初中数学3 三角形的中位线达标测试

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一、单选题
1．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】A
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵E，F分别为AC，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×6＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
2．（2021·四川中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】
分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．
3．（2021·全国八年级专题练习）如图，平行四边形的周长为20，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
【详解】
解：的周长为20，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为8．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
4．（2021·广东九年级专题练习）如图，要测量池塘两岸相对的A、B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接、，分别取、的中点D、E，测得，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
∵点D，E分别是，的中点，∴是的中位线，∴．
5．（2021·全国八年级专题练习）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．4.5B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】
根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AC、AB、CB的长度关系即可解答．
【详解】
解：如图，∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴，DF＝AC＝×5＝，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2021·浙江八年级期中）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
由平行四边形的性质得出，，得出是等边三角形，又由，证得①，继而证得，得②；利用 可判断③，证明是三角形的中位线，证得④．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确，
，
，
，故②正确，

故③错误；
，，，
，
，
，
，
，
，
．故④正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
7．（2021·天津九年级一模）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是 的中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：∵点P是对角线的中点，点E，F分别是 的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2021·广东九年级专题练习）如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：如图，
∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝，
∴第二个三角形的周长是，
同理可得，第三个三角形是，
……
∴第2021个三角形的周长是，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线定理，图形的变化规律，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二、填空题
9．（2021·浙江台州市·九年级一模）如图，分别是等边三边的中点，，则四边形的周长为______．
【答案】8
【分析】
根据中点与中位线的性质即可求出各边的长，故可求解．
【详解】
∵分别是等边三边的中点，
∴AC=BC=AB=4
∴CF=CE=AB=2
∴DF、DE是△ABC的中位线
∴DF=BC=2，DE=AC=2，
∴四边形的周长为DF+DE+EC+CF=8
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查四边形的周长，解题的关键是熟知等边三角形的性质及中点、中位线的性质．
10．（2021·浙江八年级期中）如图，在中，点E，F分别是AB，AC的中点，点D是线段EF上一点，连结BD，并延长至点G，使得．连结AG．若．则DF的长为__________．
【答案】
【分析】
首先判断EF是△ABC的中位线，得到EF=BC，同理判断出ED=AG，结合BC-AG=1cm，可得2EF-2ED=1cm，从而得到DF．
【详解】
解：∵E、F是AB、AC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC，
∵GD=BD，即点D为BG中点，
∴ED为△ABG的中位线，
∴ED=AG，又BC-AG=1cm，
∴2EF-2ED=1cm，
∴2（EF-ED）=2DF=1cm，
∴DF=cm，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了中位线定理，线段的和差，解题的关键是熟练运用中位线定理得到线段之间的数量关系．
11．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点，若，的周长是，则______．
【答案】
【分析】
根据cm，可得出出cm，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
又cm，
cm，
的周长是18厘米，
cm，
点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
cm．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
12．（2021·湖北襄阳市·九年级一模）如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝8，DE＝6，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为______．
【答案】10
【分析】
根据勾股定理求出AE=10，利用AD＝DC，DE∥BC，得到BE=AE=10，当点D落在BC上时，点E与点B重合，由此得到平移距离．
【详解】
解：∵DE∥BC，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵AD＝DC＝8，DE＝6，
∴，
∴BE=AE=10，
当点D落在BC上时，点E与点B重合，
∴平移的距离为10，
故答案为：10．
【点睛】
此题考查勾股定理，三角形中位线的性质，图形平移的性质，正确理解三角形中位线的性质是解题的关键．
三、解答题
13．（2021·河北九年级专题练习）如图，在中，，点D在上，且，E为的中点．平分，交于点F，连接，若线段，求线段的长．
【答案】
【详解】
解：∵平分，
∴是中边上的中线，即点F是的中点．
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴．
14．（2021·全国八年级专题练习）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由ABCD得到点O是BD的中点，用三角形的中位线定理得到OM∥AN且OM=AN，证明出四边形AMON是平行四边形；
（2）由ABCD得到OA=OC=3，OB=OD=2，由勾股定理的AB=，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=AB=，最后求出结果．
【详解】
（1）证明：在ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
∵点M，N分别是AB、AD的中点，
∴AN=DA=AD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM∥AN，OM=AN，
∴四边形AMON是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝，
∴OM＝AM＝MB＝，
∴NO＝AN＝，
∴四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定、中位线的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键在于知识点直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的应用．
15．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段AB、AC、BD、CD的中点．
（1）求∠BDC的度数；
（2）证明：四边形EGHF为平行四边形．
【答案】（1）125°；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB＝110°根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的定理得到EF∥BC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°
∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝125°；
（2）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EF，GH分别为ABC和DBC的中位线
∴EFBC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC，
∴EFGH，EF＝GH
∴四边形EGHF为平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．