2021届上海市青浦区高三数学三模试卷及答案

 高三数学三模试卷

一、填空题

1.集合 ，那么 ________.   

2.复数 满足 为虚数单位 ，那么 的模为________.   

3.________.   

4.向量 满足 ，那么 ________.   

5.函数 ________.   

6.假设等差数列 的前n项和为 ， ， ，那么数列 的通项公式为________．   

7.直线l的参数方程是 〔t为参数〕，那么它的普通方程是________．   

8.被 除7后的余数为________   

9.定义在 上的增函数 满足 ，假设实数 满足不等式 ，那么 的最小值是________．   

〔含小吴〕去3个不同小区〔含M小区〕做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M小区，但是小吴不去M小区，那么不同的安排方法数为________.   

11.假设正实数 满足 ，那么 的最小值为________.   

12.如图， 平面 为 中点， ， ，点 为平面 内动点，且 到直线 的距离为 ，那么 的最大值为________. 

二、单项选择题

13.有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的〔    〕           

A. 平均数                                  B. 众数                                  C. 中位数                                  D. 方差

14.直线 平行于平面 ，平面 垂直于平面 ，那么以下关于直线 与平面 的位置关系的表述，正确的选项是〔    〕           

A. 与 不平行
B. 与 不相交
C. 不在平面 上
D. 在 上，与 平行，与 相交都有可能

15.假设数列 满足：对任意 ，只有有限个正整数 ，使得 成立，记这样的 的个数为 ，那么得到一悠闲的数列 ，例如，假设数列 是1，2，3，…， ，…，那么得数列 是0，1，2，…， ，…，对任意的 ， ，那么 〔    〕           

A.                                   B. 2021                                  C.                                   D. 2021

16.在平面上， ⊥ ，| |=| |=1， = + ．假设| |＜ ，那么| |的取值范围是〔   〕

A. 〔0， ]                 B. 〔 ， ]                 C. 〔 ， ]                 D. 〔 ， ]

三、解答题

17.如图，设长方体 中， ，直线 与平面ABCD所成角为 ．

〔1〕求三棱锥 的体积；   

〔2〕求异面直线 与 所成角的大小．   

18.函数 .   

〔1〕设 是 图象上的两点，直线 斜率 存在，求证： ；   

〔2〕求函数 在区间 上的最大值.   

19.某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度 (单位：摄氏度)与时间t(单位：小时) 近似地满足函数关系 ，其中 为大棚内一天中保温时段的通风量.   

〔1〕当 时，假设一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到 )；   

〔2〕假设要保持一天中保温时段的最低温度不小于 ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.   

20.如图，椭圆 ： ，左顶点为 ，经过点 ，过点A作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 .

〔1〕求椭圆C的方程；   

〔2〕P为AD的中点， ，证明：对于任意的 都有 恒成立；   

〔3〕假设过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 的最小值.   

21.有穷数列 ， ， ， ， ．假设数列 中各项都是集合 的元素，那么称该数列为 数列．对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从 中任取两项 ， ，将 的值添在 的最后，然后删除 ， ，这样得到一个 项的新数列 〔约定：一个数也视作数列〕．假设 还是 数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记作 ， ，如此经过 次操作后得到的新数列记作 ．   

〔1〕设 ， ， 请写出 的所有可能的结果；   

〔2〕求证：对于一个 项的 数列 操作 总可以进行 次；   

〔3〕设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 求 的可能结果，并说明理由．   

答案解析局部

一、填空题

1.【解析】【解答】由题设， ，

∴ .

故答案为： .

 
【分析】根据题意由补集的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】因为 ，所以 ，得 ，

故答案为： .

 
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。

3.【解析】【解答】 ，

故答案为：1.

 
【分析】根据题意由极限的运算性质计算出结果即可。

4.【解析】【解答】由题设，结合向量数量积的运算律知： ，

，

∴两式相减可得： .

故答案为：2.

 
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量模的求法计算出结果即可。

5.【解析】【解答】由题设知： ，

∴ .

故答案为：-3.

 
【分析】根据题意由反函数的求法得出， 代入数值计算出结果即可。

6.【解析】【解答】因为 ， ，设公差为 ，

所以 ， ，

解得 ，

故答案为

 
【分析】首先由等差数列的通项公式整理得到首项和公差的值，由此得到数列的通项公式即可。

7.【解析】【解答】解：直线l的参数方程是 〔t为参数〕，  可得 ，
可得3x﹣4y+5=0．
故答案为：3x﹣4y+5=0．
【分析】利用参数方程与普通方程的互化，消去参数求解即可．

8.【解析】【解答】

因为49是7的倍数，所以 除7后的余数为0.

故答案为：0

 
【分析】根据题意由二项式的展开式整理，再结合整除的定义即可得出答案。

9.【解析】【解答】由 得：

等价于

为 上的增函数    ，即

那么可知可行域如以以下图所示：

那么 的几何意义为原点 与可行域中的点的距离的平方

可知 到直线 的距离的平方为所求的最小值

故答案为：8

 
【分析】 根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可.

10.【解析】【解答】首先人数分配可以是“3+1+1〞和“2+2+1〞两种情况，至少安排2个党员去M小区，故M小区安排3人或2人，小吴不去M小区，故：

假设M小区安排3人，除小吴外还有4人，按照“3+1+1〞分配，那么有 种；

假设M小区安排2人，除小吴外还有4人，按照“2+2+1〞分配，那么有 种.

故不同的方法数为 种.

故答案为：44.

 
【分析】首先人数分配可以是“3+1+1〞和“2+2+1〞两种情况，至少安排2个党员去M小区，故M小区安排3人或2人，小吴不去M小区，将两种情况对应的根本领件数分别计算出来求和即可。

11.【解析】【解答】由题设知： ，即 ，又 且 ，

∴ ，

当且仅当 时等号成立.

故答案为：15.

 
【分析】首先根据题意整理化简再由根本不等式求出最小值即可。

12.【解析】【解答】由题设， 平面 为 中点， ， ，点 为平面 内动点，且 到直线 的距离为 ，

∴ 是以 为轴，以 为半径的圆为底面的圆柱与平面 相交的椭圆轨迹上，即以 为中心 为焦点， 为短轴长， 为长轴长的椭圆上，如以以下图示，

∴由椭圆的性质知：当且仅当 ，即 在椭圆短轴的端点上时， 最大有 .

故答案为： .

 
【分析】 由题意结合点到直线的距离公式计算出点P到直线的距离为的P的轨迹是圆柱，由此得到平面α的图形是椭圆，然后求出∠APB的最大值即可.

二、单项选择题

13.【解析】【解答】由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，那么成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.

故答案为：C.

 
【分析】根据题意由中位数公式代入数值计算出结果即可。

14.【解析】【解答】如以以下图所示：

在正方体 中，平面 平面 ，

平面 ， 平面 ；

平面 ， 与平面 相交；

平面 ， 平面 .

所以，直线 平行于平面 ，平面 垂直于平面 ，

那么直线 与平面 相交、平行或在平面内，

故答案为：D.

 
【分析】根据题意由正方体的几何性质结合直线与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。

15.【解析】【解答】因为 ，故满足 的正整数 的个数为不等式 的整数解的个数.

当 ，关于 的不等式 的整数解的个数即为 ，

故 ，其中 ，

故 中项的大小为 共有 项.

将 列举如下： ①

而 即为 中 的个数.

由①可得 中 的个数为 .

故答案为：C.

 
【分析】根据题意即可得出， 其中 ， 进而得出 中项的大小为 共有 项，由此得出 即为 中 的个数，结合等差数列前n项和公式计算出结果即可。

16.【解析】【解答】解：根据条件知A，B1  ， P，B2构成一个矩形AB1PB2  ， 以AB1  ， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，

设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为〔x，y〕，那么点P的坐标为〔a，b〕，

由| |=| |=1，得 ，那么

∵| |＜ ，∴

∴

∴

∵〔x﹣a〕2+y2=1，∴y2=1﹣〔x﹣a〕2≤1，

∴y2≤1

同理x2≤1

∴x2+y2≤2②

由①②知 ，

∵| |= ，∴ ＜| |≤

应选D．

【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕转换顶点，以 为顶点，易求体积；〔2〕 平移至 ，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．

18.【解析】【分析】 (1)由条件即可根据函数的单调性的定义法，整理化简即可得证出结论。
(2)根据题意利用换元法，再根据函数的单调性求解出函数在区间[0，1]上的最大值.

19.【解析】【分析】 (1)根据由求出函数的关系式，利用导数求出函数的单调性，进而可以求解出答案；
(2)分类讨论，分别求出b的关系式，再利用函数的性质以及恒成立的思想即可求解.

20.【解析】【分析】〔1〕根据待定系数法求得椭圆的方程；〔2〕利用点差法求出直线 的斜率，再利用直线 的斜率相乘为 ，证得两直线垂直；〔3〕将式子 表示成关于 的表达式，再利用根本不等式求得最小值.

21.【解析】【分析】 (1)根据题意即可求出A的取值，结合每次取两个数代入计算即可求出A1的所有可能的结果；
(2)首先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
(3)先定义运算：， 并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合(2)可知A9中仅有一项，再按定义先求出A5  ， 综合即可得到A9的可能计算出结果.