法．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
两个变量的线性相关
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；
对于B，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；
对于C，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；
对于D，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出1个白球1个红球是互斥也是对立事件．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09，35，03，所以抽取的第3个个体的编号是03.
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
求出基本事件时间总数和满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式求解即可.
【解答】
解：P=40200=15.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若这组数据的中位数为4，则中间的两个数为3，5，所以5出现的频率为0.5，即p3=0.5.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
分布的意义和作用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由统计图可得，A，B，D均正确，2010∼2019年我国学前教育毛入园率在持续增加，但毛入园率由适合入读幼儿园的人数及入读幼儿园的人数共同决定，所以C不一定正确．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：i=2，T=1，S=15；
i=3，T=2，S=3；
i=4，T=3，S=37；
i=5，T=4，S=121．
因为输出的结果是121，所以a=4.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从900名学生中用系统抽样的方法抽取60名，抽样的间隔为90060=15，由题意，结合选项可得编号634被抽到，又634−95=539，而539不是15的倍数，所以编号为095的学生没有被抽到．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
对立事件的概率公式及运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：一枚骰子连续抛掷三次共有6×6×6=216种情况，
其中点数之和不大于5的有(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,3,1)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(3,1,1)，共10种情况，故所求概率P=1−10216=103108.
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设数据2x1+1，2x2+1，…，2x2021+1的平均数为x¯0，方差为s02，
则x¯0=2x¯+1，s02=4s2．
因为新数据的平均数比方差大3，所以2x¯+1=4s2+3，
可得s2=12x¯−12，
则s2−x¯2=12x¯−12−x¯2=−x¯−142−716．
由s2=12x¯−12≥0，可得x¯≥1，
所以当x¯=1时，s2−x¯2取最大值，且s2−x¯2的最大值为−1．
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得前六组共有1+2+4+8+16+32=63个数，
第七组共有64个数，分别为64，65，66，⋯，127，
其中是4的倍数的数为64，68，72，⋯，124，共16个.
故所求概率P=1664=14.
故选C．
二、填空题
【答案】
40
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设样本中杉树苗的棵数为x，则6030000=x20000，解得x=40.
故答案为：40．
【答案】
52
【考点】
进位制
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(101010)2=25+23+21=(42)10，
(42)10=5×8+2=(52)8．
故答案为：52．
【答案】
3316π
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设大圆半径为R，小圆半径为r，等边三角形边长为a，则r=33a，
等边三角形面积S1=34a2，
大圆面积S2=πR2=4πr2=4πa23，
所以 P=S1S2=34a24π3a2=3316π．
故答案为：3316π.
【答案】
(−∞,64)
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x>0时，易知函数fx=lg2x+x−1在0,+∞上为增函数，
且f64=lg264+64−1=69，
则0当x≤0时，−x2+1≤1<69.
综上，x的取值范围是−∞,64．
故答案为：−∞,64．
三、解答题
【答案】
解：(1)这组数据的平均数为55×0.04+65×0.18+
75×0.38+85×0.34+95×0.06=77分．
(2)由频率分布表可得不低于80分的频率为0.34+0.06=0.4，
用样品估计总体，可以估计不低于80分的商家数为6000×0.4=2400，
所以估计本地区看好该款新品饮料的销售前景的商家个数为2400．
【考点】
频率分布表
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)这组数据的平均数为55×0.04+65×0.18+
75×0.38+85×0.34+95×0.06=77分．
(2)由频率分布表可得不低于80分的频率为0.34+0.06=0.4，
用样品估计总体，可以估计不低于80分的商家数为6000×0.4=2400，
所以估计本地区看好该款新品饮料的销售前景的商家个数为2400．
【答案】
解：(1)由茎叶图可知，乙同学成绩的中位数为91．
又由茎叶图可得甲同学成绩的中位数大于或等于90，
且甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数，
所以甲同学成绩的中位数只能为90，
故x=0．
(2)甲同学成绩的平均数为13×87+90+96=91，
乙同学成绩的平均数为13×89+91+93=91，
所以甲、乙成绩的平均数相等．
甲同学成绩的方差s甲2=13×[87−912+90−912+96−912]=14，
乙同学成绩的方差s乙2=13×89−912+91−912+91−932=83，
s甲2>s乙2，
所以乙同学的成绩更稳定，选乙同学比较合适．
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由茎叶图可知，乙同学成绩的中位数为91．
又由茎叶图可得甲同学成绩的中位数大于或等于90，
且甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数，
所以甲同学成绩的中位数只能为90，
故x=0．
(2)甲同学成绩的平均数为13×87+90+96=91，
乙同学成绩的平均数为13×89+91+93=91，
所以甲、乙成绩的平均数相等．
甲同学成绩的方差s甲2=13×[87−912+90−912+96−912]=14，
乙同学成绩的方差s乙2=13×89−912+91−912+91−932=83，
s甲2>s乙2，
所以乙同学的成绩更稳定，选乙同学比较合适．
【答案】
解：(1)x¯=1+3+5+7+8+126=6，y¯=1+4+6+9+10+156=7.5，i=16(xi−x¯)(yi−y¯)=(1−6)×(1−7.5)+(3−6)×(4−7.5)
+(5−6)×(6−7.5)+(7−6)×(9−7.5)+
8−6×10−7.5+12−6×15−7.5=96，
i=16xi−x¯2=1−62+3−62+5−62
+7−62+8−62+12−62=76，
所以b=i=16xi−x¯yi−y¯i=16xi−x¯2=2419≈1.26，
a=y¯−bx¯=7.5−2419×6≈−0.08，
故所求线性回归方程为y=1.26x−0.08.
(2)将x=100代入回归方程可得y=1.26×100−0.08=125.92．
所以若该公司打算生产100吨该材料，该公司需要准备原材料125.92吨．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x¯=1+3+5+7+8+126=6，y¯=1+4+6+9+10+156=7.5，i=16(xi−x¯)(yi−y¯)=(1−6)×(1−7.5)+(3−6)×(4−7.5)
+(5−6)×(6−7.5)+(7−6)×(9−7.5)+
8−6×10−7.5+12−6×15−7.5=96，
i=16xi−x¯2=1−62+3−62+5−62
+7−62+8−62+12−62=76，
所以b=i=16xi−x¯yi−y¯i=16xi−x¯2=2419≈1.26，
a=y¯−bx¯=7.5−2419×6≈−0.08，
故所求线性回归方程为y=1.26x−0.08.
(2)将x=100代入回归方程可得y=1.26×100−0.08=125.92．
所以若该公司打算生产100吨该材料，该公司需要准备原材料125.92吨．
【答案】
解：(1)由题意得
(a+b+0.12+0.14+0.10+0.04)×2=1,50×b×2−50×a×2=4,
解得a=0.03，b=0.07．
(2)设应该制定的月销售冲刺目标值为x万元，
则在频率分布直方图中x右边的面积为1−0.8=0.2．
最后一组的面积是0.04×2=0.08，
最后两组的面积之和为0.10×2+0.04×2=0.28．
因为0.08<0.2<0.28，
所以x位于倒数第二组，
则22−x×0.10+0.08=0.2，
解得x=20.8．
所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元．
【考点】
频率分布直方图
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意得
(a+b+0.12+0.14+0.10+0.04)×2=1,50×b×2−50×a×2=4,
解得a=0.03，b=0.07．
(2)设应该制定的月销售冲刺目标值为x万元，
则在频率分布直方图中x右边的面积为1−0.8=0.2．
最后一组的面积是0.04×2=0.08，
最后两组的面积之和为0.10×2+0.04×2=0.28．
因为0.08<0.2<0.28，
所以x位于倒数第二组，
则22−x×0.10+0.08=0.2，
解得x=20.8．
所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元．
【答案】
解：(1)记标有数字“1”的球为a，b，c，标有数字“2”的球为d，e，标有数字“3”的球为f，则甲取球的所有情况为abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20种，
由于6个小球总分为3×1+2×2+1×3=10分，
故甲、乙平局时都得5分，
此时，甲取出的三个小球中有1个标有数字“1”的球和2个标有数字“2”的球，或有2个标有数字“1”的球和1个标有数字“3”的球，共有6种情况，故平局的概率P1=620=310．
(2)由甲先取球时，
若甲获胜，得分只能是7分或6分，
即取出的三个小球中有1个标有数字“3”的球和2个标有数字“2”的球，或有1个标有数字“3”的球和1个标有数字“2”的球和1个标有数字“1”的球，共7种情况，故甲获胜的概率P2=720．
由(1)可得平局的概率P1=310，
所以甲输，即乙获胜的概率P3=1−310−720=720．
所以甲、乙获胜的概率相同．
同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同．
故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)记标有数字“1”的球为a，b，c，标有数字“2”的球为d，e，标有数字“3”的球为f，则甲取球的所有情况为abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20种，
由于6个小球总分为3×1+2×2+1×3=10分，
故甲、乙平局时都得5分，
此时，甲取出的三个小球中有1个标有数字“1”的球和2个标有数字“2”的球，或有2个标有数字“1”的球和1个标有数字“3”的球，共有6种情况，故平局的概率P1=620=310．
(2)由甲先取球时，
若甲获胜，得分只能是7分或6分，
即取出的三个小球中有1个标有数字“3”的球和2个标有数字“2”的球，或有1个标有数字“3”的球和1个标有数字“2”的球和1个标有数字“1”的球，共7种情况，故甲获胜的概率P2=720．
由(1)可得平局的概率P1=310，
所以甲输，即乙获胜的概率P3=1−310−720=720．
所以甲、乙获胜的概率相同．
同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同．
故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．
【答案】
解：(1)如图，当点P在矩形ABCD内部的阴影区域时，满足[OP|≥1，
故所求概率P=S阴影S矩形ABCD=4×2−π4×2=8−π8 .
(2)设点P到AB的距离为d1，到AD的距离为d2 .
由题意可得12×4×d1>43，12×4×2−d1>43，
12×2×d2>43，12×2×4−d2>43，
解得23则满足条件的点P落在如图所示的阴影区域内（边长分别为23和43的矩形），
故所求概率P=23×432×4=19．
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
（1）如图一，当点P在矩形ABCD内部的阴影区域时，满足[OP|>1，
故所求概率P=S阴影S矩形ABCD=4×2−π4×2=8−π8 .
（2）设点P到AB的距离为d1，到AD的距离为d2 . 由题意可得12×4×d>43,12×4×2−d>13,12×2×d>43,12×2×4−d2>43，解得23故所求概率P=23×432×4=19．
【解答】
解：(1)如图，当点P在矩形ABCD内部的阴影区域时，满足[OP|≥1，
故所求概率P=S阴影S矩形ABCD=4×2−π4×2=8−π8 .
(2)设点P到AB的距离为d1，到AD的距离为d2 .
由题意可得12×4×d1>43，12×4×2−d1>43，
12×2×d2>43，12×2×4−d2>43，
解得23则满足条件的点P落在如图所示的阴影区域内（边长分别为23和43的矩形），
故所求概率P=23×432×4=19．分组
频数
频率
[50,60)
4
0.04
[60,70)
18
0.18
[70,80)
38
0.38
[80,90)
34
0.34
[90,100]
6
0.06
x
1
3
5
7
8
12
y
1
4
6
9
10
15