东北三省四城市联考2021届高三高考数学质量监测试卷（沈阳二模） Word版含解析

这是一份东北三省四城市联考2021届高三高考数学质量监测试卷（沈阳二模） Word版含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数z＝（1﹣2i）•i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．2C．D．1
2．已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，2，4}
3．已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，a5＝9，则数列{an}的前5项和是（ ）
A．15B．20C．25D．35
4．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年﹣325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：y2＝x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（ ）
A．（，﹣）B．（，﹣）C．（，﹣）D．（，﹣）
5．若tan，则＝（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
6．某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排1人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）
A．5040种B．1260种C．210种D．630种
7．已知向量，满足||＝1，||＝2，＝（），则|2|＝（ ）
A．B．C．2D．2
8．已知点F1、F2分别是双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥5，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．（1，]B．（1，]C．（1，]D．（1，]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生
B．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ＜4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.42
D．设某学校女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，若该学校某姓身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
10．以下有关三角函数f（x）＝sinx•cs2x的说法正确的为（ ）
A．∀x∈R，f（﹣x）﹣f（x）＝0
B．∃T≠0，使得f（x+T）＝f（x）
C．f（x）在定义域内有偶数个零点
D．∀x∈R，f（π﹣x）﹣f（x）＝0
11．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所在棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AA1与直线BE所成角的范围是[0，]
B．在棱B1C1上存在一点E，使AB1⊥平面A1BE
C．若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积为
D．若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥F﹣ABE体积的最大值为
12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）
B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1
C．1+＞lgt（t+1）
D．lg（t+1）（t+2）＞lg（t+2）（t+3）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（x+1）n的展开式中，x2的系数为15，则n＝ ．
14．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 ．
15．过圆O：x2+y2＝r2（r＞0）外一点（2，0）引直线l与圆O相交于A，B两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于，则r的值为 ．
16．已知函数f（x）＝ex+2e﹣x，g（x）＝x﹣a，若关于x的不等式f（x）﹣1≥|g（x）+1|在R上恒成立，求实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．若4S＝b2+c2﹣a2，b＝．
（1）求A；
（2）若______，求△ABC的面积S的大小．
（在①2cs2B+cs2B＝0，②bcsA+acsB＝+1．这两个条件中任选一个，补充在横线上）
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＝Sn+n（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）记cn＝，求证：数列{cn}的前n项和Tn＜．
19．如图，三棱锥P﹣ABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点．
（1）若平面CEF⊥平面ABC，求线段AF的长；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点．”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调在发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率．
21．已知点F（，0）为椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A、B的任意一点P与A、B两点连线的斜率之积为﹣．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的两条弦PQ，MN相互垂直，若，，求证：直线ST过定点．
22．已知函数f（x）＝xlnx+a，a＜0．
（1）证明：f（x）有且仅有一个零点；
（2）当a∈（﹣2e2，0）时，试判断函数g（x）＝x2lnx﹣+ax是否有最小值？若有，设最小值为h（a），求h（a）的值域；若没有，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知复数z＝（1﹣2i）•i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．2C．D．1
【解答】解法1：.；
解法2：．
故选：A．
2．已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，2，4}
解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，4，16}，
∴A∩B＝{1，2，4}．
故选：D．
3．已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，a5＝9，则数列{an}的前5项和是（ ）
A．15B．20C．25D．35
解：数列{an}为等差数列，且a1＝1，a5＝9，
∴数列{an}的前5项和是：
＝＝25．
故选：C．
4．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年﹣325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：y2＝x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（ ）
A．（，﹣）B．（，﹣）C．（，﹣）D．（，﹣）
解：设光线被抛物线反射的反射点为B，则AB∥x轴，
把y＝2代入y2＝x，得x＝4，∴B（4，2），
设抛物线y2＝x的焦点为F，则F（，0），
∴直线BF的方程为y＝（x﹣），即y＝（x﹣），
又y2＝x，
解得x＝4，y＝2或x＝，y＝，
∴Q （，）．
故选：D．
5．若tan，则＝（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
解：＝＝＝﹣tan＝﹣，
故选：A．
6．某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排1人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）
A．5040种B．1260种C．210种D．630种
解：7天分成2天，2天，3天3组，3人各选1组值班，共有＝630种．
故选：D．
7．已知向量，满足||＝1，||＝2，＝（），则|2|＝（ ）
A．B．C．2D．2
解：由已知得：＝；
∴；
∴；
∴．
故选：C．
8．已知点F1、F2分别是双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥5，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．（1，]B．（1，]C．（1，]D．（1，]
解：如图：
由|F1F2|＝2|OP|，可知PF1⊥PF2，
设PF2＝m，则PF1＝m+2，
∴在△PF1F2中，tan∠PF2F≥5，
∴，
∵4c2＝m2+（m+2）2，
∴c，
∴，
∴，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生
B．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ＜4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.42
D．设某学校女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，若该学校某姓身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
解：对于A：已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则设高一，高二，高三的人数为6x，5x，4x，
所以6x+5x+4x＝60，解得x＝4，
高二中抽取的人数为20，故A正确；
对于B：10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为P＝，故B正确；
对于C：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ＜4）＝1﹣P（ξ≥4）＝0.21，故P（ξ≤﹣2）＝0.21．故C错误；
对于D：回归方程为＝0.85x﹣85.71，若该学校某姓身高为170cm，则，故D错误．
故选：AB．
10．以下有关三角函数f（x）＝sinx•cs2x的说法正确的为（ ）
A．∀x∈R，f（﹣x）﹣f（x）＝0
B．∃T≠0，使得f（x+T）＝f（x）
C．f（x）在定义域内有偶数个零点
D．∀x∈R，f（π﹣x）﹣f（x）＝0
解：函数f（x）＝sinx•cs2x，满足f（﹣x）＝sin（﹣x）•cs（﹣2x）＝﹣sinx•cs2x＝﹣f（x），
所以函数为奇函数，故f（﹣x）+f（x）＝0，故A错误；
对于B：由于函数f（x）＝sinx•cs2x，函数y＝sinx的最小正周期为2π，
函数y＝cs2x的最小正周期为π，所以函数f（x）的最小正周期为2π，
故∃T≠0，使得f（x+2π）＝f（x），故B正确；
对于C：由于函数为奇函数，在原点处有定义，
故函数零点的个数为奇数个，故C错误；
对于D：函数f（π﹣x）＝﹣sinx•cs2x，故f（π﹣x）﹣f（x）＝0，故D正确．
故选：BD．
11．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所在棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AA1与直线BE所成角的范围是[0，]
B．在棱B1C1上存在一点E，使AB1⊥平面A1BE
C．若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积为
D．若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥F﹣ABE体积的最大值为
解：∵AA1∥BB1，∴直线AA1与直线BE所成角的范围可转化为直线AA1与直线BB1所成角的范围，又∵点E为棱B1C1上任意一点且△BB1C1是等腰直角三角形，∴直线AA1与直线BE所成角的范围是[0，]，∴A对；
作EO∥CC1交BC于点O，连接AO．可知四边形A1AOE是平行四边形，∴A1E∥AO．假设AB1⊥平面A1BE成立，则AB1⊥AO．∴△AOB1中B1O对的角是直角最大，∴B1O＞AB这与B1O＜CB1＝AB1矛盾，∴假设不成立，∴B错；
作EG∥AB交A1C1于点G，连接GA，得截面四边形ABEG是等腰梯形，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所在棱长均为1且若E为棱B1C1的中点，∴得AG＝BE＝，GE＝，AB＝1，∴梯形高h＝，∴梯形面积即截面积为：（1+）×＝，∴C对；
三棱锥F﹣ABE体积可转化为求三棱锥E﹣ABF的体积，由图可知点E到棱A1B1的距离即为点E到底面ABF的距离．∵点E为棱B1C1上任意一点，∴点E到棱A1B1的距离的最大值是点C1到A1B1的距离，底面△ABF的面积是定值×1×1＝，∴三棱锥F﹣ABE体积的最大值为××＝，∴D错．
故选：AC．
12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）
B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1
C．1+＞lgt（t+1）
D．lg（t+1）（t+2）＞lg（t+2）（t+3）
解：令f（x）＝，则，
易得，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，
因为t≥2，t+3＞t+3＞e，
所以＜，
所以（t+2）ln（t+3）＜（t+3）ln（t+2）
同理，
所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），
所以（t+1）t+2＞（t+2）t+1，B正确；
所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），A正确；
令g（x）＝，x≥2，
则g′（x）＝＜0，
故g（x）在[2，+∞）上单调递减，g（t+1）＞g（t+2），
所以＞，
故lgt+1（t+2）＞lgt+2（t+3），D正确；
对于C，1+＞lgt（t+1）⇔⇔，结合选项A的讨论，t与e的大小不确定，故D错误．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（x+1）n的展开式中，x2的系数为15，则n＝ 6 ．
解：∵（x+1）n的展开式中，x2的系数为＝15，∴n＝6，
故答案为：6．
14．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 （﹣∞，2] ．
解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，
由x∈[，2]，当x＝时，函数y＝2x+≥2＝2，
取最小值2；
所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
15．过圆O：x2+y2＝r2（r＞0）外一点（2，0）引直线l与圆O相交于A，B两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于，则r的值为 ．
解：，
当∠AOB＝90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d＝，
设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），，
则d＝，∴，将代入，解得r＝．
故答案为：．
16．已知函数f（x）＝ex+2e﹣x，g（x）＝x﹣a，若关于x的不等式f（x）﹣1≥|g（x）+1|在R上恒成立，求实数a的取值范围是 [ln2﹣1，3] ．
解：令h（x）＝f（x）﹣1，则h′（x）＝ex﹣2e﹣x＝，
令h′（x）＝0，解得：x＝ln，
当x∈（﹣∞，ln）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（ln，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当直线y＝x﹣a+1与y＝h（x）相切时，设切点为（x1，x1﹣a+1），
则h′（x1）＝﹣2＝1，解得：x1＝ln2，
又h（x1）＝+2﹣1＝x1﹣a+1，故eln2+2e﹣ln2﹣1＝ln2﹣a+1，
化简得：a＝ln2﹣1，
当直线y＝﹣x+a﹣1与y＝h（x）相切时，设切点为（x2，﹣x2+a﹣1），
则h′（x2）＝﹣2＝﹣1，解得：x2＝0，
又h（x2）＝+2﹣1＝﹣x2+a﹣1，
故e0+2e0﹣1＝0+a﹣1，解得：a＝3，
若f（x）﹣1≥|g（x）+1|在R上恒成立，
则ln2﹣1≤a≤3，故a的取值范围是[ln2﹣1，3]，
故答案为：[ln2﹣1，3]．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．若4S＝b2+c2﹣a2，b＝．
（1）求A；
（2）若______，求△ABC的面积S的大小．
（在①2cs2B+cs2B＝0，②bcsA+acsB＝+1．这两个条件中任选一个，补充在横线上）
解：（1）∵4S＝b2+c2﹣a2，b＝，
∴4××csinA＝2×ccsA，
∴sinA＝csA，可得tanA＝1，
∴由A为锐角，可得A＝．
（2）若选①：2cs2B+cs2B＝2cs2B+2cs2B﹣1＝0，可得4cs2B＝1，
因为B为锐角，可得csB＝，可得B＝，
由正弦定理，可得＝，解得a＝2，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，可得6＝4+c2﹣2c，解方程可得c＝1+，（负值舍去），
所以S△ABC＝acsinB＝×＝．
若选②，bcsA+acsB＝+1，
又b＝，A＝，可得×+acsB＝+1，解得acsB＝1，①
又由正弦定理＝，可得asinB＝，②
由①②可得tanB＝，结合B为锐角，可得B＝，
由正弦定理，可得＝，解得a＝2，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，可得6＝4+c2﹣2c，解方程可得c＝1+，（负值舍去），
所以S△ABC＝acsinB＝×＝．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＝Sn+n（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）记cn＝，求证：数列{cn}的前n项和Tn＜．
【解答】证明：（1）当n＝1时，2a1＝S1+1＝a1+1，解得a1＝1，
当n≥2时，2an﹣1＝Sn﹣1+n﹣1，又2an＝Sn+n，
两式相减可得2an﹣2an﹣1＝Sn﹣Sn﹣1+n﹣n+1＝an+1，
即有an＝2an﹣1+1，
可得an+1＝2（an﹣1+1），
所以数列{an+1}是首项和公比均为2的等比数列；
（2）由（1）可得an+1＝2n，an+2+1＝2n+2，
则cn＝＝
＝＝（﹣），
Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）
＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜．
19．如图，三棱锥P﹣ABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点．
（1）若平面CEF⊥平面ABC，求线段AF的长；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
解：（1）取AB的中点O，连接OP，OC，
∵△ABC和△PAB都是等边三角形，∴OC⊥AB，OP⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，OP⊂平面PAB，
∴OP⊥平面ABC，
故以O为原点，OA，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AF＝t，则F（2﹣t，0，0），C（0，2，0），E（1，0，），B（﹣2，0，0），P（0，0，2），
∴＝（2﹣t，﹣2，0），＝（1，﹣2，），
设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝，则y＝，z＝1﹣t，∴＝（，，1﹣t），
∵OP⊥平面ABC，∴平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
∵平面CEF⊥平面ABC，
∴•＝0，即1﹣t＝0，
∴t＝1，
故线段AF的长为1．
（2）由（1）知，＝（1，﹣2，），＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，2，0），
设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），则，即，
令a＝，则b＝﹣1，c＝﹣1，∴＝（，﹣1，﹣1），
设直线CE与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝||＝||＝，
故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．
20．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点．”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调在发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率．
解：（1）由题意知：
900×30﹣2000＝25000，1200×30﹣2000＝34000，
900×40﹣2000＝34000，1200×40﹣2000＝46000，
∴X的所有可能取值为：25000，34000，46000，
设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则P（A）＝0.5，
B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则P（B）＝0.4，
则P（X＝25000）＝P（AB）＝0.5×0.4＝0.2，
P（X＝34000）＝P（）＝+P（A）＝（1﹣0.5）×0.4+0.5×（1﹣0.4）＝0.5，
P（X＝46000）＝P（）＝（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.3，
∴X的分布列为：
（2）设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于3000元”，
则P（C）＝P（X≥30000）＝P（X＝34000）+P（X＝46000）＝0.5+0.3＝0.8，
设这三年中有Y年有纯收入不少于30000元，
则有Y～B（3，0.8），
∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为：
P（Y≥2）＝P（Y＝2）+P（X＝3）
＝＝0.896．
21．已知点F（，0）为椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A、B的任意一点P与A、B两点连线的斜率之积为﹣．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的两条弦PQ，MN相互垂直，若，，求证：直线ST过定点．
解：（1）由已知可得c＝，A（﹣a，0），B（a，0），
设点P的坐标为（m，n），则，解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：因为，
所以S，T分别是PQ，MN的中点，当两条弦所在直线的斜率存在且不为0时，
设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），则直线MN的方程为y＝﹣（x﹣1），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
联立方程，整理可得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，
所以x，则y，
所以PQ的中点T的坐标为（），
同理可得，MN的中点S的坐标为（），
当，即k2≠1时，所以k，
所以直线ST的方程为y+，
即y＝﹣，所以直线ST过定点（），
当k2＝1时，直线ST的方程为x＝，也过点（，0），
当两条弦的斜率分别为0和不存在时，直线ST的方程为y＝0，也过点（，0），
综上，直线ST过定点（，0）．
22．已知函数f（x）＝xlnx+a，a＜0．
（1）证明：f（x）有且仅有一个零点；
（2）当a∈（﹣2e2，0）时，试判断函数g（x）＝x2lnx﹣+ax是否有最小值？若有，设最小值为h（a），求h（a）的值域；若没有，请说明理由．
【解答】（1）证明：因为a＜0，
所以x∈（0，1）时，f（x）＝xlnx+a＜0，函数f（x）无零点；
又因为f′（x）＝1+lnx，
所以x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（1）＝a＜0，e﹣a＞1，f（e﹣a）＝﹣ae﹣a+a＝a（1﹣e﹣a）＞0，
即f（1）f（e﹣a）＜0，
故存在唯一x0∈（1，e﹣a），使f（x）＝0，
综上可知，函数f（x）有且仅有一个零点．
（2）解：g′（x）＝xlnx+a，
x∈（0，1]，g′（x）＝f（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＝f（x）单调递增，
又g′（1）＝a＜0，g′（e2）＝2e2+a＞0，
故存在唯一x1∈（1，e2），使g（x1）＝0，即x1lnx1+a＝0，
x∈（0，x1），g′（x）＜0，g（x）单调递减；
x∈（x1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因此g（x）＝x2lnx﹣+ax有最小值，
h（a）＝g（x）min＝g（x1）＝x12lnx1﹣x12+（﹣x1lnx1）x1＝﹣x12lnx1﹣x12，
令φ（x）＝﹣x2lnx﹣x2，x∈（1，e2），φ′（x）＝﹣xlnx﹣x＜0，
故φ（x）单调递减，
进而φ（x）∈（φ（e2），φ（1））＝（﹣，﹣），
即h（a）的值域为（﹣，﹣）．
该农作物亩产量（kg）
900
1200
概率
0.5
0.5
该农作物市场价格（元/kg）
30
40
概率
0.4
0.6
该农作物亩产量（kg）
900
1200
概率
0.5
0.5
该农作物市场价格（元/kg）
30
40
概率
0.4
0.6
X
25000
34000
46000
P
0.2
0.5
0.3