2021届东北三省四城市联考暨沈阳市数学高三质量监测试卷（二）及答案

这是一份2021届东北三省四城市联考暨沈阳市数学高三质量监测试卷（二）及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三质量监测试卷〔二〕
一、单项选择题
1.复数 ( 为虚数单位)，那么 〔    〕
A.                                          B. 2.                                         C.                                          D. 1



2.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 



3.数列 为等差数列，且 ， ，那么数列 的前5项和是〔    〕
A. 15                                         B. 20                                         C. 25                                         D. 35



4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比方：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线 ： ，一束平行于抛物线对称轴的光线经过 ，被抛物线反射后，又射到抛物线 上的 点，那么 点的坐标为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 



5.假设 ，那么 〔    〕
A.                                          B. -3                                         C.                                          D. 3



6.某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有〔    〕种．
A. 5040                                     B. 1260                                     C. 210                                     D. 630



7.向量 ， 满足 ， ， ，那么 〔   〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
 
 


8.点 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足 ， ，那么双曲线 的离心率的取值范围为〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 



二、多项选择题
9.以下关于概率与统计的说法中，正确的为〔    〕
A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.该校高一､高二､高三年级学生之比为 ，那么应从高二年级中抽取20名学生


B. 10件产品中有7件正品，3件次品，假设从这10件产品中任取2件，那么恰好取到1件次品的概率为


C. 假设随机变量 服从正态分布 ， ，那么


D. 设某学校女生体重 (单位： )与身高 (单位： )具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，假设该学校某女生身高为 ，那么可断定其体重必为



10.以下有关三角函数 的说法正确的为〔    〕
A. ，                            B. ，使得


C. 在定义域内有偶数个零点                            D. ，



11.如图，直三棱柱 中，所有棱长均为1，点 为棱 上任意一点，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 直线 与直线 所成角的范围是


B. 在棱 上存在一点 ，使 平面


C. 假设 为棱 的中点，那么平面 截三棱柱 所得截面面积为


D. 假设 为棱 上的动点，那么三棱锥 体积的最大值为



12.假设实数 ，那么以下不等式中一定成立的是〔    〕
A.                           B. 


C.                                               D. 



三、填空题
13.假设 的展开式中， 的系数为15，那么 ________.
14.假设“ ，使得 成立〞是假命题，那么实数 的取值范围为________.
15.过圆 ： 外一点 引直线 与圆 相交于 ， 两点，当 的面积取最大值时，直线 的斜率等于 ，那么 的值为________.
16.函数 ， ，假设关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围是________.
四、解答题
17.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，假设 ， .
〔1〕求 ；
〔2〕假设  ▲  ， 求 的面积 的大小.(在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在横线上)
18.数列 的前 项和为 ，且满足 .
〔1〕求证：数列 是等比数列；
〔2〕记 ，求证：数列 的前 项和 .
19.如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为4的等边三角形，且平面 平面 ，点 为线段 中点，点 为 上的动点.

〔1〕假设平面 平面 ，求线段 的长；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.〞某农户方案于2021年初开始种植某新型农作物.该农作物每年每亩的种植本钱为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
该农作物亩产量( )
900
1200
概率


该农作物市场价格(元/ )
30
40
概率


〔1〕设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 元，求 的分布列；
〔2〕假设该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件根本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.
21.点 为椭圆 ： 的右焦点， ， 分别为椭圆的左､右顶点，椭圆上异于 ， 的任意一点 与 ， 两点连线的斜率之积为 .
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕过点 的两条弦 ， 相互垂直，假设 ， ，求证：直线 过定点.
22.函数 ， .
〔1〕证明： 有且仅有一个零点；
〔2〕当 时，试判断函数 是否有最小值？假设有，设最小值为 ，求 的值域；假设没有，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数模的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
故答案为：D.

【分析】根据题意由交集的定义即可求出答案。
3.【解析】【解答】数列 的前5项和为
故答案为：C

【分析】根据题意由等差数列的前n项公式公式代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】设从点 沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点 ，易知 ，将 代入抛物线方程得 ，即 ，
设焦点为 ，那么 ，设 ，由 ， ， 三点共线，
有 ，化简得 ，
解得 或 (舍)，即 .
故答案为：D

【分析】根据题意求出入射光线与抛物线的交点再把，再根据抛物线的光学性质结合斜率相等的公式即可求出点Q的坐标。
5.【解析】【解答】由诱导公式化简整理得： ，
由于 ，
所以
故答案为：A

【分析】根据题意由诱导公式整理化简再由二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的根本关系式计算出结果即可。
6.【解析】【解答】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有 种．
故答案为：D.

【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理解条件计算出答案即可。
7.【解析】【解答】解：根据题意， ，
那么 ，
可得 ，结合
 可得 ，
那么 ，
故答案为：A.

【分析】首先由向量模的定义计算出， 再由数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
8.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，故 为直角三角形，且 ，∴ .
由双曲线定义可得 .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ .
又 ，整理得 .
所以 .所以 ，
又 ，所以 ，所以双曲线 的离心率的取值范围为 .
故答案为：B

【分析】首先由题意结合勾股定理结合双曲线的定义整理即可得到， 即得到， 结合离心率公式由整体思想即可得出e的取值范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A：应从高二年级中抽取学生人数为 ，故正确.
B：恰好取到1件次品的概率 ，故正确.
C：因为 ，所以 .故错误.
D：不能断定其体重必为H .故错误.
故答案为：AB

【分析】由分层抽样的定义即可判断出选项A正确，利用古典概率的公式代入数值计算出结果即可判断出选项B正确，由超几何分布计算出结果即可判断出选项C错误，由线性回归方程的几何意义即可判断出选项D错误，由此即可得出答案。
10.【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意.
对于B，因为 ，
所以 ，使得 ，B符合题意.
对于C，因为 ，所以 为奇函数，因为 在定义域内，所以 ，故 有奇数个零点，C不符合题意.
对于D， ，D符合题意.
故答案为：BD

【分析】由函数周期的定义即可判断出选项A错误，根据诱导公式即可判断出选项B正确，化简即可判断出函数的单调性由此即可判断出选项C错误，结合两角和的正弦公式整理即可得出结果由此判断出选项D正确，从而得到答案。
11.【解析】【解答】对于A，由直三棱柱 ， ， 为直线 与直线 所成角，
当 与 重合时，直线 与直线 所成角为0，当 与 重合时，直线 与直线 所成角为 ，所以直线 与直线 所成角的范围是 ，A符合题意；

对于B，假设 平面 ，又 平面 ， ，设 中点为 ，
那么 ，那么 平面 ，所以 在平面 上的射影为 ，
由三垂线定理得 ，又因为 为正方形，所以点 为 中点，与点 为棱 上一点矛盾，B不符合题意.
对于C，取 中点 ，连结 ， ，那么平面 截三棱柱 所得截面为等腰梯形 ， ， ，
在直角 中， ，所以梯形的高为 ，梯形的面积为 ，C符合题意.
对于D，因为 ，且 ，
所以当 与 重合时，三棱锥 的体积最大，取 中点 ，
那么 平面 ，得 ，D不符合题意.
故答案为：AC

【分析】由异面直线的球阀即可判断出选项A正确，利用反证法结合线面垂直的判断以及性质定理即可判断出选项B错误，利用线线平行的性质即可得到平面ABE截三棱柱所得为等腰梯形，结合面积公式计算出结果由此判断出选项C正确，利用等体积法即可求出体积的最大值由此即可判断出选项D错误，从而得到答案。
12.【解析】【解答】对A，令 ，那么 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，A符合题意；
对B，由A知，函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，B符合题意：
对C选项，当 时， ，C不符合题意：
对D，

因为 ，所以 ， ， ，

，
所以 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】根据题意构造函数f(x)对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合单调性的性质即可得出即可得出由此判断出选项A正确，由即可判断出选项B正确，当t=2时作差比较即可判断出选项C错误，利用换底公式变形整理结合根本不等式的性质即可判断出符号，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，且 的系数为15，
所以 ，即 ，
解得 (舍)或 .
故答案为：6

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合题意即可得到求出n的值即可。
14.【解析】【解答】假设“ ，使得 成立〞是假命题，那么“ ，使得 成立〞是真命题，别离 ，进而 .
【分析】首先由假命题的定义结合条件即可得出 ，使得 成立〞是假命题，结合对勾函数的图象和性质即可求出函数的最值，由此得到实数 的取值范围即可。
15.【解析】【解答】 ，当 时，
的面积最大，此时圆心 到直线 的距离 ，
设直线 方程为 ， ，那么 ，
所以 ，再将 代入，求得 .
故答案为：

【分析】根据题意由三角形的面积公式即可得出当 时，面积最大结合点到直线的距离公式得到即， 计算出r的值即可。
16.【解析】【解答】令 ，那么 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
又 ，那么 ，
当 时，假设直线 与 相切时，设切点为 ，那么 ，解得 ，
又 ，所以 ，
解得此时纵截距为 ，
故当纵截距 时，可以使 恒成立，即 ；
当 时，假设直线 与 相切时，设切点为 ，那么 ，解得 ，
又 ，所以 ，
解得此时纵截距为 ，
故当纵截距 时，可以使 恒成立，即 ；
由对 ，都有 ，需ln2-1≤a≤3.
故答案为：ln2-1≤a≤3.

【分析】 令分别求出直线与相切，假设直线 与 相切时得到对应的a的值，求出a的取值范围即可.
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理得到再由余弦定理即可得出
， 从而求出结合角的取值范围即可求出角A的值。
(2) 假设选① 结合二倍角的余弦公式整理得到， 由角的取值范围即可求出角B的大小，再由正弦定理代入数值计算出a的值，并代入大到三角形的面积公式计算出结果即可。 假设选② 首先由余弦定理整理即可求出c的值，再把结果代入到三角形的面积公式计算出答案即可。
 
18.【解析】【分析】(1)首先由数列的前n项和公式以及数列项之间的关系整理得到数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列。
(2)由(1)的结论即可整理得到数列的通项公式，结合列项消除法整理即可得出数列的前n项和。
19.【解析】【分析】(1)法一：根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CEF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CEF的法向量的坐标，同理即可求出平面ABC的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可得出， 由此得到 平面 平面 。法二：由线面垂直以及面面关系的性质即可得出线面垂直，由此计算出结果。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PBC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PBC的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再由同角三角函数的根本关系式计算出结果，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值即可。
20.【解析】【分析】(1)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列即可。
(2)根据题意由条件代入数值计算出计算出P〔C〕的值，再结合代入数值计算出结果即可。
21.【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，再条件把点的坐标代入点的关于a与b的方程组结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系，计算出a与b的值由此点的椭圆的方程即可。
(2)结合题意即可得出直线斜率存在的情况，再由斜率存在的情况由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，由此点的T坐标同理得出点S的坐标，从而点的直线的方程以及 直线 过定点的坐标，当也成立由此得出答案。
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意讨论f′〔x〕的符号，得出f〔x〕的单调性，根据单调性和零点的存在性定理得出结论；
〔2〕结合条件设f〔x〕的零点为x0，求出x0的范围，用x0表示出h〔a〕，根据x0的范围求出h〔a〕的范围．