2021届河南省高三理数第二次质量检测试卷及答案

这是一份2021届河南省高三理数第二次质量检测试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数第二次质量检测试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A. {-1}                        B.                         C.                         D. 
2.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A. 0                                          B. 1                                          C.                                           D. 2
3.随着“互联网+〞上升为国家战略，某地依托“互联网+智慧农业〞推动精准扶贫.其地域内 山村的经济收入从2021年的4万元，增长到2021年的14万元，2021年更是到达52万元，在实现华美蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如以下列图所示，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 2021年外出务工收入比2021年外出务工收入减少
B. 种植收入2021年增长缺乏2021年的2倍
C. 2021年养殖收入与2021年其它收入持平
D. 2021年其它收入比2021年全部收入总和高
4.双曲线 〔 〕的焦点为 ， ，虚轴上端点为 ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 2
5.直线 ， 和平面 ， .
命题 ：假设 ， ， ，那么直线 与直线 平行或异面；
命题 ：假设 ， ，那么 ；
命题 ：假设 ， ，过平面 内一点作直线 的垂线 ，那么 ；
那么以下为真命题的是〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
6.如下列图，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．假设一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
7.在平行四边形 中， ， ，假设点 ， 满足 ， ，那么 〔    〕
A. 1                                          B. -1                                          C. 2                                          D. -2
8.数列 的前 项和为 ， ， ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
9. ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
10.各项均为正数的等比数列 ， ， ， 成等差数列，假设 中存在两项 ， ，使得 为其等比中项，那么 的最小值为〔    〕
A. 4                                           B. 9                                           C.                                            D. 
11.抛物线 ，过其焦点 作抛物线相互垂直的两条弦 ， ，设 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 与 轴交点的坐标是〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 不能确定
12.设函数 〔 〕，当 时，对于三角形的内角 ，假设存在 使 成立，那么 的可能取值是〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
二、填空题
13.函数 的图象在点 处的切线方程为________.
14.假设 ， 满足约束条件 ，那么 的取值范围为________．
15. ，假设点 关于直线 的对称点坐标为 ，那么 ________．
16.四棱锥 的顶点均在球 的球面上，底面 是矩形， ， ， ，二面角 大小为120°，当 面积最大时，球 的外表积为________．
三、解答题
17.的内角A、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ， ， ．
〔1〕求 的面积；
〔2〕求 的值．
18.如下列图的五面体中，四边形 是正方形，平面 平面 ， ， ．

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.2021年某地在全国志愿效劳信息系统注册登记志愿者8万多人．2021年7月份以来，共完成1931个志愿效劳工程，8900多名志愿者开展志愿效劳活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿效劳的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿效劳时长〔单位：小时〕，并绘制如下列图的频率分布直方图．

〔1〕求这500名志愿者每月志愿效劳时长的样本平均数 和样本方差 〔同一组中的数据用该组区间的中间值代表〕；
〔2〕由直方图可以认为，目前该地志愿者每月效劳时长 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：假设 ，令 ，那么 ，且 ．
〔ⅰ〕利用直方图得到的正态分布，求 ；
〔ⅱ〕从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿效劳时长超过10小时的人数，求 〔结果精确到0.001〕以及 的数学期望．
参考数据： ， ．假设 ，那么 ．
20.椭圆 的离心率 ，过右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点， 在第一象限，且 ．

〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕在 轴上是否存在点 ，满足对于过点 的任一直线 与椭圆 的两个交点 ， ，都有 为定值？假设存在，求出点 的坐标；假设不存在，说明理由．
21.函数 ．
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设 恒成立，求正整数 的最大值．
参考数据： ．
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕，直线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 普通方程和直线 的直角坐标方程；
〔2〕曲线 和直线 相交于 、 两点，求三角形 面积.
23.函数 .
〔1〕解不等式 ；
〔2〕对 ， 恒成立，求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，
，
所以 .
故答案为：B.

【分析】首先由指数函数的单调性以及一元二次不等式的解法即可得出集合M与N，再由并集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由题得 ，
所以 .
故答案为：D

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数模的定义计算出结果即可。
3.【解析】【解答】对于A：2021年外出务工收入为 万元，2021年外出务工收入为 万元，所以2021年外出务工收入比2021年外出务工收入增加，A不符合题意；
对于B：2021年种植收入为 万元，2021年种植收入为 万元，种植收入2021年增长是2021年的 倍，B不符合题意；
对于C：2021年养殖收入为 万元，2021年其它收入为 万元，2021年养殖收入与2021年其它收入并不持平，C不符合题意；
对于D：2021年其它收入为 万元，2021年全部收入总和为 万元，所以2021年其它收入比2021年全部收入总和高，D符合题意，
故答案为：D.

【分析】根据题意由的概率分布图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】如下列图：

因为双曲线的方程为 ，
所以 ， ，
那么 ，
因为 是双曲线的上虚轴端点，且 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为：C

【分析】先由双曲线的简单性质整理即可得出关于m的方程求解出m的值即可。
5.【解析】【解答】命题 ：假设 ， ， ，那么直线 与直线 平行或异面，所以命题 是真命题，
命题 ：假设 ， ，那么 ；可得 或 ，所以命题 是假命题，
命题 ：假设 ， ，过平面 内一点作直线 的垂线 ，那么 ；为面面垂直的性质定理，是真命题，
对于A： 和 都是真命题，所以 是真命题，A符合题意；
对于B： 是假命题， 是真命题，所以 是假命题，B不符合题意；
对于C： 是假命题， 是假命题，所以 是假命题，C不符合题意；
对于D： 是假命题， 是真命题，所以 是假命题，D不符合题意；
故答案为：A.

【分析】首先由直线与平面的位置关系判断出命题p、q、s的真假，再由复合函数的真假对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】当小球经过第2层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为 ，所以， .
当小球经过第4层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2号通道，必须满足1次向右、2次向左滚下，所以， ，同理可得 .
要使得小球经过3号位置〔即第5层3号通道〕，可由第4层2号通道向右滚下、也可以由第4层3号通道向左滚下，
因此， .
故答案为：C.

【分析】 根据题意由一个小球从正上方落下，落到3号位置，需要4次碰撞中有2次向左2次向右，由此能求出小球从正上方落下，落到3号位置的概率．
7.【解析】【解答】在平行四边形 中， ，
，
所以
.
故答案为：B

【分析】根据题意由向量的线性运算以及数量积的坐标公式代入数值计算出答案即可。
8.【解析】【解答】当 时，
那么
且 ，即 ，所以 .
两式作差得 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 .
那么 .
所以 .
故答案为：A.

【分析】由条件即可得出再由累乘法整理求出数列的通项公式，然后检验首项是否适合条件，再利用裂项相消法求出数列的前n项和。
9.【解析】【解答】对 两边同时取常用对数可得 ,
所以 ， ，
因为 在 单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
，
所以 ，
所以 .
故答案为：B.

【分析】 根据题意化指数式为对数式比较x与y的大小，再分析可得z小于1，那么答案可求．
10.【解析】【解答】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
又 为各项均为正数的等比数列，设首项为 ，公比为q ，
所以 ，所以 ，
解得 或 〔舍〕，
又 为 ， 的等比中项，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：D

【分析】 首项设等比数列{an}的公比为q，q＞0，再运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的中项性质，可得m+n=6，再由乘“1〞法和根本不等式可得所求最小值．
11.【解析】【解答】由题意知： ， 存在且 ，设 ， ，
∴假设 ，联立 ， ，
那么 ， ，即 ，
假设 ，联立 ， ，
那么 ， ，即
∴直线 ，整理得 ，
∴ 时， ，
故答案为：B

【分析】 由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，求出AB的中点M的坐标，由题意可设直线CD的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而求出CD的中点N的坐标，进而求出直线MN的方程，令y=0，可得x的值．
12.【解析】【解答】因为 ，
所以 在 上单调递增
因为 ， ， ，

所以 ，所以
因为 ，所以 ，解得
选项中满足的只有
故答案为：C

【分析】 利用导数判断函数f〔x〕在〔-∞，1]上的单调性，从而将不等式转化为由题意可得,结合二次函数的性质即可求出从而可求解A的取值范围，即可得出结论．
二、填空题
13.【解析】【解答】 ， ，
，即切线斜率为1，又 ，
那么切线方程为y=e(x-1).
故答案为：y=e(x-1).

【分析】首先根据题意对函数求导并把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
14.【解析】【解答】作出可行域如下列图：

根据可行域中的条件，求得 ，
把目标函数转化为 ，
当目标函数过 时， 有最小值-3，
当目标函数过 时， 有最大值3.
所以 的取值范围是[-3,3].
故答案为：[-3,3].

【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时 有最小值-3，当目标函数过 时， 有最大值3；当z取得最值时并由直线的方程求出点A和B的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值从而得出z的取值范围即可。
15.【解析】【解答】解: 假设点 关于直线 的对称点坐标为 ,
所以两点的中点 在直线 上,
所以 ,解得 .
所以 ,
是 的系数, 是 的系数, 是 的系数,
对于 第 项为 ,
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 时,有 ,
所以 ;
所以 .
故答案为：32

【分析】根据题意由特殊值法代入计算出结果即可。
16.【解析】【解答】解：如图1，设矩形 的中心为 ， 的外接圆圆心为 ，
连接 ， ，取 中点 ，连接 ，

所以由球的截面性质可知， 平面 ， 平面
在圆 中，因为 ， ，
所以当 优弧 上运动，且在 中垂线与圆 的交点处时面积最大，如图2，

此时 ，故 必过圆 的圆心 ，
所以 ， ，所以
即当 面积最大时， 为等边三角形，
所以 ， ，
在矩形 中， 为 中点， 为 中点，
所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以在四边形 中，
， ， ， ， ，如图3，

所以 ， ，
所以
所以在直角三角形 中， ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以球 的外表积为 .
故答案为：28π

【分析】首先 设ABCD所在平面为圆O1面，△PAB所在的平面为圆O2面，作出立体图形进行分析然后分别分析圆O2 ， 圆O1 ， 以及四边形OO1EO2中的几何性质以及边角关系，从而逐步求出外接球的半径，由球的外表积公式求解即可．
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由余弦定理整理得出c与a的值，并把数值代入到三角形的面积公式计算出答案即可。
(2)由条件结合正弦定理求出以及， 再由两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
18.【解析】【分析】 〔1〕根据题意作出辅助线，由利用面面垂直的性质可得AP⊥平面CDEF，那么AP⊥CD，再由CD⊥AD，结合直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面ADE，从而得到平面ADE⊥平面ABCD；
〔2〕根据题意作出辅助线，证明OE⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OH，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，再求出平面BDE的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得直线CF与平面BDE所成角的正弦值．
19.【解析】【分析】 〔1〕先根据求出平均值，然后根据方差公式即可求解；
〔2〕①分析出X服从正态分布，然后根据正态分布的性质即可求解；②分析出Z服从二项分布，然后根据二项分布的性质以及期望公式即可求解．
20.【解析】【分析】(1)首先由条件结合椭圆的简单性质即可设出椭圆的方程再联立直线与椭圆的方程，整理求出点的坐标再由弦长公式求出b的值，由此得出椭圆的方程即可。
(2)根据题意 当直线 不与 轴重合时 由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于n的两根之和与两根之积的代数式，再由数量积的坐标公式代入整理即可得到求解出t的值即可。 当直线 与 轴重合时，结合条件以及数量积的坐标公式计算出t的值由此得证出结论。
21.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2)首先对函数求导并构造函数， 结合导函数的正弦即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值由此得出从而得证出结论。
22.【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果.
23.【解析】【分析】(1)首先由绝对值不等式的几何意义整理得出函数的解析式，再由不等式求解出x的取值范围即可。
(2) 根据题意把问题等价于对∀x∈R，m＜2|x-1|+2|x+1|恒成立，求出g〔x〕=2|x-1|+2|x+1|的最小值即可得出结论．