2020-2021学年江西省上饶市高一（上）1月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（上）1月月考数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|x>e}，B={1,2,3,4,5}，则(∁RA)∩B=( )
A.3,4,5B.3,4C.1,2D.4,5

2. 已知函数fx=3x,x≤0,lg2x,x>0,则ff12的值是( )
A.−1B.3C.13D.3

3. 函数fx=2x+x的零点所在的区间为( )
A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,2

4. 设a=30.5，b=lg0.53，c=0.53，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

5. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是( )
A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B.若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//n
C.若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β
D.若α⊥β，m⊂α，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β

6. 如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )

A.8cmB.6cmC.2(1+3)cmD.2(1+2)cm

7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.π2+3B.π+3C.3π2+3D.3π+3

8. 已知函数y=lg2ax−1在−2,−1上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(−1,0]B.[−2,−1]C.(−∞,−1]D.(−∞,−1)

9. 函数f(x)=e−|x−1|的图象是( )
A.B.
C.D.

10. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，若f−1=0，则不等式f2x−1>0的解集为( )
A.−6,0∪1,3B.−∞,0∪1,+∞
C.−∞,1∪3,+∞D.−∞,−1∪3,+∞

11. 在直线2x−y−4=0有一点P，使它与两点A(4, −1)，B(3, 4)的距离之差最大，则距离之差的最大值为( )
A.3B.23C.5D.32

12. 定义：若函数y=f(x)的图象上有不同的两点A，B，且A，B两点关于原点对称，则称点对(A, B)是函数y=f(x)的一对“镜像”，点对(A, B)与(B, A)看作同一对“镜像点对”，已知函数f(x)=3x,x<0,x2−2x,x≥0, 则该函数的“镜像点对”有( )对．
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

已知函数f(x) =x+1,x≤0,lnx−1,x>0,若方程f(x)=m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(a三、解答题

求下列各式的值：
(1)12−12+6423+π−40−41−24；

(2)lg927+lne−lg110+71−lg72+lg32⋅lg43.

已知全集为R．函数fx=1x−1的定义域为集合A，集合B=x|x2−x−2≥0.
(1)求A∩B；

(2)若C=x|1−m
已知直线l:3x+4y−7=0.
(1)若直线m与直线l平行，且直线m过点P−2,5，求直线m的方程；

(2)若点C坐标为0,−13，过点C的直线与直线l垂直，垂足为M，求点M的坐标．

2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本500万元，生产x(百辆)，需另投入成本f(x)万元，且f(x)=10x2+200x，0(1)求出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；（利润=销售额−成本）

(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为23，底面半径为2．

1求该圆锥的侧面积；

2设OA，OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值.

已知函数f(x)=ax2−2ax+2(a>0)在区间[−1, 4]上的最大值为10．
1求a的值及f(x)的解析式；

2设g(x) = f(x)x，若不等式g(3x)−t⋅3x≥0在x∈[0, 2]上有解，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A={x|x>e}，B={1,2,3,4,5}，
∴ ∁RA=x|x≤e，
∴ (∁RA)∩B=1,2．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得，f12=lg212=−1，
∴ ff12=f−1=3−1=13．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
解：当x=0时，f0=20+0=1>0当x=−1时，f−1=2−1−1=−12<0,
由于f0⋅f−1<0，且fx的图象在[−1,0）上连续，根据零点存在性定理，
fx在−1,0上必有零点，
故选B．
【解答】
解：当x=0时，f0=20+0=1>0，
当x=−1时，f−1=2−1−1=−12<0.
由于f0⋅f−1<0，且fx的图象在[−1,0)上连续，根据零点存在性定理，
fx在−1,0上必有零点.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
可以得出30.5>1，lg0.53【解答】
解：∵ 30.5>1，
lg0.530<0.53<1，
∴ a>c>b．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】

【解答】
解：在A中，若α//β，m⊆α，n⊆β，则m//n或m与n异面，故A不正确；
在B中，若α//β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理得m//n，故B正确；
在C中，若m⊥α，m//n，可得n⊥α，因为n⊆β，则α⊥β，故C正确：
在D中，若α⊥β，m=α，α∩β=n，m⊥n，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故D正确．
故选A．
6.
【答案】
A
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．
【解答】
解：∵ 正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
∴ O′B′=2cm，
∴ 对应原图形如图所示，且平行四边形的高为22cm，
∴ OA=BC=1cm，
AB=OC=(22)2+12=3(cm)，
∴ 原图形的周长为2×(1+3)=8(cm).
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．
【解答】
解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为12×π×1×2=π，底面积为12π，
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为12×2×3=3，
则该几何体的表面积为：32π+3．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
由已知，ax-1在（-2，-1）上有意义且单调递减，则有a<0,-2a-1>0,-a-1>0,联立解得a<-1.
【解答】
解：因为函数y=lg2ax−1在−2,−1上单调递减，
则a<0，−2a−1≥0，−a−1≥0，
联立解得a≤−1.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的解析式，分析出函数的定义域和最大值，利用排除法，可得答案．
【解答】
解：函数f(x)=e−|x−1|的定义域为R，
故排除C，D，
当x=1时，函数取最大值1，
故排除A.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
其他不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：根据题意，函数fx是定义在R上的偶函数，
则有f(2x−1)=f(−|2x−1|).
又由函数f(x)在−∞,0上单调递减，
则f(2x−1)>0⇔f(−|2x−1|)>f(−1)⇔−|2x−1|<−1⇔|2x−1|>1，
解得：x<0或x>1，
即x的取值范围为−∞,0∪1,+∞.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
判断A，B与直线的位置关系，求出A关于直线的对称点A1的坐标，求出直线A1B的方程，与直线2x−y−4=0联立，求出P的坐标，从而求出距离之差的最大值．
【解答】
解：如图示：
易知A(4, −1)，B(3, 4)在直线l:2x−y−4=0的两侧．
作A关于直线l的对称点A1(0, 1)，
当A1，B，P共线时距离之差最大，
A1B的方程为：y−x−1=0，①
直线2x−y−4=0，②
联立①②解得P点的坐标是(5, 6)，
∴ PA−PB=52−22=32.
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
奇偶函数图象的对称性
函数新定义问题
【解析】
作出函数f(x)的图象，再作出函数y＝x2+2x关于y轴对称的图象，利用数形结合即可求解．
【解答】
解：函数f(x)的图象如图所示：
易知函数的“镜像点对”数即为函数y=3x(x<0)与函数y=−x2−2x(x<0)的图象的交点个数，
由图象可得：函数f(x)的“镜像点对”有2对.
故选B．
二、填空题
【答案】
[−2e2, −2e)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
作出函数f(x)的图象，可得a+b＝−2，【解答】
解：函数f(x)=x+1,x≤0,lnx−1,x>0,的图象如图所示，
方程f(x)＝=m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c，(a由图可得a+b=−2，f(0)=1=f(e2)，lne−1=0
∴ e则(a+b)c=−2c∈[−2e2, −2e).
故答案为：[−2e2, −2e).
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=2+42+1−2−1=18.
(2)原式=32+12+1+72+12×lg32×lg23
=32+12+1+72+12=7．
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数及其运算
【解析】

无
【解答】
解：(1)原式=2+42+1−2−1=18.
(2)原式=32+12+1+72+12×lg32×lg23
=32+12+1+72+12=7．
【答案】
解：(1)∵ 函数fx=1x−1的定义域为集合A，
∴ A=x|x>1，
∵ 集合B=x|x2−x−2≥0={x|x≤−1或x≥2}．
∴ A∩B=x|x≥2．
(2)∵ 全集为R，集合B=x|x2−x−2≥0={x|x≤−1或x≥2}．
∴ ∁RB=x|−1∵ C=x|1−m∴ 当C=⌀时，1−m≥m，解得m≤12．
当C≠⌀时，1−m解得12综上，实数m的取值范围是−∞,2．
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
函数的定义域及其求法
集合的包含关系判断及应用
补集及其运算
【解析】


【解答】
解：(1)∵ 函数fx=1x−1的定义域为集合A，
∴ A=x|x>1，
∵ 集合B=x|x2−x−2≥0={x|x≤−1或x≥2}．
∴ A∩B=x|x≥2．
(2)∵ 全集为R，集合B=x|x2−x−2≥0={x|x≤−1或x≥2}．
∴ ∁RB=x|−1∵ C=x|1−m∴ 当C=⌀时，1−m≥m，解得m≤12．
当C≠⌀时，1−m解得12综上，实数m的取值范围是−∞,2．
【答案】
解：(1)设直线m:3x+4y+a=0a≠−7，
将点P−2,5代入得a=−14，
∴ 直线m:3x+4y−14=0.
(2)设Mx0,y0，
则kCM=y0−−13x0=43，即4x0−3y0−1=0．①
∵ M在直线l上，
∴ 3x0+4y0−7=0，②
联立①②，得x0=1,y0=1,
∴ M1,1.
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
待定系数法求直线方程
直线的点斜式方程
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设直线m:3x+4y+a=0a≠−7，
将点P−2,5代入得a=−14，
∴ 直线m:3x+4y−14=0.
(2)设Mx0,y0，
则kCM=y0−−13x0=43，即4x0−3y0−1=0．①
∵ M在直线l上，
∴ 3x0+4y0−7=0，②
联立①②，得x0=1,y0=1,
∴ M1,1.
【答案】
解：(1)当0L(x)=800x−10x2−200x−500
=−10x2+600x−500；
当x>60时，
L(x)=800x−801x−10000x+9700−500
=9200−(x+10000x).
∴ L(x)=−10x2+600x−500，060.
(2)当0L(x)=−10(x−30)2+8500，
∴ 当x=30时，
L(x)max=L(30)=8500；
当x>60时，
L(x)=9200−(x+10000x)，
当L(x)最大时，x+10000x最小，
即当x=100时，L(x)取得最大值，
∴ L(x)max=L(100)=9000>8500.
∴ 当x=100，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为9000万元.
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当0L(x)=800x−10x2−200x−500
=−10x2+600x−500；
当x>60时，
L(x)=800x−801x−10000x+9700−500
=9200−(x+10000x).
∴ L(x)=−10x2+600x−500，060.
(2)当0L(x)=−10(x−30)2+8500，
∴ 当x=30时，
L(x)max=L(30)=8500；
当x>60时，
L(x)=9200−(x+10000x)，
当L(x)最大时，x+10000x最小，
即当x=100时，L(x)取得最大值，
∴ L(x)max=L(100)=9000>8500.
∴ 当x=100，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为9000万元.
【答案】
解：1由题意知，ℎ=23，r=2，
∴ 圆锥的母线l=ℎ2+r2=4，
∴ 圆锥的侧面积S=12l⋅2πr=12×4×2π×2=8π．
2取OA的中点N，连接MN，PN.
∵ M为AB的中点，
∴ MN // OB，
∴ ∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角.
∵ OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP=O，OA，OP⊂平面POA，
∴ OB⊥平面POA，
∴ MN⊥平面POA，
∴ MN⊥PN.
在Rt△PMN中，PN=ℎ2+(r2)2=13，MN=12OB=1，
∴ tan∠PMN=PNMN=13，
故直线PM与直线OB所成的角的正切值为13．
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
异面直线及其所成的角
【解析】

2取OA的中点N，连接MN，PN，易知∠PMN或其补角即为所求，先证OB⊥平面POA，推出MN⊥平面POA，故MN⊥PN，在Rt△PMN中，由tan∠PMN = PNMN，即可得解．
【解答】
解：1由题意知，ℎ=23，r=2，
∴ 圆锥的母线l=ℎ2+r2=4，
∴ 圆锥的侧面积S=12l⋅2πr=12×4×2π×2=8π．
2取OA的中点N，连接MN，PN.
∵ M为AB的中点，
∴ MN // OB，
∴ ∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角.
∵ OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP=O，OA，OP⊂平面POA，
∴ OB⊥平面POA，
∴ MN⊥平面POA，
∴ MN⊥PN.
在Rt△PMN中，PN=ℎ2+(r2)2=13，MN=12OB=1，
∴ tan∠PMN=PNMN=13，
故直线PM与直线OB所成的角的正切值为13．
【答案】
解：(1)由fx=ax2−2ax+2a>0，知对称轴：x=1，开口向上，
故fx在[−1,1)递减，在 (1,4]递增，
∵ 1−−1<4−1，
故fxmax=f4=16a−8a+2=8a+2=10，
解得：a=1，
故fx=x2−2x+2.
2由1g(x)=x+2x−2，
若不等式g(3x)−t⋅3x≥0在x∈[0, 2]上有解，
则3x+23x−2−t⋅3x≥0在x∈[0, 2]上有解，
即t≤2(13x)2−2(13x)+1=2(13x−12)2+12在x∈[0, 2]上有解，
令13x=u∈[19, 1]，
∵ x∈[0, 2]，
则t≤2(u−12)2+12在u∈[19, 1]上有解，
当u∈[19, 1]时，2(u−12)2+12∈[12, 1]，
于是t≤1，
故实数t的范围是(−∞, 1]．
【考点】
二次函数的性质
【解析】
1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的值，求出函数的解析式即可；
2问题转化为t≤2(13x)2 − 2(13x)+1=2(13x − 12)2 + 12在x∈[0, 2]上有解，令13x = u∈[19, 1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．
【解答】
解：(1)由fx=ax2−2ax+2a>0，知对称轴：x=1，开口向上，
故fx在[−1,1)递减，在 (1,4]递增，
∵ 1−−1<4−1，
故fxmax=f4=16a−8a+2=8a+2=10，
解得：a=1，
故fx=x2−2x+2.
2由1g(x)=x+2x−2，
若不等式g(3x)−t⋅3x≥0在x∈[0, 2]上有解，
则3x+23x−2−t⋅3x≥0在x∈[0, 2]上有解，
即t≤2(13x)2−2(13x)+1=2(13x−12)2+12在x∈[0, 2]上有解，
令13x=u∈[19, 1]，
∵ x∈[0, 2]，
则t≤2(u−12)2+12在u∈[19, 1]上有解，
当u∈[19, 1]时，2(u−12)2+12∈[12, 1]，
于是t≤1，
故实数t的范围是(−∞, 1]．