2020-2021学年湖南省长沙市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|x2−x>0}，B={x|3x>3}，则( )
A.A∩B=⌀B.A∩B=AC.A∪B=BD.A∪B=A

2. 已知x>0，则当x+9x取得最小值时，x为( )
A.3B.9C.16D.18

3. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km，5km，灯塔A在观察站C的北偏东20∘方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40∘方向上，则灯塔A与B的距离为( )
A.6kmB.43kmC.7kmD.52km

4. 若关于x的不等式−x2+22m+1x−8m≥0的解集中恰有6个正整数，则实数m的取值范围是( )
A.74,3B.[74,2)C.(−2,12]D.−2,12∪74,3

5. 已知数列an满足an=2n−1，则1a3−a1+1a4−a2+⋯+1an＋2 −an=( )
A.131−12nB.131−14nC.121−12nD.121−14n

6. 已知二次函数fx=ax2−x+cx∈R的值域为[0,+∞)，则9a+1c的最小值为( )
A.3B.6C.9D.12

7. 已知Sn是等差数列an的前n项和，a1<0，S13=0，则使得Sn≤an的n的最大值为( )
A.12B.13C.14D.15

8. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a2−c2=13b2，tanA=2，则C=( )
A.π12B.π6C.π4D.π3
二、多选题

已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是( )
A.若ab>0，ca>db，则bc>adB.若ab<0，bc>ad，则ca>db
C.若ad0D.若1a<1b<0，则aba+b<1

当x>0时，下列函数最小值为2的是( )
A.y=x22−xB.y=x2+1xC.y=x2+2+1x2+2D.y=x2+4x2+1−1

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cs2A−cs2B−cs2C=csAcsB+csC−cs2B，且c=3，则下列结论中正确的是( )
A.C=π3B.C=2π3
C.△ABC面积的最大值为34D.△ABC面积的最大值为334

已知Sn是等差数列an的前n项和，S2019A.a2020>0B.a2021<0
C.a2019⋅a2020>a2021⋅a2022D.n=2019时，Tn取得最大值
三、填空题

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=3，b=72，sinA=37，则B=________．

若关于x的不等式−x2+4x≥m对任意x∈3,4恒成立，则m的取值范围是________.

已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a2=3，λSn=3an−1，则Sn=________．

已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，c−ab=aa+c，则ab的取值范围是________.
四、解答题

已知等差数列an的公差d不为0，a1=1，a2是a1与a6的等比中项．
(1)求数列an的通项公式；

(2)记bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn．

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=2，F为线段AC上一点，CF=2BF，有下列条件：
①c=2；②b=23；③sin∠ABC+3cs∠ABC=0．
请从以上三个条件中任选两个，求∠CBF的大小和△ABF的面积．

已知函数 fx=ax2−4a+2x+8．
(1)当a=−1时，求不等式f(lg12x)≤0的解集；

(2)求不等式fx>0的解集．

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，1sinA+1sinC=83，a，b，c成等差数列．
(1)求1tanA+1tanC的值；

(2)若 sinB=45，求a:b:c的值．

在数列an中，a1=1，an+1=1+1nan+n+13n．
(1)设bn=ann，求数列bn的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn．

已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n22+n，n∈N∗.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设Tn为数列1anan+1的前n项和，求fn=n−6⋅Tn的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省长沙市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A={x|x2−x>0}=−∞,0∪1,+∞，
B={x|3x>3}=1,+∞，
∴ A∩B=B，A∪B=A.
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式解得函数的最小值，等号成立的条件.
【解答】
解：∵ x>0，
∴ x+9x≥2x⋅9x=6，
当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得∠ACB=120∘，
∴ AB2=9+25+15=49，
∴ AB=7．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
利用一元二次不等式的解法，当m≤12时 ，则不等式的解是4m≤x≤2；当m>12时,则不等式的解是2≤x≤4m，即可进行讨论求解.
【解答】
解：原不等式可化为x−2x−4m≤0.
①当m≤12时 ，
4m≤x≤2，
不等式的解集中不可能有6个正整数；
②当m>12时，
2≤x≤4m，
所以不等式的解集中的6个正整数分别是2，3，4，5，6，7，
则7≤4m<8，
解得：74≤m<2.
综上所述，m的取值范围是[74,2).
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 1an+2−an=13⋅2n，
∴ 1a3−a1+1a4−a2+⋯+1an+2−an
=1312+122+⋯+12n=131−12n．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
基本不等式在最值问题中的应用
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知a>0， Δ=1−4ac=0，
∴ ac=14，c>0 ，
∴9a+1c≥29ac=12，
当且仅当9a=1c，即 a=32，c=16时取等号．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
则S13=13a1+a132=13a7=0．
∴ a1+6d=0，a1=−6d ，
∴ d>0.
由Sn≤an，
得na1+nn−12d≤a1+n−1d，
化简得n2d≤d−a1．
∴ n2d≤7d，n≤14．
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理得2bccsA=b2+c2−a2=b2−13b2=23b2．
∴ b=3ccsA，由正弦定理得sinB=3sinCcsA，
即sinA+C=3sinCcsA，
∴ sinAcsC+csAsinC=3sinCcsA，
∴ sinAcsC=2sinCcsA，
∴ tanA=2tanC，
∴ tanC=1，C=π4．
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
逐项分析，利用不等式的性质与比差法得解.
【解答】
解：A，∵ ab>0，ca>db，
∴ ca−db=bc−adab>0，
即bc−ad>0，
∴ bc>ad，故A正确；
B，∵ ab<0，bc>ad，
∴ ca−db=bc−adab<0，
即caC，∵ ad∴ db−ca=ad−bcab<0，
∴ ab>0，故C正确；
D，∵ 1a<1b<0，
∴ 0>a>b，
∴ aba+b−1=ab−a−ba+b<0，故D正确.
故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y=x22−x≤x+22−x22=2，A不正确；
y=x2+1x=x+1x≥2，当且仅当x=1时取等号，B正确；
令t=x2+2≥2，则y=x2+2+1x2+2=t+1t，
由对勾函数图象可得其最小值为322，C不正确；
y=x2+4x2+1−1=x2+1+4x2+1−2≥24−2=2，
当且仅当x2+1=2，即x=1时取等号，D正确.
故选BD．
【答案】
B,C
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ cs2A−cs2B−cs2C
=csAcsB+csC−cs2B．
∴ 1−sin2A−1−sin2B−1−sin2C
=csAcsB−csA+B−1−2sin2B．
∴ sinAsinB+sin2B+sin2A−sin2C=0，
由正弦定理ab+b2+a2−c2=0，
∴ csC=−12，即c=2π3，故A错误，B正确；
3=a2+b2+ab≥3ab．
∴ ab≤1，当a=b=1时取等号，
∴ Smax=12absinC=34，故C正确，D错误.
故选BC．
【答案】
A,B,C
【考点】
数列与函数最值问题
数列与函数的综合
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设an的公差为d，
则S2021−S2020=a2021<0，S2020−S2019=a2020>0，
S2021−S2019=a2021+a2020>0，
即a2020>−a2021>0，a2020−d>−a2021−d>0，即a2019>−a2022>0．
∴ a2019 a2020>a2021 a2022，
即d<0，即数列an递减，
且a1>0，a2>0，⋯，a2020>0，a2021<0，
1bn=1anan+1an+2=12d(1anan+1−1an+1an+2) ，
Tn=12d(1a1a2−1a2a3+1a2a3−1a3a4+⋯+1anan+1−1an+1an+2)
=12d(1a1a2−1an+1an+2)，
由d<0得，要使Tn取最大值，则(1a1a2−1an+1an+2)取得最小值，
显然1an+1an+2>0，
而a2a3>a3a4>⋯>a2019 a2020>a2021 a2022∴ 当n=2020时，(1a1a2−1an+1an+2)取得最小值．
故选ABC．
三、填空题
【答案】
π6或5π6
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理得3sinB=72×37，
sinB=12>37，
∴ B=π6或5π6．
故答案为：π6或5π6．
【答案】
(−∞,0]
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
【解析】

【解答】
解： 设函数fx=−x2+4x=−x−22+4，
则fx在3,4上单调递减，
∴ fxmin=f4=−(4−2)2+4=0.
∵ −x2+4x≥m对任意x∈3,4恒成立，
∴ m≤0．
故答案为：(−∞,0]．
【答案】
3n−12
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当n=1时，a1=13−λ>0，
∴ 当n=2时，λ13−λ+3=8，解得λ=2，
∴ 2Sn=3an−1.
当n≥2时，2Sn=3Sn−3Sn−1−1，
即Sn=3Sn−1+1，
∴ Sn+12=3(Sn+1+12)，
∴ Sn+12=32⋅3n−1，
∴ Sn=3n−12．
故答案为：3n−12．
【答案】
12,1
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
余弦定理
正弦定理
【解析】

【解答】
解：∵ c−ab=aa+c，
∴ c2=a2+ab.
由余弦定理得：
c2=a2+b2−2abcsC=a2+ab，
即b2−2abcsC=ab，
∴ b−2acsC=a，
∴ ab=11+2csC.
∵ b−2acsC=a，
由正弦定理得：
sinB−2sinAcsC=sinA，
即sinA+C−2sinAcsC=sinA，
∴ sinCcsA−sinAcsC=sinA，
∴ sinC−A=sinA，
∴ C−A=A或C−A+A=π （舍），
∴ C=2A.
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ 3A+B=π，
则0<π−3A<π2，
∴ π6又∵ 0∴ π6则π3∴ 12即ab的取值范围是12,1．
故答案为：12,1．
四、解答题
【答案】
解：(1)由已知得a22=a1⋅a6，
∴ (a1+d)2=a1⋅(a1+5d)，化简得d2=3d．
∵ d≠0，
∴ d=3，
∴ an=3n−2．
(2)由(1)知bn=13n−23n+1=13(13n−2−13n+1)，
∴ Sn=13[(1−14)+(14−17)+⋯+(13n−2−13n+1)]
=13(1−13n+1)=n3n+1．
【考点】
等比中项
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得a22=a1⋅a6，
∴ (a1+d)2=a1⋅(a1+5d)，化简得d2=3d．
∵ d≠0，
∴ d=3，
∴ an=3n−2．
(2)由(1)知bn=13n−23n+1=13(13n−2−13n+1)，
∴ Sn=13[(1−14)+(14−17)+⋯+(13n−2−13n+1)]
=13(1−13n+1)=n3n+1．
【答案】
解：选①②，则a=c=2，b=23．
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=32，
∴ A=C=π6，∠CBA=2π3，
在△BCF中，由正弦定理可得CFsin∠CBF=BFsinC，
∵ CF=2BF，
∴ sin∠CBF=22．
∵ ∠CBF<∠CBA=2π3，
∴ ∠CBF=π4 ，
∴ ∠ABF=∠AFB=5π12，
∴ AF=AB=2，
∴ S△ABF=12×2×2sinπ6=1．
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选①②，则a=c=2，b=23．
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=32，
∴ A=C=π6，∠CBA=2π3，
在△BCF中，由正弦定理可得CFsin∠CBF=BFsinC，
∵ CF=2BF，
∴ sin∠CBF=22．
∵ ∠CBF<∠CBA=2π3，
∴ ∠CBF=π4 ，
∴ ∠ABF=∠AFB=5π12，
∴ AF=AB=2，
∴ S△ABF=12×2×2sinπ6=1．
【答案】
解：(1)当a=−1时，
f(x)=−x2+2x+8=−(x+2)(x−4)，
∴ 由题意知f(lg12x)≤0，即为−(lg12x+2)(lg12x−4)≤0，
lg12x≤−2或lg12x≥4，
即x≥4或0∴ 不等式的解集为(0,116]∪[4,+∞)．
(2)当a=0时，不等式为−2x+8>0，
解得x<4，此时不等式的解集为{x|x<4}；
当a≠0时，原不等式等价于ax−2x−4>0,
当a>0时，不等式等价于x−2ax−4>0，对应方程两根为2a，4.
①当a=12时，2a=4，不等式等价于x−42>0，此时不等式解集为{x|x≠4}；
②当a>12时，2a<4，此时不等式的解集为{x|x>4或x<2a}；
③当04，此时不等式的解集为{x|x>2a或x<4}；
当a<0时，2a<4，不等式等价于x−2ax−4<0，
此时不等式的解集为{x|2a【考点】
其他不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=−1时，
f(x)=−x2+2x+8=−(x+2)(x−4)，
∴ 由题意知f(lg12x)≤0，即为−(lg12x+2)(lg12x−4)≤0，
lg12x≤−2或lg12x≥4，
即x≥4或0∴ 不等式的解集为(0,116]∪[4,+∞)．
(2)当a=0时，不等式为−2x+8>0，
解得x<4，此时不等式的解集为{x|x<4}；
当a≠0时，原不等式等价于ax−2x−4>0,
当a>0时，不等式等价于x−2ax−4>0，对应方程两根为2a，4.
①当a=12时，2a=4，不等式等价于x−42>0，此时不等式解集为{x|x≠4}；
②当a>12时，2a<4，此时不等式的解集为{x|x>4或x<2a}；
③当04，此时不等式的解集为{x|x>2a或x<4}；
当a<0时，2a<4，不等式等价于x−2ax−4<0，
此时不等式的解集为{x|2a【答案】
解：(1)由已知得2b=a+c，
代入正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
∵ 1sinA+1sinC=sinA+sinCsinAsinC
=2sinBsinAsinC=83，
∴ 1tanA+1tanC=csAsinA+csCsinC
=sinAcsC+csAsinCsinAsinC
=sinBsinAsinC=43．
(2)sinB=45，则sinAsinC=35，
即sinA(85−sinA)=35，
解得sinA=1或sinA=35，
当sinA=1时，sinC=35,
a:b:c=sinA:sinB：sinC=5:4:3；
当sinA=35时， sinC=1，
a:b:c=sinA:sinB:sinC=3：4：5.
【考点】
等差中项
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得2b=a+c，
代入正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
∵ 1sinA+1sinC=sinA+sinCsinAsinC
=2sinBsinAsinC=83，
∴ 1tanA+1tanC=csAsinA+csCsinC
=sinAcsC+csAsinCsinAsinC
=sinBsinAsinC=43．
(2)sinB=45，则sinAsinC=35，
即sinA(85−sinA)=35，
解得sinA=1或sinA=35，
当sinA=1时，sinC=35,
a:b:c=sinA:sinB：sinC=5:4:3；
当sinA=35时， sinC=1，
a:b:c=sinA:sinB:sinC=3：4：5.
【答案】
解：(1)由已知得bn+1=an+1n+1=ann+13n，
即bn+1=bn+13n，
∴ bn−bn−1=13n−1，
bn−1−bn−2=13n−2，
⋯
b2−b1=13，
累加得bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1=13+⋯+13n−1，
∴ bn=1+131+⋯+13n−1=1−13n1−13=321−13n ．
∵ n=1时也满足，
∴ bn=321−13n．
(2)由(1)可得an=nbn=32n−n3n，
∴ Sn=321+2+⋯+n−32131+232+⋯+n3n
令Tn=131+232+333+⋯+n3n①，
则13Tn=132+233+334+⋯+n−13n+n3n+1②，
两式相减，即①−②得2Tn3=131+132+133+⋯+13n−n3n+1
=12−12⋅3n−n3n+1=12−2n+32⋅3n+1，
∴ Tn=34−2n+34⋅3n.
又321+2+3+⋯+n=3nn+14,
∴ Sn=3nn+14+2n+38⋅3n−1−98.
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得bn+1=an+1n+1=ann+13n，
即bn+1=bn+13n，
∴ bn−bn−1=13n−1，
bn−1−bn−2=13n−2，
⋯
b2−b1=13，
累加得bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1=13+⋯+13n−1，
∴ bn=1+131+⋯+13n−1=1−13n1−13=321−13n ．
∵ n=1时也满足，
∴ bn=321−13n．
(2)由(1)可得an=nbn=32n−n3n，
∴ Sn=321+2+⋯+n−32131+232+⋯+n3n
令Tn=131+232+333+⋯+n3n①，
则13Tn=132+233+334+⋯+n−13n+n3n+1②，
两式相减，即①−②得2Tn3=131+132+133+⋯+13n−n3n+1
=12−12⋅3n−n3n+1=12−2n+32⋅3n+1，
∴ Tn=34−2n+34⋅3n.
又321+2+3+⋯+n=3nn+14,
∴ Sn=3nn+14+2n+38⋅3n−1−98.
【答案】
解：(1)当n=1时，
a1=S1=12+1=32 .
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=n2+2n2−n−12+2n−12=n+12.
∵ a1=32符合an=n+12，
∴ 数列an的通项公式an=n+12.
(2)由(1)得，an=n+12，
则1anan+1=42n+12n+3=212n+1−12n+3，
∴ Tn=2(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=213−12n+3.
则fn=n−6Tn
=2n−613−12n+3
=4n2−6n32n+3
=4n+322−36n+32+456n+32
=23n+32+152n+32−6≥25−6，
当且仅当23n+32=152n+32时，即n=352−32时，等号成立.
又n∈N∗，
∴ f1=−43，f2=−3221， f3=−43 ，
∴ 当n=2时，fnmin=f2=−3221．
【考点】
数列递推式
数列的求和
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当n=1时，
a1=S1=12+1=32 .
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=n2+2n2−n−12+2n−12=n+12.
∵ a1=32符合an=n+12，
∴ 数列an的通项公式an=n+12.
(2)由(1)得，an=n+12，
则1anan+1=42n+12n+3=212n+1−12n+3，
∴ Tn=2(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=213−12n+3.
则fn=n−6Tn
=2n−613−12n+3
=4n2−6n32n+3
=4n+322−36n+32+456n+32
=23n+32+152n+32−6≥25−6，
当且仅当23n+32=152n+32时，即n=352−32时，等号成立.
又n∈N∗，
∴ f1=−43，f2=−3221， f3=−43 ，
∴ 当n=2时，fnmin=f2=−3221．