2021届河南省商丘市高三下学期理数春季诊断性考试试卷及答案

这是一份2021届河南省商丘市高三下学期理数春季诊断性考试试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期理数春季诊断性考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 中的元素个数为〔    〕
A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
2.复数 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3. ，那么a，b，c的大小关系是〔    〕
A. a>c>b                               B. a>b>c                               C. b>a>c                               D. c>b>a
4.函数y=f(x)的图象如以下图，那么函数y=f(x)的解析式可能为〔    〕

A.                             B.                             C.                             D. 
5.假设直线 始终平分圆 ，那么 〔    〕
A. ﹣6                                         B. ﹣3                                         C. 3                                         D. 6
6.某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价 (元)和销售额 (元)的数据，整理得到下面的散点图：

销售额 单价 销量 ，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量 与单价 的回归方程类型的是〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
7.数列 为等比数列， ，且 依次成等差数列，那么 〔    〕
A. 35                                         B. 45                                         C. 55                                         D. 65
8.某场晚会上要表演6个文艺节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：甲节目不排在第一位和最后一位，丙､丁两个节目必须排在一起，那么不同的节目编排方案种数为〔    〕
A. 96                                       B. 108                                       C. 120                                       D. 144
9.正六棱柱 的棱长均为 ，点 在棱 上运动，点 在底面 内运动， ， 为 的中点，那么动点 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小局部的体积为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.函数 在 上单调递减，那么 的取值范围是〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
11.双曲线 的左､右焦点分别为F1 ， F2 ， 点P在双曲线C的右支上，过 作与OP(点O为坐标原点)垂直的直线交线段 于点M，假设满足 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 
12.假设关于 的方程 有4个不同的根，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
二、填空题
13.某三棱锥的三视图如以下图，那么该三棱锥的最短棱长为________.

14.将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，那么其通项 ________.
15.在 中， ， ， 为 的垂心，且满足 ，那么 ________.
16.点P在抛物线 上，直线PA，PB与圆 相切于点A，B，且PA⊥PB，假设满足条件的P点有四个，那么m的取值范围是________．
三、解答题
17.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， .
〔1〕求 ；
〔2〕点 在边 上，且 ，求 的面积.
18.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， .

〔1〕证明： ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
19.甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，假设击中靶心得3分，击中靶心以外的区域得1分，两人得分之和大于或等于6分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为 且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.
〔1〕求甲需要射击三次的概率.
〔2〕比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.
〔3〕求乙获胜的概率.
20.双曲线 的焦点为椭圆 的长轴端点，且椭圆E的离心率为 ．
〔1〕求椭圆E的标准方程；
〔2〕设 为椭圆 的左顶点，直线 与椭圆 交于 两点，直线 分别与直线 交于 两点，求证：
21.函数 .
〔1〕求 的最大值；
〔2〕假设 ，分析 在 上的单调性.
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ．
〔1〕求圆C的半径以及圆心的直角坐标；
〔2〕假设点P(x，y)在直线l上，且在圆C内部(不含边界)，求 的取值范围．
23. 均为正数，且满足 证明：
〔1〕；
〔2〕．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解:因为集合 ， ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】根据题意由集合A中元素的性质即可得出集合A，再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】解析 ，因此 在复平面内对应的点在第四象限．
故答案为：D

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为 ，
所以
故答案为：B

【分析】根据题意首先由对数函数以及指数函数的单调性即可得出a和b的取值范围，再由正弦函数的单调性得出c的取值范围，从而得出大小关系即可。
4.【解析】【解答】由 图象得函数的定义域为 ，排除 ；
由 ，排除D；
由 时, ，排除B．
故答案为：C.

【分析】首先求出函数的定义域由此排除选项A，再由图象即可排除选项B和D，由此得出答案。
5.【解析】【解答】解：由 得圆心 ，因为直线平分圆，所以直线必过圆心 ，那么 ，那么 ．
故答案为：A.

【分析】 根据题意即可得出，当直线：始终平分圆C:， 可得直线l经过圆心C，由此得到m、n的关系，整理计算出结果即可.
6.【解析】【解答】解析：由散点图可知， 与 成线性相关，设回归方程为 ，
由题意 ，所以 ，对应B最适合．
故答案为：B.

【分析】利用的散点图中的数据，结合线性回归方程整理即可得出， 由此得出答案。
7.【解析】【解答】设数列 的公比为 ，因为 ， 依次成等差数列，所以 ，所以 ，那么 ，故 ，所以 .
故答案为：C.

【分析】首先由条件结合等差数列的性质即可得出， 再由等比数列的通项公式整理得到， 由此求出q的值，从而得到数列的通项公式，再由对数的运算性质整理化简计算出结果即可。
8.【解析】【解答】将丙､丁视为一个节目，除甲节目以外，剩下的5个节目可等价于4个节目，4个节目随意排列，将甲节目插入任意两个节目之间，再考虑丙和丁的顺序可以互换，所以共有 种编排方案.
故答案为：D.

【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，计算出答案即可。
9.【解析】【解答】由直角三角形的性质得 ，
所以点 在以 为球心，半径是 的球面上运动，
因为 ，所以动点 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小局部 球，
其体积为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由直角三角形的几何性质即可得出AR的值，从而得到点 在以 为球心，半径是 的球面上运动，结合题意即可得出动点 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小局部 球，由球的体积公式代入数值计算出结果即可。
10.【解析】【解答】由题意可得 ，
因为 ，所以 ，
令 ，由此可得 ，
因为 在 上单调递减，所以 由此解得 .
故答案为：C.

【分析】首先由条件即可得出函数的解析式， 由周期公式即可得出令， 再由条件结合函数的单调性即可得到， 由此得出的取值范围即可。
11.【解析】【解答】解析过点 作 ，交 于点 ，设 与 的交点为 ．
因为 ，所以 ，所以 为 的中点，
从而 为 的中点， 是线段 的中垂线，从而 ，那么
，所以 ，离心率为

故答案为：B.

【分析】 由题意画出图形，证明N为OP的中点，可得F2M是线段OP的中垂线，从而， 再由PF1的长度即可求解出双曲线的离心率.
 
12.【解析】【解答】 ，等价于 ，
不妨设 ，那么 ，即 或者 ，
由 ，
取得极大值为 ，
所以 在 单调递减，在 单调递减，
作出函数 的图象如以下图所示：

当 时，有且仅有一个根，那么 时，需要有三个根，那么 ，
由此可得 .
故答案为：C.

【分析】首先由条件即可得出 ，等价于 ， 令整理得到求解出t的值，构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出函数的极值；再由函数的单调性即可得出的单调性，由此作出函数的图象，利用数形结合法即可求出， 由此得出a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】由图可知该三棱锥的最短棱为底面三角形的直角边即 ，棱长最短为 .

故答案为： .

【分析】根据题意由条件即可求出最短棱为底面三角形的直角边即 ， 结合三角形中的几何计算关系计算出结果即可。
14.【解析】【解答】数列 中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列 中的偶数项都是数列 中的项.
即4，16，64，256，… 可以写成 的形式，观察，归纳可得 .
故答案为： .

【分析】根据题意首先求出数列中的项，再由列举法即可得出4，16，64，256，… 可以写成 的形式，由此即可归纳出数列的通项公式。
15.【解析】【解答】如以下图， 为 的中点，不妨设 ，那么 .因为 ，那么 ，那么 ， ，由此可得 .

故答案为： .

【分析】根据题意设出， 再由三角形中的几何计算关系计算出， 结合向量的运算性质整理即可得到答案。
16.【解析】【解答】解:因为直线PA，PB与圆 相切于点A，B，且PA⊥PB，
所以四边形QAPB为正方形，所以 ，
所以问题转化为圆 与抛物线有四个公共点，
将抛物线方程代人圆的方程消去 ，得 ，
由题意，此方程有两个不等正根，故 ，解得 ，
故答案为： .

【分析】 依题意可得， 那么点P的轨迹方程为， 故只需方程(m>0)与方程有四个解即可，利用判别式、根的分布，即可得到关于M的不等式组，求解出答案即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)由条件整理得到并代入到同角三角函数的根本关系时，由此计算出cosB的值，再由余弦定理整理得到计算出c的值即可。
(2)根据题意由余弦定理代入数值计算出A的值，再由三角形中的几何计算关系计算出AD的值，结合三角形的面积公式计算出结果即可。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由等边三角形的几何关系即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出平面 以及 ， 结合勾股定理计算出垂直关系，再由线面垂直的判定定理即可得出 平面 ， 由线面垂直的性质定理即可证出结论 。
(2)由(1)的结论即可得出线线垂直由此 分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值.
19.【解析】【分析】(1)根据题意由独立事件的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由独立事件的概率公式代入数值计算出结果即可。
(3)由题意结合概率的加法以及乘法公式计算出结果即可。
20.【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的简单性质求出a的值，再由离心率公式代入计算出然后结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系，计算出b的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合题意整理得到， 再由点的坐标代直线方程入整理得到， 由此得证出结论。
21.【解析】【分析】(1)首先根据题意对函数求导，并由计算出x的值，再由导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最大值。
(2)由条件即可得出， 对其求导，然后再构造函数由导函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性而现在得出函数，结合导函数的性质即可得出 在 上单调递减 ，由此得到， 从而得出函数g(x)的单调性。
22.【解析】【分析】 (1)根据题意直接利用极坐标和普通方程之间的转换关系得到， 圆 的直角坐标方程，由此求出圆心坐标以及半径的值。
(2)利用直线的参数方程和参数的几何意义，以及点到直线的距离公式整理化简即可求出结果.
23.【解析】【分析】 (1)利用根本不等式即可得证出结论。
(2)根据题意由根本不等式即可得证出结论。