辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考 数学（含答案） 试卷
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数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
4．若，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（分制）的频数分布表如下：
得分 | ||||||||
频数 | 3 |
设得分的中位数，众数，平均数，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．设全集，集合，集合，则（ ）
A．A∩B=(0,1) B．
C．A∩B=(0,+∞) D． A∪B=R
10．已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为
C．为奇函数 D．在上只有一个零点
11．下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B.若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D.设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
12．定义：若函数在区间上的值域为，则称是函数的“完美区间”．另外，定义的“复区间长度”为，已知函数．则（ ）
A．[0，1]是的一个“完美区间” B．是的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量服从正态分布，若，则______．
14． 的展开式中的系数为__________.
15．若是函数的极值点，则的极小值为 ．
16．已知函数①若，则不等式的解集为__________；
②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.
（本题第一个空分，第二个空分）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
18．（本题12分）设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
19．（本题12分）“新高考方案：”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门。某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．
①求随机变量的概率； ②求X的概率分布表以及数学期望．
20.已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．
21. 某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：
质量指标值M | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”， 试估计事件A的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的
估计值（精确到0．01）．
22．已知函数：
（I）当时，求的最小值；
（II）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8: A B C C D B D B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9：AB； 10：BD ； 11：BD； 12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 0.4 14. －280
15. ； 16. ①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解： (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)
⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.
＝＝－.。。。。5分
(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－.
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.。。。。。。。10分
18.解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；。。。。。。。4分
（2），令，所以，
设在上有最小值，所以，m<0；。。。。8分
（3），所以，所以，
因为，，所以．
（1）即m≥0，解集为R；
（2）即，解集为．…….12分.
19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件A，
；
答：该校最终选地理的学生为；.。。。。。。。6分
（2）
①
②， ，
，，
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
．答：数学期望为．。。。。12分
20.解：（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．
所以函数的最小正周期为，
令（k∈Z），整理得（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．。。。。6分
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，
得到函数g（x）＝2cos（2x）+1
的图象，
由于x∈，所以，故，
所以0≤g（x）≤3，故函数值域为[0，3]．。。。。。12分
21.解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，
且由频率分布直方图估计，，
又，
所以事件的概率估计为．。。。。。。。6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为，，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为元．
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
质量指标值的频率为，
质量指标值的频率为，
故质量指标值M的中位数估计值为．。。。。。12分
22.解：（I）
(1)时，递增，,
(2) 时，递减，，
(3) 时，时递减，时递增，
所以
综上，当；
当
当。。。。。。。。。。。6分
（II）因为对于任意的都存在唯一的使得成立,
所以的值域是的值域的子集.
因为
递增，的值域为
（i）当时，在上单调递增，
又，
所以在[1,e]上的值域为,
所以
即，
（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，
所以只需
即，所以
（iii）当时，因为在上单调递减，且，
所以不合题意.
综合以上，实数的取值范围是.。。。。。12
