2021届河南省焦作市高三理数第三次大联考试卷及答案

这是一份2021届河南省焦作市高三理数第三次大联考试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第三次大联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，假设 ，那么A中元素的和为〔    〕
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. -1
2. 为实数，复数 〔 为虚数单位〕，复数 的共轭复数为 ，假设 为纯虚数，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
3.造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大创造，这四种创造对中国古代的政治､经济､文化的开展产生了巨大的推动作用；2021年5月，来自“一带一路〞沿线的20国青年评选出了“中国的新四大创造〞：高铁､扫码支付､共享单车和网购．假设从这8个创造中任取两个创造，那么两个都是新四大创造的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
4.两个单位向量 和 夹角为 ，那么向量 在向量 方向上的投影为〔    〕
A. -1                                         B. 1                                         C.                                          D. 
5. 的内角 ， ， 成等差数列，假设 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.展开式中 项的系数为160，那么 〔    〕
A. 2                                        B. 4                                        C. -2                                        D. 
7.某几何体的三视图如以下图，假设该几何体的体积是 ，那么 〔    〕

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 6
8.函数 ， 的局部图象如以下图， 的图象过 ， 两点，将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，那么函数 在 上的最小值为〔    〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. -1
9.圆C： ，P是直线 的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，那么 的最小值为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
10.椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ､ ， 是椭圆 的上顶点，直线 与直线 交于点 ，假设 ，那么椭圆C的离心率为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
11.如图，四棱锥 的底面是边长为6的菱形， ， ， 相交于点 ， 平面 ， ， 是 的中点，动点 在该棱锥外表上运动，并且总保持 ，那么动点 的轨迹的长为〔    〕

A. 3                                           B. 7                                           C. 13                                           D. 8
12.曲线 ： 在 处的切线与曲线 ： 在 处的切线平行，令 ，那么 在 上〔    〕
A. 有唯一零点                          B. 有两个零点                          C. 没有零点                          D. 不确定
二、填空题
13.执行如以下图的程序框图，假设输入 的值为3，那么输出 的值为________．

14.数列 是等差数列， ， ， ，那么 的最大值是________．
15.定义在 上的函数 满足： ，函数 ，假设 ，那么 ________．
16. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．假设 ，那么 的最小值为________．
三、解答题
17.数列 满足 ， ．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设等差数列 的前 项和为 ，且 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
18.从2021年元月份以来，全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响，我国抗疫战斗取得了重大的胜利，全国上下齐心协力复工复产，抓经济建设；某公司为了提升市场的占有率，准备对一项产品实施科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到 ， 之间的五组数据如下表：

2
3
5
7
8

5
8
12
14
16
其中， 〔单位：百万元〕是科技改造的总投入， 〔单位：百万元〕是改造后的额外收益；设 是对当地生产总值增长的奉献值．
附：对于一组数据 ，其拟合直线方程 的残差平方和为 ， 越小拟合效果越好．
〔1〕假设从五组数据中任取两组，求恰有一组满足 的概率；
〔2〕记 为 时的任意两组数据对应的奉献值的和，求随机变量 的分布列和数学期望；
〔3〕利用表中数据，甲､乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组： ，乙组： ，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合效果更好？
19.如图， 是圆柱 的轴截面， 、 分别是两底面的圆心， 是弧 上的一点， ，圆柱的体积和侧面积均为 ．

 
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求二面角 的大小．
20.椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 与椭圆交于 ， 两点， 为椭圆的下顶点， 为等腰三角形，当 轴时， 的面积为 ．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕假设直线 不与坐标轴垂直，线段 的中垂线 与 轴交于点 ，假设直线 的斜率为 ，求直线 的方程．
21.函数 ， ．
〔1〕令 ，讨论函数 的单调性；
〔2〕令 ，当 时，假设 恒成立，求实数 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，直线 过定点 ，倾斜角为 ，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕；以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
〔1〕求曲线 的极坐标方程；
〔2〕直线 交曲线 于 ， 两点，且 ，求 的参数方程．
23.函数 ， ．
〔1〕当 时，解不等式 ；
〔2〕对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ， ，那么 ， ，
因此，集合 中元素的和为 .
故答案为：B.

【分析】由 ， 即可求出， 进而得出集合A，即可得到答案。
2.【解析】【解答】∵ 为纯虚数，
∴ ，那么 ，
∴ ，
那么 ，
故答案为：B

【分析】首先利用复数为纯虚数求出， 可得出 ， 求出  的共轭复数为， 即可得出答案。 
3.【解析】【解答】从8个创造中任取两个创造共有 种，
两个都是新四大创造的有 种，
∴所求概率为 ，
故答案为：C

【分析】先求出从8个创造中任取两个创造共有多少 种，再求出两个都是新四大创造的有多少种，再根据古典概率即求得出答案。
4.【解析】【解答】由题意可知： ，
那么 ，
，
据此可得向量 在向量 方向上的投影为 .
故答案为：D.

【分析】运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得所求值。
5.【解析】【解答】解：∵ ， ， 成等差数列，∴ ，又 ，∴ ，由 得， ，∴ ，那么 ，
故答案为：D．

【分析】由 的内角  ，  ，  成等差数列，结合三角形的内角和定理可得， 再由 得， ， 利用两角和的余弦权公式可得， 再利用诱导公式即可得到答案。
6.【解析】【解答】二项式 展开式的通项为 ，
令 可得二项式 展开式中 的系数为 ，
∴ 展开式中 的系数为 ，
可得 ，解得 ，
故答案为：C．

【分析】表示出该二项式的展开式的第项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案。
7.【解析】【解答】作出原几何体对应的直观图如以下图所示：

由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，
圆台的上底面半径为 ，下底面半径为2，高为 ，圆柱底面半径为1，高为 ，
那么其体积为 ，
由题设知， ， ，
故答案为：B．

【分析】由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，让圆台的体积减去圆柱的体积，即可得到答案。
8.【解析】【解答】由图象知， ，
∴ ，那么 ，
∴ ，
将点 的坐标代入得， ，即 ，
又 ，∴ ，
那么 ，
将 的图象向左平移 个单位得到函数 ，
∴ 在 上的最小值为 ，
故答案为：A

【分析】由五点法作图以及特殊点的坐标，求出的值，可得的解析式，然后再根据的图象向左平移 个单位得到函数 ， 利用余弦函数的图像，即可得到答案。
9.【解析】【解答】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
设四边形 的面积为 ，
由题设及圆的切线性质得， ，
∵ ，
∴ ，
圆心 到直线 的距离为 ，
∴ 的最小值为 ，
那么 的最小值为 ，
故答案为：A

【分析】根据题意求出圆 的圆心和半径，由题设及圆的切线性质得， 由直线与圆的位置关系可得圆心 到直线 的距离为 的最小值，进而求出 的最小值。
10.【解析】【解答】由题设知， ， ，
∴直线 的方程为 ，联立 得， ，
设直线 与 轴交于点 ，那么 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：A

【分析】由题设知， ， ，直线 与直线 的方程联立求得，设直线 与 轴交于点 ，那么 ， ，根据 ，利用椭圆的性质即可求出椭圆  的离心率 。
11.【解析】【解答】取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，

∵ 是 的中点，
∴ ， ，
平面 ， 平面 ，
那么 平面 ；
平面 ， 平面 ，
那么 平面 ，
又 ，
∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
又四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 ，
那么 平面 ，
故只要动点 在平面 内即总保持 ，
又动点 在棱锥外表上运动，
∴动点 的轨迹的周长即为 的周长，
∵四边形 是菱形边长为6，且 ，
∴ ，
那么 ，
又 ，
∴ ，
故 ， ，
∴ 的周长为8，
故答案为：D.

【分析】取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，证明平面 平面 ， 再由题意证明平面 ， 得出动点 的轨迹的周长即为 的周长。
12.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
由题设知， ，即 ，∴ ，
那么 ，
∴ ， ，
令 ， ，那么 ，
当 时， ，即函数 单调递减；
当 时， ，即函数 单调递增；
∴在 上 的最小值为 ，
∴ ，那么 ，
∴ 在 上单调递增，且 ，
在 上有唯一零点，
故答案为：A．

【分析】分别求导，由题设知， 得， 那么 ，求导得， 再令 ， ，求导可得的单调性，进而求出最小值，可得在 上单调递增，即可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】由程序框图知，
当 时，
第一次循环：“ 〞否，“ 是奇数〞是，那么 ， ；
第二次循环：“ 〞否，“ 是奇数〞否，那么 ， ；
第三次循环：“ 〞否，“ 是奇数〞否，那么 ， ；
满足条件“ 〞，结束循环，
输出 的值为4．
故答案为：4.

【分析】根据程序框图进行模拟计算即可。
14.【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，由题设知， ，
设 ， ，那么不等式组等价为 ，
对应的可行域为如以下图的三角形 及其内部，由 ，

由 可得 ，
作 沿着可行域的方向平移，当直线过点 时， 取得最大值．
由 解得 ，
所以 ，
故答案为：16

【分析】设等差数列 的公差为 ，由题设知， ，设 ， ，那么不等式组等价为 ，然后利用现行规划知识求得当直线过点 时， 取得最大值。
15.【解析】【解答】∵ ，∴ ，故 ；
令 ，那么 ，
而 ，即 ，该函数是奇函数 ，故 ；
故 ，
又∵ ，∴ .
故答案为：2ln2.

【分析】由可得， 令 ，那么 ，进而得出， 结合函数是奇函数可求得 的值。
16.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，即 ，
由正弦定理得，∴ ，
由余弦定理知， ，
∴ ，
那么 ，
∵ ，
∴ ，那么 ，当且仅当 时，等号成立
即 的最小值为 ．
故答案为：

【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简等式可得， 根据根本不等式可求出  的最小值 。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 当  时， 可求出 ， 当  时，由
 ①得 ②， ①  ②得出 ， 把 代入验证即可得出数列  的通项公式；
〔2〕 设等差数列  的公差为  ，利用等差数列 前  项和公式得出  ，即可求出 ， 进而得出 ， 可得  ，利用分组求和法即可求出数列  的前  项和 。
18.【解析】【分析】〔1〕 设所给五组数据分别为  ，  ，  ，  ，  〔只有  满足〕  ， 通过列举所有的组合情况，即可求出概率；
〔2〕 满足  的数据是后3组〔奉献值分别为：22,28,32〕，  的值为50，54，60， 求出随机变量  的分布列和数学期望；
〔3〕结合两位同学的拟合方程和条件可计算出，从而可判断出哪位同学的拟合效果更好。
19.【解析】【分析】〔1〕由条件可得  平面 ， 可得 ， 由  是圆  的直径得 ， 可得  平面  ，进而得出平面  平面  ；
〔2〕以  为原点，  ，  ，  所在直线分别为  轴､  轴､  轴建立空间直角坐标系  ， 求出平面  和平面 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角  的余弦值，进而得出二面角  的大小。
20.【解析】【分析】〔1〕由题意可得， ， 再根据关系，联立方程组解得的值，可得椭圆  的标准方程；
〔2〕设直线  的方程为  ，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式及两条直线垂直的条件，得出 ，解出的值，即可得出直线  的方程。  
21.【解析】【分析】〔1〕求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可;
〔2〕由题设知，  ，求导，根据函数的单调性与导数的关系，即可求得实数  的取值范围 。
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
〔2〕 设  的参数方程为  〔  为参数〕，代入 ，解方程可得倾斜角，进而得到所求参数方程。
23.【解析】【分析】〔1〕由 得 ，将所求不等式化为 ， 利用分类讨论的方法，即可求出结果；
〔2〕先将题中条件化为   ，对任意的 恒成立，由单调性求出在给定区间的最小值，即可得出结果。