2020-2021学年湖南省常德市高二（上）1月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省常德市高二（上）1月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M=−1,0,1, N=0,1,2，则M∪N=( )
A.−1,0,1B.−1,0,1,2C.−1,0,2D.0,1

2. 已知复数z=2i31−i，则z¯=( )
A.−1+iB.1−iC.1+iD.−1−i

3. “sinA=12”是“A=30∘”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 已知a→=4,2，b→=6,y，且a→⊥b→，则y的值为（ ）
A.−12B.−3C.3D.12

5. 若a|b|；②1a>1b；③ab+ba>2；④a2A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 已知α是第二象限角，sinα=513，则csα=( )
A.−513B.−1213C.513D.1213

7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间0,+∞上单调递减的函数是（ ）
A.y=x−2B.y=x−1C.y=x2−2D.y=lg12x

8. cs 40∘sin80∘+sin40∘ sin10∘=( )
A.12B.−32C.cs50∘D.32

9. 已知椭圆x29+y24−k=1的离心率为45，则k的值为( )
A.−21B.21C.−1925或21D.1925或−21

10. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（ ）
A.23B.12C.14D.16
二、填空题

函数y=ax−1+1(a>0，且a≠1）的图象恒过定点________.

抛物线y=8x2的准线方程为________.

等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9，则a1a6=________．

某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生.

已知函数fx=4x−32−lnx，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为________.
三、解答题

已知 |a→|=2， |b→|=3， |a→+b→|=19.求
(1) a→⋅b→ ；

(2)|a→−b→|.

《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市一定年龄的市民进行了汉字听写测试.为了调查被测试市民的基本情况，组织方从参加测试的市民中随机抽取120名市民，按他们的年龄分组：第一组[20, 30)，第2组[30, 40)，第3组[40, 50)，第4组[50, 60)，第5组[60, 70]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；

(2)已知第1组市民中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性群众的概率.

已知函数f(x)=sin(2x−π6)+a，a为常数.
(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈[0, π2]时，f(x)的最小值为−2，求a的值．

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点.

(1)求证：A1C//平面AB1M；

(2)求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；

(3)求点C到平面AB1M的距离.

已知函数f(x)=13x3−32x2−4x+4．
(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[−3, 6]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省常德市高二（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
根据并集的定义M∪N={x|x∈M或x∈N}解答.
【解答】
解：根据并集的定义，M∪N={x|x∈M或x∈N}，
所以M∪N=−1,0,1,2.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：∵ z=2i31−i=−2i1−i
=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，
∴ z¯=1+i．
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
A=30∘⇒sinA=12，反之不成立，例如sin150​∘=12．即可判断出．
【解答】
解：∵ A=30∘⇒sinA=12，成立，故必要性成立，
反之不成立，例如sin150∘=12，故充分性不成立，
∴ “sinA=12”是“A=30∘”的必要不充分条件.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由a→⊥b→⇔a→⋅b→=0即可求解.
【解答】
解：由题意可得4×6+2y=0，
解得y=−12.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
基本不等式
不等式的基本性质
【解析】
对于①，负数越小绝对值越大，则|a|>|b|；对于②若a；对于③若a0,ba>0，根据基本不等式即可得到ab+ba>2，注意不能取到等号；对于④若ab2．
【解答】
解：对于①，根据不等式的性质，可知若a|b|，故正确；
对于②若a0，两边同除以ab，则aab对于③若a0，ba>0，根据基本不等式即可得到ab+ba>2（取不到等号），故正确；
对于④若ab2，故不正确.
综上，正确的有3个.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数间的基本关系
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：csα=−1−sin2α
=−1−5132=−1213.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
根据函数奇偶性和单调性分别进行判断即可得到结论．
【解答】
解：A， y=x−2 为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递减，满足条件；
B，y=x−1=1x是奇函数，在区间(0, +∞)上单调递减，不满足条件；
C，y=x2−2是偶函数，在区间(0, +∞)上单调递增，不满足条件；
D，y=lg12x是非奇非偶函数，在区间(0, +∞)上单调递减，不满足条件.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】
根据两角和的正弦公式即可求出．
【解答】
解：cs 40∘sin80∘+sin40∘ sin10∘
=cs 40∘sin80∘+sin40∘ cs80∘
=sin(40∘+80∘)
=sin120∘
=32.
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
解：当9>4−k>0，即−5所以5+k3=45，解得k=1925，
当9<4−k，即k<−5时，a=4−k，c2=−k−5，所以−k−54−k=45，
解得k=−21，
故选D．
【解答】
解：当9>4−k>0，
解得−5由5+k3=45，解得k=1925，
当9<4−k，
解得k<−5时，a=4−k，c2=−k−5，
即−k−54−k=45，
解得k=−21，
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
确定基本事件的个数，即可求出相应的概率．
【解答】
解：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a，b，c，d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种，符合条件的情况为ab 共1种，故概率为16．
故选D．
二、填空题
【答案】
(1, 2)
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
令a的幂指数x−1=0，可得 x=1，此时求得y=2，由此可得所求的定点坐标．
【解答】
解：令x−1=0，
可得 x=1，
此时求得y=2，
故所求的定点坐标为(1, 2).
故答案为： (1, 2)．
【答案】
y=−132
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．
【解答】
解：∵ 抛物线y=8x2，可化为x2=18y，
∴ 2p=18，
即p=116，
∴ 抛物线的准线方程为y=−132．
故答案为：y=−132.
【答案】
14
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6．
【解答】
解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，
解方程可得，a1=2，d=1，
∴ a1a6=2×(2+5×1)=2×7=14.
故答案为：14．
【答案】
40
【考点】
分层抽样方法
【解析】
试题分析：抽样比为1:10，而C专业的学生有1200−380−420=400人，所以按抽样比抽取40人，故填：40.
【解答】
解：C专业的学生有1200−380−420=400（人），
所以C专业抽取120×4001200=40人.
故答案为：40.
【答案】
7x−y−6=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意得，f′x=32x−24−1x，
∴ f′1=7，f1=1，
∴ 所求切线方程为y−1=7x−1 ．
故答案为：7x−y−6=0．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为|a→+b→|2=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→，
所以192=22+32+2a→⋅b→，解得a→⋅b→=3.
(2)由|a→−b→|2=a→−b→2=a→2+b→2−2a→⋅b→
=22+32−2×3=7，得|a→−b→|=7.
【考点】
平面向量数量积
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为|a→+b→|2=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→，
所以192=22+32+2a→⋅b→，解得a→⋅b→=3.
(2)由|a→−b→|2=a→−b→2=a→2+b→2−2a→⋅b→
=22+32−2×3=7，得|a→−b→|=7.
【答案】
解：(1)设第1组[20,30)的频率为f，则由题意可知，
f=1−0.010+0.035+0.030+0.020×10=0.05，
被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05+0.020×10=0.25，
所以估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.
(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120=6，
所以第1组中共有6名市民，其中女性市民共3名，
记第1组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，
从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，列举如下：
AB，AC，Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz ，xy，xz，yz，
至少有1名女性Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz ，xy，xz，yz，共12个基本事件，
所以从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性的概率为1215=45.
【考点】
频率分布直方图
用频率估计概率
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）设第1组[20,30)的频率为f，利用概率和为1，求出第1组的概率，把第4组加起来即可，
(2)设第1组[20,30)的频数n1，求出n1，记第1组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为∼，
，列出随机抽取2名市民的基本事件，列出至少有1名女性的基本事件，然后求解至少有两名女性的概率．
【解答】
解：(1)设第1组[20,30)的频率为f，则由题意可知，
f=1−0.010+0.035+0.030+0.020×10=0.05，
被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05+0.020×10=0.25，
所以估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.
(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120=6，
所以第1组中共有6名市民，其中女性市民共3名，
记第1组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，
从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，列举如下：
AB，AC，Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz ，xy，xz，yz，
至少有1名女性Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz ，xy，xz，yz，共12个基本事件，
所以从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性的概率为1215=45.
【答案】
解：(1)fx=sin2x−π6+a的最小正周期为T=2π2=π.
(2)当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6, 5π6]，
故当2x−π6=−π6时，函数fx取得最小值，
fx取得最小值为sin(−π6)+a=−12+a=−2，
a=−32.
【考点】
正弦函数的周期性
三角函数的最值
【解析】
(1)利用正弦函数的周期性，求得函数fx的最小正周期．
(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．
【解答】
解：(1)fx=sin2x−π6+a的最小正周期为T=2π2=π.
(2)当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6, 5π6]，
故当2x−π6=−π6时，函数fx取得最小值，
fx取得最小值为sin(−π6)+a=−12+a=−2，
a=−32.
【答案】
(1)证明：连接A1B，设A1B∩AB1=N，连接MN，
∵ ABC−A1B1C1是正三棱柱且AA1=AB，
∴ 四边形A1ABB1是正方形，∴ N是A1B的中点，又M是BC的中点，
∴ MN//A1C,MN⊂平面AB1M,A1C⊄平面AB1M，
∴ A1C//平面AB1M.
(2)解：∵BB1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC，
∴BB1⊥AM,又M是BC的中点，
∴ BC⊥AM，从而AM⊥平面B1BM，平面AB1M⊥平面B1BM，
过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M，
所以∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角.
在Rt△BB1M中，BD=BB1⋅BMB1M=55，
所以sin∠BB1D=BDBB1=55.
直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为55.
(3)解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由(2)知点B到平面AB1M的距离BD=55，即点C到平面AB1D的距离是55.
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面所成的角
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：连接A1B，设A1B∩AB1=N，连接MN，
∵ ABC−A1B1C1是正三棱柱且AA1=AB，
∴ 四边形A1ABB1是正方形，∴ N是A1B的中点，又M是BC的中点，
∴ MN//A1C,MN⊂平面AB1M,A1C⊄平面AB1M，
∴ A1C//平面AB1M.
(2)解：∵BB1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC，
∴BB1⊥AM,又M是BC的中点，
∴ BC⊥AM，从而AM⊥平面B1BM，平面AB1M⊥平面B1BM，
过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M，
所以∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角.
在Rt△BB1M中，BD=BB1⋅BMB1M=55，
所以sin∠BB1D=BDBB1=55.
直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为55.
(3)解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由(2)知点B到平面AB1M的距离BD=55，即点C到平面AB1D的距离是55.
【答案】
解：(1)f′(x)=(x−4)(x+1)，
当x<−1或x>4时，f′(x)>0，
当−1函数f(x)单调递增区间是(−∞, −1)和(4, +∞)，
函数f(x)单调递减区间是(−1, 4).
(2)当x∈[−3, −1)时，f′(x)>0，
当x∈(−1, 4)时，f′(x)<0，
当x∈(4, 6]时，f′(x)>0，
所以f(−3)=−132，f(−1)=376，f(4)=−443，f(6)=−2，
当x=−1时，函数f(x)的最大值为376，
当x=4时，函数f(x)的最小值为−443．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求导，解关于导函数的不等式，即可求得单调区间；
（2）利用函数在x∈[−2, 5]上的单调性情况即可求得最值．
【解答】
解：(1)f′(x)=(x−4)(x+1)，
当x<−1或x>4时，f′(x)>0，
当−1函数f(x)单调递增区间是(−∞, −1)和(4, +∞)，
函数f(x)单调递减区间是(−1, 4).
(2)当x∈[−3, −1)时，f′(x)>0，
当x∈(−1, 4)时，f′(x)<0，
当x∈(4, 6]时，f′(x)>0，
所以f(−3)=−132，f(−1)=376，f(4)=−443，f(6)=−2，
当x=−1时，函数f(x)的最大值为376，
当x=4时，函数f(x)的最小值为−443．