2020-2021学年江西省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年江西省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 向量a→=(−2,3)，b→=(2,1)，则a→⋅b→=( )
A.1B.−1C.7D.0

2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝2，a4−a2＝2，则S5＝（ ）
A.21B.15C.10D.6

3. sin15∘+cs15∘的值为（ ）
A.12B.64C.62D.322

4. 已知tanα=23，且π<α<2π，则csα＝（ ）
A.−31313B.31313C.−21313D.21313

5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b=3，c=13，则C＝（ ）
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6

6. m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若m // n，n⊂α，则m // αB.若m⊥α，m // n，则n⊥α
C.若m // α，n⊂α，则m // nD.若m⊥α，m⊥n，则n // α

7. 已知sin(α−π2)=12，则sin(2α+3π2)=( )
A.32B.−32C.12D.−12

8. 已知tan(α−3π4)=23，则tanα＝（ ）
A.15B.−15C.5D.−5

9. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论：
①BF→−HF→+HD→=0；
②OA→+OC→=−2OF→；
③AE→+FC→−GE→=AB→．
其中正确的结论为（ ）

A.④②B.①③C.②③D.①②③

10. 已知函数f(x)＝cs2x⋅csφ−sin(2x+π)⋅sinφ在x=π3处取得最小值，则函数f(x)的一个单减区间为（ ）
A.(π3,4π3)B.(−2π3,π3)C.(π3,5π6)D.(−π6,π3)

11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b⋅csC=2a+c，则B＝（ ）
A.π6B.π4C.3π4D.5π6

12. 已知sinα=267，cs(α−β)=105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ＝（ ）
A.91535B.111035C.1535D.1035
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

若向量a→与b→相互垂直，同|a→|=2，|a→+b→|=5，则|2a→−b→|=________．

已知等比数列{an}的首项为1，公比为−12，Sn表示{an}的前n项和，则limn→∞Sn=________．

已知tanα＝3，则sin2α−1sin2α+cs2α=________．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a28，则csA＝________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题12分．

已知函数f(x)＝(csx+sinx)⋅csx．
（1）求函数f(x)的最小正周期T；

（2）当x∈[−π4,π4)时，求函数f(x)的值域．

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝7，S5＝15．
（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最大值．

如图所示，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=π4，b=5，c=2，点D在BC边上，且BD→=2DC→．

（1）求BC的长度；

（2）求△ACD的面积．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)一条对称轴为x=π6，且f(A)=12．
（1）求A的值；

（2）若a＝2，求△ABC的面积最大值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+bsinA＝3csinAsinB，a2+b2−c2＝5．
（1）求△ABC的面积；

（2）若c=2，求△ABC的周长．

向量a→=(cs2x,−3cs22x)，b→=(2sin2x,1−tan22x)，函数f(x)=a→⋅b→．
（1）求函数f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值时x的值；

（2）先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数g(x)的图象，求g(x)的单减区间．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
直接利用向量的数量积公式化简求解即可．
【解答】
向量a→=(−2,3)，b→=(2,1)，则a→⋅b→=−2×2+3×1＝−1．
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，∵ a1+a3＝2，a4−a2＝2，
∴ 2a1+2d＝2，2d＝2，
解得a1＝0，d＝1，
则S5＝0+5×42×1＝10．
3.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】
sin15∘+cs15∘=2(22sin15∘+22cs15∘)
=2(sin15∘cs45∘+cs15∘sin45∘)
=2sin(15∘+45∘)=2sin60∘
=2×32=62．
4.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式，计算求解即可．
【解答】
因为tanα=23，且π<α<2π，
则csα=−11+tan2α=−11+(23)2=−31313．
5.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
直接运用余弦定理，解方程可得所求角．
【解答】
由a＝2，b=3，c=13，
可得csC=a2+b2−c22ab=4+3−132×2×3=−32，
由06.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由直线与平面的位置关系判断A；由直线与平面垂直的性质判断B与D；直线与平面平行的定义及性质判断C．
【解答】
若m // n，n⊂α，则m⊂α或m // α，故A错误；
若m⊥α，则m垂直α内的两条相交直线a与b，又m // n，∴ n⊥a，n⊥b，则n⊥α，故B正确；
若m // α，n⊂α，则m // n或m与n异面，故C错误；
若m⊥α，m⊥n，则n // α或n⊂α，故D错误．
7.
【答案】
C
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用诱导公式求得 csα 的值，再利用诱导公式、二倍角公式化简要求的三角函数式，可得结果．
【解答】
∵ 已知sin(α−π2)=12=−csα，∴ csα=−12，
则sin(2α+3π2)=−cs2α＝−2cs2α+1=12，
8.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
直接运用两角差的正切公式，解方程可得所求值．
【解答】
tan(α−3π4)=tanα−tan3π41+tanα⋅tan3π4=tanα+11−tanα=23，
解得tanα=−15，
9.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据平面向量的线性运算逐项进行化简运算，由此确定出正确选项．
【解答】
对于①：因为BF→−HF→+HD→=BF→+FH→+HD→=BH→+HD→=BD→，①错误，
对于②：因为∠AOC=3608×2=90，则以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，
又因为OB平分∠AOC，所以OA→+OC→=2OB→=−2OF→，②正确，
对于③：因为AE→+FC→−GE→=AE→+EG→+FG→=AG→+FC→，且FC→=GB→，
所以AE→+FC→−GE→=AG→+GB→=AB→，③正确，
10.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的三角函数
三角函数的最值
【解析】
运用两角和的余弦公式，可得f(x)＝cs(2x+φ)，由余弦函数的最值求得φ，再由余弦函数的减区间，解不等式可得所求区间．
【解答】
函数f(x)＝cs2x⋅csφ−sin(2x+π)⋅sinφ＝cs2x⋅csφ−sin2x⋅sinφ＝cs(2x+φ)，
由f(x)在x=π3处取得最小值，可得cs(2π3+φ)＝−1，
即2π3+φ＝2kπ+π，k∈Z，可得φ＝2kπ+π3，k∈Z，
则f(x)＝cs(2x+π3)，
由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
当k＝0时，−π6≤x≤π3，
可得函数f(x)的一个单减区间为[−π6, π3]，
11.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
由余弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理计算可得所求角．
【解答】
若2b⋅csC=2a+c，
则2b⋅a2+b2−c22ab=2a+c，
可得a2+c2−b2=−2ac，
则csB=a2+c2−b22ac=−22，
由012.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由同角的平方关系求得csα，sin(α−β)，再由sinβ＝sin[α−(α−β)]，运用两角差的正弦公式，结合β的范围，可得所求值．
【解答】
由sinα=267，0<α<3π4，可得0<α<π2，csα=1−sin2α=1−2449=57，
由0<α<π2，0<β<3π4，可得−3π4<α−β<π2，可得sin(α−β)＝±1−cs2(α−β)=±1−1025=±155，
则sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)=267×105−57×155=−1535
或=267×105−57×(−155)=91535，
由于0<β<3π4，可得sinβ>0，则sinβ=91535，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
17
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
根据题意可得出a→⋅b→=0，对|a→+b→|=5两边平方即可求出b→2=1，然后根据|2a→−b→|=(2a→−b→)2进行数量积的运算即可．
【解答】
∵ a→⊥b→，∴ a→⋅b→=0，且|a→|=2,|a→+b→|=5，
∴ (a→+b→)2=4+b→2=5，∴ b→2=1，
∴ |2a→−b→|=(2a→−b→)2=16+1=17．
【答案】
23
【考点】
数列的极限
【解析】
利用等比数列的极限的运算法则，转化求解即可．
【解答】
等比数列{an}的首项为1，公比为−12，Sn表示{an}的前n项和，
则limn→∞Sn=a11−q=11+12=23．
【答案】
−4
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
【解答】
已知tanα＝3，则sin2α−1sin2α+cs2α=2sinαcsα−sin2α−cs2αcs2α
＝2tanα−tan2α−1＝6−9−1＝−4，
【答案】
255
【考点】
余弦定理
【解析】
利用余弦定理、三角形面积计算公式，同角三角函数基本关系式即可得出tanA的值，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值．
【解答】
由题意可得：△ABC的面积为b2+c2−a28=12acsinB，
∴ 2bccsA8=12acsinB，可得bcsA＝2asinB，
由正弦定理可得sinBcsA＝2sinAsinB，
因为sinB≠0，
化为：tanA=12，A∈(0, π)，
可得csA=11+tan2A=11+(12)2=255．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题12分．
【答案】
函数f(x)＝(csx+sinx)⋅csx＝cs2x+sinxcsx=1+cs2x2+12sin2x=22sin(2x+π4)+12，
故它的最小正周期为2π2=π．
当x∈[−π4,π4)时，2x+π4∈[−π4, 3π4)，
故当2x+π4=−π4时，f(x)取得最小值为−12+12=0；当2x+π4=π2时，f(x)取得最大值为 22+12=2+12，
故函数的值域为[0, 2+12]．
【考点】
三角函数的周期性
二倍角的三角函数
【解析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，计算求得结果．
【解答】
函数f(x)＝(csx+sinx)⋅csx＝cs2x+sinxcsx=1+cs2x2+12sin2x=22sin(2x+π4)+12，
故它的最小正周期为2π2=π．
当x∈[−π4,π4)时，2x+π4∈[−π4, 3π4)，
故当2x+π4=−π4时，f(x)取得最小值为−12+12=0；当2x+π4=π2时，f(x)取得最大值为 22+12=2+12，
故函数的值域为[0, 2+12]．
【答案】
设等差数列{an}的公差为d，∵ a1＝7，S5＝15，
∴ 5×7+5×42×d＝15，解得d＝−2．
∴ an＝7−2(n−1)＝9−2n．
Sn=n(7+9−2n)2=−n2+8n＝−(n−4)2+16．
可得：当n＝4时，Sn取得最大值S4＝16．
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1＝7，S5＝15，利用求和公式即可得出d，再利用通项公式即可得出an．
（2）利用求和公式可得Sn，再利用二次函数的单调性可得Sn的最大值．
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，∵ a1＝7，S5＝15，
∴ 5×7+5×42×d＝15，解得d＝−2．
∴ an＝7−2(n−1)＝9−2n．
Sn=n(7+9−2n)2=−n2+8n＝−(n−4)2+16．
可得：当n＝4时，Sn取得最大值S4＝16．
【答案】
由正弦定理得：bsinB=csinC，即5sinπ4=2sinC，∴ sinC=55，
∵ c∴ csA＝cs(π−C−B)＝−cs(C+B)＝sinBsinC−csBcsC=22×55−22×255=−1010，
由余弦定理得：BC2＝a2＝b2+c2−2bccsA=5+2−2×5×2×(−1010)=9，
∴ BC＝3．
∵ BD→=2DC→，BC＝3，∴ CD＝1，
∴ S△ACD=12×AC×CD×sinC=12×5×1×55=12．
即△ACD的面积为12．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理和余弦定理求BC的长度，（2）利用三角形的面积公式S=12AC×DC×sinC求解．
【解答】
由正弦定理得：bsinB=csinC，即5sinπ4=2sinC，∴ sinC=55，
∵ c∴ csA＝cs(π−C−B)＝−cs(C+B)＝sinBsinC−csBcsC=22×55−22×255=−1010，
由余弦定理得：BC2＝a2＝b2+c2−2bccsA=5+2−2×5×2×(−1010)=9，
∴ BC＝3．
∵ BD→=2DC→，BC＝3，∴ CD＝1，
∴ S△ACD=12×AC×CD×sinC=12×5×1×55=12．
即△ACD的面积为12．
【答案】
∵ 函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)一条对称轴为x=π6，
∴ f(π6)＝sin(2×π6+φ)＝±1，∴ π3+φ＝kπ+π2，∴ φ＝kπ+π6，k∈Z，
∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝sin(2x+π6)，∴ f(A)＝sin(2A+π6)=12，∵ A∈(0, π)，
∴ 2A+π6=5π6，∴ A=π3．
由余弦定理得：4＝b2+c2−2bccsA≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，
∴ bc≤4，又∵ S△ABC=12bcsinA≤12×4×sinπ3=3，
∴ △ABC的面积最大值为3．
【考点】
正弦函数的图象
【解析】
（1）利用三角函数图象的对称轴经过函数图象的最高（低）点求φ，在求A，（2）利用余弦定理和面积公式及基本不等式．
【解答】
∵ 函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)一条对称轴为x=π6，
∴ f(π6)＝sin(2×π6+φ)＝±1，∴ π3+φ＝kπ+π2，∴ φ＝kπ+π6，k∈Z，
∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝sin(2x+π6)，∴ f(A)＝sin(2A+π6)=12，∵ A∈(0, π)，
∴ 2A+π6=5π6，∴ A=π3．
由余弦定理得：4＝b2+c2−2bccsA≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，
∴ bc≤4，又∵ S△ABC=12bcsinA≤12×4×sinπ3=3，
∴ △ABC的面积最大值为3．
【答案】
因为asinB+bsinA＝3csinAsinB，
由正弦定理可得，sinAsinB+sinAsinB＝3sinAsinBsinC，
又sinAsinB>0，
所以sinC=23，
因为a2+b2−c2＝5，
故csC>0即C 为锐角，csC=53，
由余弦定理可得，csC=53=a2+b2−c22ab，
故ab=352，S△ABC=12absinC=12×352×23=52，
由（1）可得ab=352，且c=2，
因为a2+b2−c2＝a2+b2−2＝5，
所以a2+b2＝7，
即(a+b)2＝2ab+7＝35+7，即a+b=7+35，
所以a+b+c=7+35+2．
【考点】
余弦定理
【解析】
（1）由已知结合正弦定理可求sinC，进而可求csC，然后结合余弦定理及三角形的面积公式可求，
（2）结合（1）可求a+b，进而可求三角形周长．
【解答】
因为asinB+bsinA＝3csinAsinB，
由正弦定理可得，sinAsinB+sinAsinB＝3sinAsinBsinC，
又sinAsinB>0，
所以sinC=23，
因为a2+b2−c2＝5，
故csC>0即C 为锐角，csC=53，
由余弦定理可得，csC=53=a2+b2−c22ab，
故ab=352，S△ABC=12absinC=12×352×23=52，
由（1）可得ab=352，且c=2，
因为a2+b2−c2＝a2+b2−2＝5，
所以a2+b2＝7，
即(a+b)2＝2ab+7＝35+7，即a+b=7+35，
所以a+b+c=7+35+2．
【答案】
由已知得f(x)=a→⋅b→=2sin2x⋅cs2x−3cs2(2x)(1−tan22x)
＝sin4x−3(cs22x−sin22x)＝sin4x−3cs4x=2sin(4x−π3)．
易知，当4x−π3=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−π24+kπ2，k∈Z时，f(x)min＝−2．
f(x)的图象向左平移π6个单位，新函数为y＝2sin[4(x+π6)−π3]＝2sin(4x+π3)．
再将横坐标缩短为原来的12，得g(x)＝2sin(8x+π3)．
要求函数g(x)的减区间，只需π2+2kπ≤8x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，
解得π48+kπ4≤x≤7π48+kπ4，k∈Z．
故g(x)的单调减区间为[π48+kπ4,7π48+kπ4]．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）先利用降幂公式以及辅助角公式将f(x)化为2sin(4x−π3)，再结合正弦函数的性质求解；
（2）结合三角函数的图象的平移、伸缩变换规律，求出g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性求出结果．
【解答】
由已知得f(x)=a→⋅b→=2sin2x⋅cs2x−3cs2(2x)(1−tan22x)
＝sin4x−3(cs22x−sin22x)＝sin4x−3cs4x=2sin(4x−π3)．
易知，当4x−π3=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−π24+kπ2，k∈Z时，f(x)min＝−2．
f(x)的图象向左平移π6个单位，新函数为y＝2sin[4(x+π6)−π3]＝2sin(4x+π3)．
再将横坐标缩短为原来的12，得g(x)＝2sin(8x+π3)．
要求函数g(x)的减区间，只需π2+2kπ≤8x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，
解得π48+kπ4≤x≤7π48+kπ4，k∈Z．
故g(x)的单调减区间为[π48+kπ4,7π48+kπ4]．