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    2020-2021学年四川省高二(上)期中数学试卷(理科)人教A版
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    2020-2021学年四川省高二(上)期中数学试卷(理科)人教A版

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    这是一份2020-2021学年四川省高二(上)期中数学试卷(理科)人教A版,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 抛物线y2=−8x的准线方程为( )
    A.x=−2B.x=−1C.y=1D.x=2

    2. 椭圆x225+y216=1的短轴长为( )
    A.4B.6C.8D.10

    3. 以下直线中,将圆x2+y2−4x−2y+1=0平分的是( )
    A.x−y−1=0B.x−y+1=0C.2x−y=0D.2x−y+3=0

    4. 双曲线C:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上且|PF1|=20,则|PF2|等于( )
    A.12或28B.14或26C.16或24D.17或23

    5. 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,若△F1BF2为等边三角形,则椭圆的离心率为( )
    A.13B.12C.32D.22

    6. 两圆x2+y2=4和(x−3)2+(y−4)2=9的位置关系是( )
    A.相离B.相交C.外切D.内切

    7. “m>3”是“方程x2m−1−y2m−3=1表示双曲线”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

    8. F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,A为C的左顶点,B为第一象限内C上的点,且BF垂直于x轴,若C的离心率为13,则直线AB的斜率为( )
    A.13B.23C.1D.43

    9. A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为123,则∠AOB=( )
    A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘

    10. 如果实数x,y满足x2+y2−6x+4=0,那么yx的最大值是( )
    A.23B.255C.53D.52

    11. 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0),F2(c, 0),过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,若△AF1F2的面积为12c2,则双曲线C的离心率为( )
    A.4B.22C.2D.2

    12. 已知椭圆C:x28+y24=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的一点,若直线AB与以M(0,−13)为圆心的圆相切于点P,且AP→=14AB→,则tan∠ABM=( )
    A.12B.23C.53D.32
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

    命题“若a=−1,则a2=1”的逆命题是________.

    抛物线y2=4x上的点A到其焦点的距离是6,则点A的横坐标是________.

    已知点A(3, 0),B(0, 4),点P在圆x2+y2=1上运动,则|PA|2+|PB|2的最小值为________.

    若A,B是曲线x=y2+2上不同的两点,O为坐标原点,则OA→⋅OB→的取值范围是________.
    三、解答题(本大题共6小题,共70分)

    已知p:∀x∈R,|x|+1≥m.q:∃x∈[0,π3],tanx≥m.
    (1)若p为真命题,求实数m的取值范围.

    (2)若¬p为真命题,p∨q也为真命题,求实数m的取值范围.

    已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2, 0).
    (1)求p;

    (2)斜率为1的直线过点F,且与抛物线交于A,B两点,求线段AB的长.

    圆M经过三点:A(−2, 2),B(0, −2),C(4, 0).
    (1)求圆M的方程.

    (2)求圆M与圆N:(x−3)2+y2=25的公共弦的长.

    已知A(−2, 0),B(2, 0),直线AM,BM相交于点M.且它们的斜率之积是3.
    (1)求点M的轨迹C的方程;

    (2)过点N(2, 3)能否作一条直线m与轨迹C交于两点P,Q,且点N是线段PQ的中点?若能,求出直线m的方程;若不能,说明理由.

    给定抛物线x2=y上点P(2, 4).
    (1)求过点P且与该抛物线相切的直线的方程.

    (2)过点Q(−2, 6)作动直线l与该抛物线交于A,B两点(都与P不重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1⋅k2为定值.

    已知圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且经过点(0, 1).
    (1)求椭圆C的方程;

    (2)直线y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.
    ①求|AB|(用实数k,m表示);
    ②O为坐标原点,若OA→∗OB→=0,且|OB||OA|=32,求△OAB的面积.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年四川省高二(上)期中数学试卷(理科)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
    1.
    【答案】
    D
    【考点】
    抛物线的性质
    【解析】
    抛物线y2=−8x的开口向左,2p=8,从而可得抛物线y2=−8x的准线方程.
    【解答】
    抛物线y2=−8x的开口向左,2p=8,
    ∴ 抛物线y2=−8x的准线方程为x=p2=2
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    椭圆的离心率
    【解析】
    利用椭圆的方程,直接求解即可.
    【解答】
    椭圆x225+y216=1,可知焦点在x轴上,b=4,所以椭圆x225+y216=1的短轴长为8.
    3.
    【答案】
    A
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    【解析】
    求出圆的圆心,利用圆心是否在直线上,判断选项的正误即可.
    【解答】
    圆x2+y2−4x−2y+1=0的方程可化为(x−2)2+(y−1)2=4,
    ∴ 圆心坐标为A(2, 1),
    若直线平分圆,则A(2, 1)必在直线上.
    ∵ 2−1−1=0,点A在直线x−y−1=0上,故A正确;
    ∵ 2−1+1≠0,点A不在直线x−y+1=0上,故B错误;
    ∵ 2×2−1≠0,点A不在直线2x−y=0上,故C错误;
    ∵ 2×2−1+3≠0,点A不在直线2x−y+3=0上,故D错误.
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    双曲线的离心率
    【解析】
    通过双曲线方程求出a,结合双曲线定义,转化求解即可.
    【解答】
    根据题意,双曲线C:x29−y216=1,a=9=3,
    又由点P在双曲线C上,则有 // PF1|−|PF2||=2a=6,
    即|PF1|−|PF2|=±6.
    又由|PF1|=20,则|PF2|等于14或26.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    椭圆的离心率
    【解析】
    由△BF1F2为等边三角形,可得a=2c,利用e=ca即可得出.
    【解答】
    ∵ △BF1F2为等边三角形,∴ a=2c,∴ e=ca=12.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    圆与圆的位置关系及其判定
    【解析】
    由两圆的圆心的坐标可求得圆心距为5,再由圆心距和两圆半径的和的关系可确定两圆的位置关系.
    【解答】
    解:∵ 圆心O1的坐标是(0, 0),半径为2;
    圆心O2的坐标是(3, 4),半径为3;
    ∴ 两圆的圆心距为32+42=5,
    ∵ 5=2+3,
    ∴ 两圆的位置关系是:外切.
    故选:C.
    7.
    【答案】
    A
    【考点】
    必要条件、充分条件与充要条件的判断
    【解析】
    根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性,从而得到答案.
    【解答】
    解:m>3能推出方程x2m−1−y2m−3=1表示双曲线,是充分条件,
    方程x2m−1−y2m−3=1表示双曲线推不出m>3,不是必要条件,
    故选:A.
    8.
    【答案】
    B
    【考点】
    椭圆的离心率
    【解析】
    由题意求出B的坐标,再利用离心率求出a,c,b的关系,进而可以求解.
    【解答】
    由题意得F(c, 0),将x=c代入椭圆方程得y=±b2a,
    ∵ B在第一象限,∴ B(c,b2a),
    又∵ e=13=ca,∴ a=3c,
    又∵ a2=b2+c2,∴ b2=8c2,又∵ A(−a, 0),
    ∴ kAB=yA−yBxA−xB=−b2a−a−c=−83c−4c=23,
    9.
    【答案】
    C
    【考点】
    抛物线的性质
    【解析】
    由抛物线的方程及|OA|=|OB|可得,A,B关于y轴对称,再由三角形AOB的面积可得A,B的坐标,
    可得∠AOB的值.
    【解答】
    由抛物线的方程,又因为|OA|=|OB|,则可得A,B关于y轴对称,
    设A(x, x22),则B(−x, x22),
    所以|AB|=2|x|,
    所以S△AOB=12⋅|2x|⋅x22=123,解得|x|=23,
    所以A(23, 6),
    所以tan∠AOx=623=3,
    所以OA2=x2+(x22)2=48,
    所以S△AOB=12|OA|2sin∠AOB=12×48×sin∠AOB=123,
    所以sin∠AOB=32,
    所以∠AOB=60∘或120∘(舍),
    综上所述∠AOB=60∘
    10.
    【答案】
    D
    【考点】
    圆的切线方程
    【解析】
    画出图形,利用所求表达式的几何意义,结合图形转化求解即可.
    【解答】
    解:∵ x2+y2−6x+4=0,即(x−3)2+y2=5,
    ∴ 圆的圆心为(3, 0),半径为5.
    yx的几何意义是圆上一点(x, y)与(0, 0)连线的斜率,
    如图,结合题意作出图象,
    结合图象易知,当过原点的直线与圆相切时,斜率最大,即yx最大.
    设过原点的直线与圆相切时,直线的倾斜角为α,
    则tanα=52,即yx的最大值为52.
    故选D.
    11.
    【答案】
    D
    【考点】
    双曲线的离心率
    【解析】
    画出图形,利用双曲线的渐近线推出直线方程,求出A,通过三角形的面积转化求解即可.
    【解答】
    设过F(c, 0)与一条渐近线bx−ay=0垂直的直线为l,
    则l的方程为y=−ab(x−c)与bx−ay=0联立可得A(a2c,abc).
    因为△AF1F2的面积为12c2,所以12×2c×abc=12c2,
    所以c2=2ab,可得c4=4a2(c2−a2),
    所以e4−4e2+4=0,
    所以e2=2,即e=2.
    12.
    【答案】
    B
    【考点】
    椭圆的离心率
    【解析】
    由已知求出A的坐标,设B的坐标并代入椭圆方程,然后求出向量AB,AP,根据已知可得P点的坐标,进而可以求出向量MP的坐标,又向量MP与向量AB垂直,即可求出点B满足的方程,进而可以求出点B的坐标和P的坐标,进而可以求解.
    【解答】
    由题意可知,A(0, −2),设B(x0, y0),
    则B点满足x028+y024=1,∴ AB→=(x0,y0+2),
    ∵ AP→=14AB→,∴ AP→=(14x0,14y0+12),
    ∴ P(14x0,14y0−32),∴ MP→=(14x0,14y0−76),
    ∵ 直线AB与圆M相切于P点,∴ MP→⊥AB→,
    ∴ 14x0∗x0+(14y0−76)∗(y0+2)=0,
    即14x02+14y02−23y0−73=0,
    将x028+y024=1代入上式可得y024+23y0+13=0,
    解得y0=−23或−2(舍),
    ∴ B(83,−23),P(23,−53),
    ∴ |AB|=(83−0)2+[−23−(−2)]2=453,|BP|=34|AB|=5,|MP|=(23)2+[−53−(−13)]2=253,
    又∵ ∠BPM=90∘,
    ∴ tan∠ABM=|MP||BP|=2535=23,
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    【答案】
    “若a2=1,则a=−1”
    【考点】
    四种命题间的逆否关系
    【解析】
    原命题:“若p,则q”的逆命题为:“若q,则p.”
    【解答】
    命题“若a=−1,则a2=1”的逆命题是:
    “若a2=1,则a=−1”.
    【答案】
    5
    【考点】
    抛物线的性质
    【解析】
    根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离,可得所求点的横坐标.
    【解答】
    抛物线y2=4x的准线方程为x=−1,
    ∵ 抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于6,
    ∴ 根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离,可得所求点的横坐标为5.
    【答案】
    17
    【考点】
    圆的方程的综合应用
    点与圆的位置关系
    圆的综合应用
    【解析】
    根据题意,设P(x, y),由两点间距离公式可得|PA|2+|PB|2=2[(x−32)2+(y−2)2]+252,设t=(x−32)2+(y−2)2,分析t的几何意义,由点与圆的位置关系可得t的最小值,进而计算可得答案.
    【解答】
    根据题意,设P(x, y),
    则|PA|2+|PB|2=(x−3)2+y2+x2+(y−4)2=2[(x−32)2+(y−2)2]+252,
    设t=(x−32)2+(y−2)2,其几何意义为圆x2+y2=1上一点P到点(32, 2)的距离,
    圆x2+y2=1的圆心为(0, 0),半径r=1,
    则tmin=(0−32)2+(0−2)2−1=32,
    故(|PA|2+|PB|2)min=2×(32)2+252=17,
    即|PA|2+|PB|2的最小值为17,
    【答案】
    [2, +∞)
    【考点】
    平面向量数量积的性质及其运算
    直线与双曲线的位置关系
    【解析】
    曲线化为x22−y22=1(x≥0),设A(x1, y1),B(x2, y2),推出OA→∗OB→=x1x2+y1y2,若AB⊥x轴,推出OA→⋅OB→的值,若AB不垂直于x轴,设lAB:y=kx+m,y=kx+mx2−y2=2,利用韦达定理,结合向量的数量积,推出数量积的表达式,然后求解范围即可.
    【解答】
    ∵ x=y2+2,∴ 可化为x22−y22=1(x≥0),
    设A(x1, y1),B(x2, y2),
    则OA→=(x1,y1),OB→=(x2,y2),
    ∴ OA→∗OB→=x1x2+y1y2,
    若AB⊥x轴,此时x1=x2,y1=−y2,
    ∴ OA→∗OB→=x12−y12=2,
    若AB不垂直于x轴,设lAB:y=kx+m,
    ∴ y=kx+mx2−y2=2,
    ∴ (1−k2)x2−2kmx−m2−2=0,
    ∴ x1+x2=2km1−k2,x1∗x2=−m2−21−k2,
    ∴ OA→∗OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
    =(1+k)2−m2−21−k2+km2km1−k2+m2=2k2+2k2−1=2+4k2−1,
    又∵ k2>1,∴ k2−1>0,∴ OA→∗OB→>2,
    ∴ OA→∗OB→∈[2,+∞),
    三、解答题(本大题共6小题,共70分)
    【答案】
    若p为真命题,则|x|+1≥m,在x∈R上恒成立,
    即(|x|+1)min≥m,当x=0时,(|x|+1)min=1,
    ∴ m≤1,即m的取值范围为(−∞, 1].
    若¬p为真命题,则p为假命题,
    ∴ m>1,∵ p∨q为真命题,∴ q为真命题,q:∃x∈[0,π3],tanx≥m,
    即(tanx)max≥m,即tanπ3≥m,
    ∴ m≤3,
    ∴ 1综上m的取值范围是(1, 3]
    【考点】
    复合命题及其真假判断
    【解析】
    (1)由|x|+1≥m,在x∈R上恒成立,可得(|x|+1)min≥m,然后结合绝对值不等式的性质可求m的范围,
    (2)由已知可知p为假命题,q为真命题,结合复合命题的真假关系可求.
    【解答】
    若p为真命题,则|x|+1≥m,在x∈R上恒成立,
    即(|x|+1)min≥m,当x=0时,(|x|+1)min=1,
    ∴ m≤1,即m的取值范围为(−∞, 1].
    若¬p为真命题,则p为假命题,
    ∴ m>1,∵ p∨q为真命题,∴ q为真命题,q:∃x∈[0,π3],tanx≥m,
    即(tanx)max≥m,即tanπ3≥m,
    ∴ m≤3,
    ∴ 1综上m的取值范围是(1, 3]
    【答案】
    解:(1)由焦点的坐标可得p2=2,
    所以p=4.
    (2)由(1)可得抛物线的方程为y2=8x,
    直线AB的方程为:y=x−2,
    设A(x1, y1),B(x2, y2),
    联立直线AB与抛物线的方程可得:y=x−2,y2=8x,
    整理可得:x2−12x+4=0,
    所以x1+x2=12,
    所以弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
    【考点】
    抛物线的性质
    与抛物线有关的中点弦及弦长问题
    【解析】
    (1)由焦点的坐标直接可得p值;
    (2)由题意设直线AB的方程,与抛物线联立求出两根之和,再由抛物线的性质,到焦点的距离等于到准线的距离,可得弦长|AB|的值.

    【解答】
    解:(1)由焦点的坐标可得p2=2,
    所以p=4.
    (2)由(1)可得抛物线的方程为y2=8x,
    直线AB的方程为:y=x−2,
    设A(x1, y1),B(x2, y2),
    联立直线AB与抛物线的方程可得:y=x−2,y2=8x,
    整理可得:x2−12x+4=0,
    所以x1+x2=12,
    所以弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
    【答案】
    设圆M:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
    代入已知点的坐标,可得
    8−2D+2E+F=04−2E+F=016+4D+F=0,解得D=−2E=−2F=−8,
    ∴ 圆M的方程为x2+y2−2x−2y−8=0;
    联立x2+y2−2x−2y−8=0(x−3)2+y2=25,
    解得交点坐标为(0, 4),(−2, 0),
    ∴ 两圆的公共弦长为42+22=25.
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    圆的标准方程
    【解析】
    (1)设圆M:x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标求得D、E、F的值,则圆的方程可求;
    (2)联立两圆的方程,求得交点坐标,再由两点间的距离公式求解.
    【解答】
    设圆M:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
    代入已知点的坐标,可得
    8−2D+2E+F=04−2E+F=016+4D+F=0,解得D=−2E=−2F=−8,
    ∴ 圆M的方程为x2+y2−2x−2y−8=0;
    联立x2+y2−2x−2y−8=0(x−3)2+y2=25,
    解得交点坐标为(0, 4),(−2, 0),
    ∴ 两圆的公共弦长为42+22=25.
    【答案】
    设M(x, y),x≠±2,
    由题意可得:kAM⋅kBM=3,
    ∴ yx+2⋅yx−2=3(x≠±2).
    整理得3x2−y2=12(x≠±2),
    即方程为x24−y212=1(x≠±2).
    故点M的轨迹C的方程为x24−y212=1(x≠±2).
    能,
    设直线m的方程为y−3=k(x−2),即y=kx+3−2k与3x2−y2=12联立,
    3x2−y2=12y=kx+3−2k,消去y整理得(3−k2)x2+2k(2k−3)x−(2k−3)2=12=0,
    设P(x1, y1),Q(x2, y2).
    由根与系数的关系得x1+x2=−2k(2k−3)3−k2,
    y1+y2=(kx1+3−2k)+(kx2+3−2k)=k(x1+x2)+6−4k=−2k2(2k−3)3−k2+6−4k,
    令x1+x2=2×2=4y1+y2=2×3=6,即−2k(2k−3)3−k2=4−2k2(2k−3)3−k2+6−4k=6,
    解得k=2,
    故直线m的方程为y=2x−1.
    【考点】
    轨迹方程
    【解析】
    (1)设M(x, y),x≠±2,由题意可得kAM⋅kBM=3,可得yx+2⋅yx−2=3(x≠±2).化简即可得出点M的轨迹C的方程;
    (2)设m:y−3=k(x−2),与3x2−y2=12联立,消去y可得(3−k2)x2+2k(2k−3)x−(2k−3)2=12=0,由根与系数的关系可得x1+x2=−2k(2k−3)3−k2,y1+y2=−2k2(2k−3)3−k2+6−4k,由中点坐标公式即可求出k值,从而可得直线m的方程.
    【解答】
    设M(x, y),x≠±2,
    由题意可得:kAM⋅kBM=3,
    ∴ yx+2⋅yx−2=3(x≠±2).
    整理得3x2−y2=12(x≠±2),
    即方程为x24−y212=1(x≠±2).
    故点M的轨迹C的方程为x24−y212=1(x≠±2).
    能,
    设直线m的方程为y−3=k(x−2),即y=kx+3−2k与3x2−y2=12联立,
    3x2−y2=12y=kx+3−2k,消去y整理得(3−k2)x2+2k(2k−3)x−(2k−3)2=12=0,
    设P(x1, y1),Q(x2, y2).
    由根与系数的关系得x1+x2=−2k(2k−3)3−k2,
    y1+y2=(kx1+3−2k)+(kx2+3−2k)=k(x1+x2)+6−4k=−2k2(2k−3)3−k2+6−4k,
    令x1+x2=2×2=4y1+y2=2×3=6,即−2k(2k−3)3−k2=4−2k2(2k−3)3−k2+6−4k=6,
    解得k=2,
    故直线m的方程为y=2x−1.
    【答案】
    设切线方程为(y−4)=k(x−2),
    联立抛物线与切线y−4=k(x−2)x2=y,
    得x2−kx+2k−4=0,因此直线与抛物线相切,所以只有一个根,
    即△=(−k)2−4∗1∗(2k−4)=k2−8k+16=(k−4)2=0⇒k=4,
    所以切线方程:y−4=4(x−2),
    即4x−y−4=0.
    设直线l方程为:y−6=k(x+2),
    点A坐标(x1, y1),B(x2, y2),
    联立直线l与抛物线y−6=k(x+2)x2=y,
    得x2−kx−2k−6=0,因l与抛物线交于A、B两点,
    所以x1+x2=−−k1=k,x1x2=−2k−61=−2k−6,
    又因为A、B在抛物线x2=y上,
    所以y1+y2=x12+x22=k2+4k+12,y1y2=x12x22=(x1x2)2=4k2+24k+36,
    由题意知,k1=4−y12−x1,k2=4−y22−x2,
    所以k1∗k2=(4−y1)(4−y2)(2−x1)(2−x2),
    展开即k1∗k2=16−4y1−4y2+y1y24−2x1−2x2+x1x2=8k+4−4k−2=−2,
    即k1∗k2=−2.
    【考点】
    直线与抛物线的位置关系
    【解析】
    (1)设切线方程为(y−4)=k(x−2),联立抛物线与切线方程,通过△=0⇒k=4,得到切线方程.
    (2)设直线l方程为:y−6=k(x+2),点A坐标(x1, y1),B(x2, y2),联立直线l与抛物线方程利用韦达定理,求解直线的斜率,推出结果即可.
    【解答】
    设切线方程为(y−4)=k(x−2),
    联立抛物线与切线y−4=k(x−2)x2=y,
    得x2−kx+2k−4=0,因此直线与抛物线相切,所以只有一个根,
    即△=(−k)2−4∗1∗(2k−4)=k2−8k+16=(k−4)2=0⇒k=4,
    所以切线方程:y−4=4(x−2),
    即4x−y−4=0.
    设直线l方程为:y−6=k(x+2),
    点A坐标(x1, y1),B(x2, y2),
    联立直线l与抛物线y−6=k(x+2)x2=y,
    得x2−kx−2k−6=0,因l与抛物线交于A、B两点,
    所以x1+x2=−−k1=k,x1x2=−2k−61=−2k−6,
    又因为A、B在抛物线x2=y上,
    所以y1+y2=x12+x22=k2+4k+12,y1y2=x12x22=(x1x2)2=4k2+24k+36,
    由题意知,k1=4−y12−x1,k2=4−y22−x2,
    所以k1∗k2=(4−y1)(4−y2)(2−x1)(2−x2),
    展开即k1∗k2=16−4y1−4y2+y1y24−2x1−2x2+x1x2=8k+4−4k−2=−2,
    即k1∗k2=−2.
    【答案】
    ∵ C过(0, 1),∴ b=1,
    又e=ca=32,联立a2=b2+c2,解得a=2,
    ∴ C的方程为:x24+y2=1.
    ①联立y=kx+m与x2+4y2=4,得x2+4(kx+m)2=4,
    ∴ (4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0,
    ∴ △=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)=16(4k2+1−m2)>0,
    ∴ 4k2+1>m2,
    设A(x1, y1),B(x2, y2),则x1+x2=−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1,
    ∴ |AB|=1+k2=△4k2+1=41+k24k2+1−m24k2+1.
    ②∵ OA→∗OB→=0,∴ OA⊥OB,
    则k≠0,直线OA为:y=−1kx.
    联立y=kx+m,得y=k(−ky)+m,
    ∴ y1=mk2+1,x1=−ky1=−kmk2+1,代入x12+4y12=4,
    ∴ (−kmk2+1)2+4(mk2+1)2=4,∴ m2=4(k2+1)2k2+4,
    ∴ 4k2+1−m2=4k2+1−4(k2+1)2k2+4=(4k2+1)(k2+4)−4(k2+1)2k2+4=9k2k2+4,
    ∴ |AB|2=16(1+k2)(4k2+1−m2)(4k2+1)2=144(1+k2)k2(4k2+1)2(k2+4),
    又∵ |OA|2=(−ky1)2+y12=(k2+1)(mk2+1)2=m2k2+1=4(k2+1)k2+4,
    ∴ |AB|2|OA|2=36k2(4k2+1)2=94,得16k2=(4k2+1)2,
    ∴ (4k2−1)2=0,∴ k2=14.
    此时m2=4(k2+1)2k2+4=2517<4k2+1=2,
    ∴ △>0成立.
    由|OA|2=4(k2+1)k2+4=4(14+1)14+4=2017,
    ∴ △OAB的面积S=12|OA // AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517.
    【考点】
    椭圆的标准方程
    椭圆的应用
    直线与椭圆的位置关系
    【解析】
    (1)利用已知条件求出b,a,得到椭圆方程.
    (2)①联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式求解|AB|.
    ②通过向量的数量积,得到直线OA的方程,直线OA的方程与联立y=kx+m,求出交点坐标代入椭圆方程,结合弦长公式转化求解三角形的面积,推出结果即可.
    【解答】
    ∵ C过(0, 1),∴ b=1,
    又e=ca=32,联立a2=b2+c2,解得a=2,
    ∴ C的方程为:x24+y2=1.
    ①联立y=kx+m与x2+4y2=4,得x2+4(kx+m)2=4,
    ∴ (4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0,
    ∴ △=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)=16(4k2+1−m2)>0,
    ∴ 4k2+1>m2,
    设A(x1, y1),B(x2, y2),则x1+x2=−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1,
    ∴ |AB|=1+k2=△4k2+1=41+k24k2+1−m24k2+1.
    ②∵ OA→∗OB→=0,∴ OA⊥OB,
    则k≠0,直线OA为:y=−1kx.
    联立y=kx+m,得y=k(−ky)+m,
    ∴ y1=mk2+1,x1=−ky1=−kmk2+1,代入x12+4y12=4,
    ∴ (−kmk2+1)2+4(mk2+1)2=4,∴ m2=4(k2+1)2k2+4,
    ∴ 4k2+1−m2=4k2+1−4(k2+1)2k2+4=(4k2+1)(k2+4)−4(k2+1)2k2+4=9k2k2+4,
    ∴ |AB|2=16(1+k2)(4k2+1−m2)(4k2+1)2=144(1+k2)k2(4k2+1)2(k2+4),
    又∵ |OA|2=(−ky1)2+y12=(k2+1)(mk2+1)2=m2k2+1=4(k2+1)k2+4,
    ∴ |AB|2|OA|2=36k2(4k2+1)2=94,得16k2=(4k2+1)2,
    ∴ (4k2−1)2=0,∴ k2=14.
    此时m2=4(k2+1)2k2+4=2517<4k2+1=2,
    ∴ △>0成立.
    由|OA|2=4(k2+1)k2+4=4(14+1)14+4=2017,
    ∴ △OAB的面积S=12|OA // AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517.
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