2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x∈Z，lg2x+3>1”的否定是( )
A.∃x0∈Z，lg2x0+3≤1B.∃x0∈Z，lg2x0+3>1
C.∀x∈Z，lg2x+3≤1D.∀x∈Z，lg2x+3≥1

2. 在△ABC中，AB=3，AC=1，B=π6，则A=( )
A.π6或π3B.π3或π2C.π3或2π3D.π6或π2

3. 集合A=x|−1≤x≤1，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B可以是( )
A.x|−1≤x≤1B.x|−1
4. 已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，a1=2．且a1,a3,a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为( )
A.4B.5C.4或5D.5或6

5. 过点P2,0作圆O:x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若A，B恰好在双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3C.2D.5

6. 设x>0,y>0,8xy+2yx+2m−m2>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.−∞,−4∪2,+∞B.−4,2
C.−∞,−2∪4,+∞D.−2,4

7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同．前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为( )
A.161B.155C.141D.139

8. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）抛物线的准线与x轴交于点K，则当|AK||AF|最大时，直线AK的斜率为( )
A.1B.2C.3D.22
二、多选题

已知函数fx=sinωx+csωx的最小正周期是π，则下列判断正确的有( )
A.将函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象
B.函数fx在区间π8,5π8单调递减
C.函数fx的图象关于点−π8,0对称
D.函数fx取最大值时x的取值集合为x|x=kπ+π8,k∈Z

已知椭圆C:x24+y28=1内一点M1,2，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.C的焦点坐标为2,0，−2,0B.C的长轴长为22
C.直线l的方程为x+y−3=0D.|AB|=433

如图所示，AB是半圆O的直径．VA垂直于半圆O所在的平面，VA=3，点C是圆周上不同于A，B的点，CA=3,CB=4，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的有( )

A.MN//平面ABCB.平面VAC⊥平面VBC
C.二面角V−BC−A的大小为30∘D.三棱锥O−VAC的体积为23

已知函数fx=2x2−mx−m2m∈R，则下列命题正确的有( )
A.当m≠0时，fx<0的解集为x|−m2B.当m=1时，∀x1,x2∈[1,+∞)，且x1≠x2时，x1−x2[fx1−fx2]>0
C.∀x1,x2∈(−∞,14m]．且x1≠x2时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)
D.当m<0时，若0x1f(x2)
三、填空题

已知α是第一象限角，且tanα=43，则sin2α=________.

等腰直角△ABC中，∠B=90∘,AB=2，D为AC中点，E为BC中点，则BD→⋅AE→=________ .

已知正三棱柱ABC−A1B1C1的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为24π，则该三棱柱的侧面积的最大值为________.

已知数列{an}满足：an=1,n=1,lgn+2(n+3),n≥2且n∈N∗, 定义使a1⋅a2⋅a3⋯akk∈N∗为整数的k叫做“幸福数”，则区间1,2020内所有“幸福数”的和为________ .
四、解答题

已知a>0．命题p:−a≤x≤2a；命题q:−1
2020年10月26日今日头条有关新冠肺炎海外疫情报道如下：
由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果（阴性或阳性）现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20,40]的有20人．

(1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；

(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；

(3)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3:2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率．

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且b+c2=a2+3bc.
(1)求角A；

(2)若a=4，sinA+sinC−B=2sin2B．求△ABC的面积．

已知数列an的前n项和为Sn，an+Sn=4，设bn=lg2an .
(1)求数列an的通项公式；

(2)判断数列bn是否为等差数列，并说明理由；

(3)求数列1b2n−1b2n+1的前n项和Tn .

已知椭圆E: x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知Q4,0，斜率为k的直线（不过点Q）与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点，若∠OQA=∠OQB，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

设函数fx的定义域为D．若存在x0∈D，使得fx0=x0成立，则称x0为fx的一个“不动点”，也称fx在定义域D上存在不动点．已知函数fx=lg24x−a⋅2x+1+2.
(1)若a=1，求fx的不动点；

(2)若函数fx在区间0,1上存在不动点，求实数a的取值范围：

(3)设函数gx=2−x，若∀x1,x2∈−1,0，都有|fx1− gx2|≤2成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】

【解答】
解：根据特称命题的否定，既否定量词，又否定结论的原则可得：
命题“∀x∈Z，lg2x+3>1”的否定是命题“∃x0∈Z，lg2x+3≤1”．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】

【解答】
解：由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
则3sinC=1sinπ6，
即sinC=32，
则C=π3或2π3 ，
当C=π3时，A=π2;
当C=2π3时， A=π6，
故A=π2或π6．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
集合的包含关系判断及应用
【解析】

【解答】
解：A，B={x|−1≤x≤1}与集合A相等，
“x∈B”是“x∈A”的充分必要条件.
故选项A错误.
B，B={x|−1“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.
故选项B正确.
C，B={x|0“x∈B”既不是“x∈A”的充分条件，也不是必要条件.
故选项C错误.
D，B={x|−2“x∈B”既不是“x∈A”的充分条件，也不是必要条件.
故选项D错误.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比中项
数列与函数的综合
【解析】

【解答】
解：∵ a1,a3,a4 成等比数列，
∴ a32=a1a4，
∴2+2d2=22+3d ，
解得 d=−12，
∴ an=2−n−12=5−n2，
∴ Sn=na1+an2=9n−n24=−14n−922+8116，
当n=4或5时，Sn取得最大值．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
【解答】
解：如图，
由题意可得OA⊥PA，|OP|=2，|OA|=1.
则∠AOP=60∘，则直线OA的斜率为kOA=3 ，
点A在双曲线的渐近线上，
∴ ba=kOA=3，
∴ b=3a，c=2a，则双曲线C的离心率e=2．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
一元二次不等式的解法
【解析】

【解答】
解：由题可得，8xy+2yx+>m2−2m恒成立，
∵ x>0，y>0，
∴ 8xy+2yx≥28xy⋅2yx=8，
当且仅当8xy=2yx，即y=2x时有最小值8，
∴ m2−2m<8恒成立，即m2−2m−8<0，
解得−2故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：∵ 所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x，根据所给定义．用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列．如图：
由图可得 y−36=12,x−107=y, 解得x=155,y=48,
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】

【解答】
解：如图，过A作准线的垂足，垂足为A1．
因为|AF|=|AA1|，所以|AF||AK|=|AA1||AK|=sin∠AKA1．
若|AK||AF|最大，即|AF||AK|最小，则sin∠AKA1最小，
即∠AKA1最小，
数形结合可得，直线AK与抛物线y2=4x相切时，∠AKA1最小，
设直线AK的方程为y=kx+1，且k>0，
由y=kx+1,y2=4x,得k2x2+2k2−4x+k2=0，
由Δ=16−16k2=0，得k=1.
故选A．
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
【解析】
本题考查正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：由题意得，f(x)=2sin2x+π4.
对于A，函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π8个单位得到，故A错误；
对于B，当x∈π8,5π8时，2x+π4∈π2,3π2，则f(x)在π8,5π8上是减函数，故B正确；
对于C，因为f−π8=0，所以函数f(x)图象的一个对称中心为−π8,0，故C正确；
对于D，因为sin2x+π4=1⇒2x+π4=π2+2kπ
⇒x=kπ+π8(k∈Z)，故D正确．
故选BCD．
【答案】
C,D
【考点】
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
直接利用椭圆的方程，得到几何性质，再利用中点弦得到方程及弦长.
【解答】
解：由题可得，a=22，b=2，c=2，
焦点坐标分别为0,−2，0,2，长轴长为2a=42，
故AB错误；
由题意知：直线l的斜率存在，
设l的方程为y=kx+b，Ax1,y1，Bx2,y2，
将M代入得k+b=2，
联立y=kx+b，x24+y28=1，
消去y整理得：k2+2x2+2kbx+b2−8=0，
∴ x1+x2=−2kbk2+2，x1x2=b2−8k2+2，
又点M为线段AB的中点，
∴ x1+x2=2，即−2kbk2+2=2，结合k+b=2，解得k=−1，b=3，
∴ 直线l的直线方程为：x+y−3=0，
∴ |AB|=k2+1x1−x2
=k2+1⋅x1+x22−4x1x2=433.
故CD正确.
故选CD.
【答案】
A,B,C
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】

【解答】
解：A，易知MN//AC，
又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
所以MN//平面ABC，故A正确；
B，由题意得BC⊥AC，
因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以VA⊥BC.
因为AC∩VA=A，
所以BC⊥平面VAC．
因为BC⊂平面VBC，
所以平面VAC⊥平面VBC，故B正确；
C，BC⊥平面VAC，所以VA⊥BC,VC⊥BC，
所以 ∠VCA即为二面角V−BC−A的平面角，
又VA=3,CA=3,所以∠VCA=30∘，故C正确；
D，因为VO−VAC=VV−AOC=12VV−ABC，
S△ABC=12×3×4=6，
所以VO−VAC=12×13×6×3=3，故D错误．
故选ABC．
【答案】
B,C
【考点】
一元二次不等式的解法
函数单调性的判断与证明
中点坐标公式
函数的求值
【解析】

【解答】
解：A，由2x2−mx−m2<0，得x−m2x+m<0，
当m>0时，原不等式的解集为x|−m2当m<0时，原不等式的解集为{x|mB，m=1时， fx=2x2−x−1=2x−142−98，
在[1,+∞）上是增函数，则fx1−fx2x1−x2>0，
即x1−x2fx1−fx2>0，故B正确．
C，fx在(−∞,14m]上单调递减，
当∀x1,x2∈(−∞,14m]时，设Ax1,fx1,Bx2,fx2，
则AB的中点Cx1+x22,fx1+fx22，
又设Dx1+x22,fx1+x22，数形结合可知，
点D位于点C的下方，即fx1+x22D，设gx=fxxx>0，则gx表示y=fx在y轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率，
数形结合可知， gx是增函数，
当0则fx1x1故选BC．
三、填空题
【答案】
2425
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
【解析】

【解答】
解：由题可得，sinαcsα=43，
且sin2α+cs2α=1，
又α为第一象限角，
∴ sinα=45，csα=35，sin2α=2sinαcsα=2425.
故答案为：2425.
【答案】
−1
【考点】
平面向量数量积
【解析】

【解答】
解：以B为原点，BC所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
则B0,0，A0,2，C2,0，D1,1，E1,0，
∴ AE→=1,−2，BD→=1,1，
即AE→⋅BD→=−1 .
故答案为：−1.
【答案】
183
【考点】
球的表面积和体积
基本不等式在最值问题中的应用
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】

【解答】
解：设球的半径为R，则4πR2=24π，解得R=6，
设正三棱柱的底面边长为a，高为ℎ，
则正三棱柱底面正三角形外接圆的半径为33a，
所以13a2+14ℎ2=R2，
由基本不等式可得6=13a2+14ℎ2≥33aℎ，
所以aℎ≤63，当且仅当13a2=14ℎ2时，等号成立．
故该正三棱柱的侧面积为3aℎ，
其最大值为63×3=183.
故答案为：183．
【答案】
1349
【考点】
对数的运算性质
等比数列的前n项和
【解析】

【解答】
解：当k=1时， a1=1为幸福数，符合题意；
当k≥2时， a1a2a3⋯ak
=lg45⋅lg56⋯lgk+2k+3=lg4k+3，
令lg4k+3=m,(m∈Z)，则k+3=4m，
∴ k=4m−3，
由2≤k=4m−3≤2020，
∴ 5≤4m≤2023,
∴ 2≤m≤5，
故“幸福数”的和为
1+42−3+43−3+44−3+45−3
=445−14−1−15=1349.
故答案为：1349．
四、解答题
【答案】
解：记A=x−a≤x≤2a，B=x−1因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A.
于是有−a≤−1,2a≥4，解得a≥2.
故a∈[2,+∞).
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
本题考查充要条件的判断方法以及集合的包含关系中含有参数的问题的解决方法，属基础题.
由条件P记A=x−a≤x≤2a，由条件q记B=x−1则依据p是q的必要不充分条件等价于B⫋A，将问题转化为集合的包含关系，利用数轴即可解得.
【解答】
解：记A=x−a≤x≤2a，B=x−1因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A.
于是有−a≤−1,2a≥4，解得a≥2.
故a∈[2,+∞).
【答案】
解：(1)由频率直方图可知0.0075+0.01×20=0.35，
0.0075+0.01+0.015×20=0.65，
因0.35<0.5<0.65，所以所求中位数在(40,60]，
不妨设中位数为x，
则0.35+x−40×0.015=0.5，得x=50，
所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50.
(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有20人，
设样本中核酸检测呈阴性的人数为n，则n=200.01×20，
即n=100，
用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为
505−100×505101=5(人)．
即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5．
(3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3:2，
所以其中男性为3人，女性为2人．
将其3名男性分别记为1，2，3， 2名女性记为a，b，
从中任选两人的基本事件有1,2,1,3,1,a,1,b,2,3,
2,a,2,b,3,a, (3,b) ,a,b，共10种，
其中至少有一名男性的基本事件有1,2,1,3,1,a，
1,b,2,3,2,a,2,b,3,a,(3,b)共9种.
所以至少选到一名男性的概率P=910.
【考点】
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
用频率估计概率
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】



【解答】
解：(1)由频率直方图可知0.0075+0.01×20=0.35，
0.0075+0.01+0.015×20=0.65，
因0.35<0.5<0.65，所以所求中位数在(40,60]，
不妨设中位数为x，
则0.35+x−40×0.015=0.5，得x=50，
所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50.
(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有20人，
设样本中核酸检测呈阴性的人数为n，则n=200.01×20，
即n=100，
用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为
505−100×505101=5(人)．
即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5．
(3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3:2，
所以其中男性为3人，女性为2人．
将其3名男性分别记为1，2，3， 2名女性记为a，b，
从中任选两人的基本事件有1,2,1,3,1,a,1,b,2,3,
2,a,2,b,3,a, (3,b) ,a,b，共10种，
其中至少有一名男性的基本事件有1,2,1,3,1,a，
1,b,2,3,2,a,2,b,3,a,(3,b)共9种.
所以至少选到一名男性的概率P=910.
【答案】
解：(1)∵ b+c2=a2+3bc，
可得b2+c2−a2=bc，
∴ 由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=12，
∵ A∈0,π，
∴ A=π3 .
(2)∵ sinA+sinC−B=2sin2B，
∴ sinC+B+sinC−B=2sin2B，
∴ sinCcsB+csCsinB+sinCcsB−csCsinB
=4sinBcsB，
可得，csBsinC−2sinB=0，
∴ csB=0，或sinC=2sinB，
①当csB=0时，B=π2，可得c=atanA=43，
∴ S△ABC=12ac=12×4×43=833，
②当sinC=2sinB时，由正弦定理知c=2b，
由余弦定理可得：16=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2，
解得b=433,c=833，
S△ABC=12×433×833×32=833 .
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的面积公式
两角和与差的正弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)∵ b+c2=a2+3bc，
可得b2+c2−a2=bc，
∴ 由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=12，
∵ A∈0,π，
∴ A=π3 .
(2)∵ sinA+sinC−B=2sin2B，
∴ sinC+B+sinC−B=2sin2B，
∴ sinCcsB+csCsinB+sinCcsB−csCsinB
=4sinBcsB，
可得，csBsinC−2sinB=0，
∴ csB=0，或sinC=2sinB，
①当csB=0时，B=π2，可得c=atanA=43，
∴ S△ABC=12ac=12×4×43=833，
②当sinC=2sinB时，由正弦定理知c=2b，
由余弦定理可得：16=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2，
解得b=433,c=833，
S△ABC=12×433×833×32=833 .
【答案】
解：(1)n=1时，得a1=2；
由an+Sn=4，得an−1+Sn−1=4，
两式相减得2an−an−1=0，即anan−1=12，
所以数列an是等比数列，
an=2×12n−1=22−n .
(2)bn=lg2an=2−n，
∵ bn−bn−1=2−n−3−n=−1，
∴ 数列{bn}是公差为−1的等差数列 .
(3)bn=lg2an=2−n，
∴ b2n−1=3−2n，b2n+1=1−2n，
∴ 1b2n−1b2n+1=13−2n1−2n
=12n−32n−1=1212n−3−12n−1，
∴ Tn=121−1−11+1211−13+1213−15+⋯
+1212n−3−12n−1=12−1−12n−1
=−n2n−1 .
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】



【解答】
解：(1)n=1时，得a1=2；
由an+Sn=4，得an−1+Sn−1=4，
两式相减得2an−an−1=0，即anan−1=12，
所以数列an是等比数列，
an=2×12n−1=22−n .
(2)bn=lg2an=2−n，
∵ bn−bn−1=2−n−3−n=−1，
∴ 数列{bn}是公差为−1的等差数列 .
(3)bn=lg2an=2−n，
∴ b2n−1=3−2n，b2n+1=1−2n，
∴ 1b2n−1b2n+1=13−2n1−2n
=12n−32n−1=1212n−3−12n−1，
∴ Tn=121−1−11+1211−13+1213−15+⋯
+1212n−3−12n−1=12−1−12n−1
=−n2n−1 .
【答案】
解：1由题意得：2a=4，解得a=2，
又e=ca=12，则c=1，所以b2=a2−c2=3，
所以E:x24+y23=1.
2设直线AB的方程为：y=kx+m，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x24+y23=1，y=kx+m，
消去y得：3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
∴ x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
又∠OQA=∠OQB，∴ kAQ+kBQ=0，
则y1−0x1−4+y2−0x2−4=0，即kx1+mx1−4+kx2+mx2−4=0，
整理得2kx1x2+(m−4k)x1+x2−8m=0，
代入得2k4m2−12+(m−4k)−8km−8m3+4k2=0，
即4k2m−3m−3k−4k2m=0，即m=−k，
则l:y=kx−k=k(x−1)，
∴ 恒过1,0.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
1利用条件，求出a，b即可求出；
2设出直线y=kx+m，再利用相关关系，得到m=−k，即可得到答案.
【解答】
解：1由题意得：2a=4，解得a=2，
又e=ca=12，则c=1，所以b2=a2−c2=3，
所以E:x24+y23=1.
2设直线AB的方程为：y=kx+m，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x24+y23=1，y=kx+m，
消去y得：3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
∴ x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
又∠OQA=∠OQB，∴ kAQ+kBQ=0，
则y1−0x1−4+y2−0x2−4=0，即kx1+mx1−4+kx2+mx2−4=0，
整理得2kx1x2+(m−4k)x1+x2−8m=0，
代入得2k4m2−12+(m−4k)−8km−8m3+4k2=0，
即4k2m−3m−3k−4k2m=0，即m=−k，
则l:y=kx−k=k(x−1)，
∴ 恒过1,0.
【答案】
解：(1)若a=1时，由fx=x，
得4x−2x+1+2=2x，令2x=t，
则t2−3t+2=0，得t=1或t=2，
即2x=1或2x=2，则x=0或x=1，
则fx的不动点为0和1.
(2)由题意知， fx=x，即4x−a⋅2x+1+2=2x有解，
令2x=t，x∈0,1，则t∈1,2，
则t2−2at+2=t在1,2上有解，
则2a=t2−t+2t=t+2t−1，
当t∈1,2时， y=t+2t在1,2递减，在(2,2]递增，
则y=t+2t∈22,3，
则2a∈22−1,2，即a∈2−12,1.
(3)|fx1−gx2|≤2⇔−2≤fx1−gx2≤2，
即gx2−2≤fx1≤gx2+2，
则gx2max−2≤fx1≤gx2min+2，
又gx在−1,0上是减函数，
则gx2max=g−1=2，gx2min=g0=1，
则0≤fx1≤3，
令2x=t，x∈−1,0，则t∈12,1，1≤t2−2at+2≤8，
则 2a≥t2−6t=t−6t,2a≤t2+1t=t+1t,
又y=t−6t在t∈12,1上递增，则ymax=−5，
又y=t+1t≥2，
则−5≤2a≤2，即−52≤a≤1.
【考点】
函数的求值
函数新定义问题
函数最值的应用
不等式恒成立问题
【解析】



【解答】
解：(1)若a=1时，由fx=x，
得4x−2x+1+2=2x，令2x=t，
则t2−3t+2=0，得t=1或t=2，
即2x=1或2x=2，则x=0或x=1，
则fx的不动点为0和1.
(2)由题意知， fx=x，即4x−a⋅2x+1+2=2x有解，
令2x=t，x∈0,1，则t∈1,2，
则t2−2at+2=t在1,2上有解，
则2a=t2−t+2t=t+2t−1，
当t∈1,2时， y=t+2t在1,2递减，在(2,2]递增，
则y=t+2t∈22,3，
则2a∈22−1,2，即a∈2−12,1.
(3)|fx1−gx2|≤2⇔−2≤fx1−gx2≤2，
即gx2−2≤fx1≤gx2+2，
则gx2max−2≤fx1≤gx2min+2，
又gx在−1,0上是减函数，
则gx2max=g−1=2，gx2min=g0=1，
则0≤fx1≤3，
令2x=t，x∈−1,0，则t∈12,1，1≤t2−2at+2≤8，
则 2a≥t2−6t=t−6t,2a≤t2+1t=t+1t,
又y=t−6t在t∈12,1上递增，则ymax=−5，
又y=t+1t≥2，
则−5≤2a≤2，即−52≤a≤1.