2021届河南省焦作市高三上学期理数第二次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届河南省焦作市高三上学期理数第二次模拟考试试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三上学期理数第二次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.假设 ，那么 〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2
3. 的展开式中有常数项，那么 的值可能是〔    〕
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
4.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 ，那么该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为〔    〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
5. ，那么以下不等式① ；② ；③ ；④ ．其中正确的选项是〔    〕
A. ①②                                     B. ③④                                     C. ②③                                     D. ①④
6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，那么这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
7.函数 ，点 是曲线 相邻的两个对称中心，点 是 的一个最值点，假设 的面积为1，那么 〔    〕
A. 1                                           B.                                            C. 2                                           D. π
8.函数 ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.              B.              C.              D. 
9.在 中，内角 ， ， 的对边 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，且 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
10.点 ， ， 在半径为5的球面上，且 ， ， 为球面上的动点，那么三棱锥 体积的最大值为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
11.点 在直线 上运动，点 在直线 上运动，以线段 为直径的圆 与 轴相切，那么圆 面积的最小值为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
12. ，且满足 ， ，那么 〔    〕
A. 1                                B. 或1                                C. 或1                                D. 1或-1
二、填空题
13.平面向量 ， ，假设 ，那么 ________．
14.假设实数 ， 满足约束条件 ，那么 的取值范围是________.
15.假设函数 有两个零点，那么实数 的取值范围是________．
16.设 为双曲线 上的一个动点，点 到 的两条渐近线的距离分别为 和 ，那么 的最小值为________.
三、解答题
17.数列 的前 项和为 ，且 和 的等差中项为1．
〔Ⅰ〕求数列 的通项公式；
〔Ⅱ〕设 ，求数列 的前 项和 ．
18.如图，直四棱柱 的底面 为平行四边形， ， ， ， ， 是 的中点.

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求直线 和平面 所成角的正弦值.
19.某算法的程序框图如下列图，其中输入的变量 只能是1，2，3， ，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.

〔1〕当输入 和 时，求输出 的值；
〔2〕求输出的 值的分布列；
〔3〕某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出 的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.
20.椭圆 的离心率为 ，一个焦点坐标为 ，曲线 上任一点到点 和到直线 的距离相等．
〔Ⅰ〕求椭圆 和曲线 的标准方程；
〔Ⅱ〕点 为 和 的一个交点，过 作直线 交 于点 ，交 于点 ，且 互不重合，假设 ，求直线 与 轴的交点坐标．
21.函数 ， ， .
〔1〕假设 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，证明： ；
〔2〕假设 ，求 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 〔 为参数〕，直线 的参数方程为 〔 为参数〕．
〔1〕设 与 的夹角为 ，求 ；
〔2〕设 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，以 为圆心， 为半径作圆，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程．
23.函数 ．
〔Ⅰ〕当 时，解不等式 ；
〔Ⅱ〕当 时，假设存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，∴ ，
， ， ，
∴ 。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合分式不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用指数函数的单调性，进而求出集合B，再利用交集的运算法那么求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】设 ，那么 ，
所以 ，解得 ，∴ 。
故答案为：B．

【分析】利用复数与共轭复数的关系，结合复数相等的关系判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
3.【解析】【解答】由题意展开式通项公式为 ，
所以关于 的方程 有正整数解， 必是3的整数倍，只有B满足。
故答案为：B。

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出常数项，进而求出 必是3的整数倍，从而求出n可能的值。
4.【解析】【解答】塔顶是正四棱锥 ，如图， 是正四棱锥的高，

设底面边长为 ，底面积为 ，
， ，∴ ， 是正三角形，面积为 ，
所以 。
故答案为：D．
【分析】塔顶是正四棱锥 ，结合条件和正方形面积公式，进而求出正四棱锥的底面积。再利用条件结合三角形是正三角形，再结合三角形的面积公式，进而求出侧面三角形的面积，从而求出该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比。
5.【解析】【解答】 ，那么 ， ， ，即 .
对于①，由不等式的性质可得 ，①正确；
对于②， ，那么 ，②错误；
对于③，由于函数 在 上为增函数，所以， ，③错误；
对于④，由于函数 在 上为减函数，所以， ，④正确.
故答案为：D.

【分析】利用条件结合不等式的根本性质，再结合幂函数的单调性和指数函数的单调性，进而找出正确的选项。
6.【解析】【解答】从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为 ，这3只鞋子中任意两只都不成双，选取的方法为 ，所以所求概率为 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而求出这3只鞋子中任意两只都不成双的概率。
7.【解析】【解答】由题意 ，所以 ，即周期为 ，
所以 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合三角形面积公式和正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值。
8.【解析】【解答】定义域是 ， ， 是偶函数，
又因为 ，设 ，
那么 ，∴ 是 上的增函数，
时， ，即 ， 是增函数．
由 得 ，∴ ，解得 或 。
故答案为：A．

【分析】利用偶函数的定义判断函数为偶函数，再利用求导的方法判断函数的单调性为增函数，再结合偶函数的性质和增函数的性质，进而解绝对值不等式，从而求出不等式 的解集。
9.【解析】【解答】∵ ，所以 ，
由正弦定理得 ，
又因为 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，即 ，
由 ，解得 ，
。
故答案为：B．

【分析】利用条件结合正弦定理得出，再利用条件结合等差中项公式和三角形周长公式，得出，进而解方程组求出a,b,c的值，再利用余弦定理求出角B的余弦值。
10.【解析】【解答】如图，因为 是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，

由 ， ，得 ，那么 ，
， ，
， ，
又 ，
所以最大的 。
故答案为：A．

【分析】因为是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，由 ， ，结合余弦函数的定义得 ，再利用同角三角函数根本关系式得出 ，再利用正弦函数的定义求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长，进而求出PM的长，再利用三角形面积公式结合三棱锥体积公式，进而求出三棱锥 体积的最大值。
11.【解析】【解答】设两直线交点为 ，由于两直线的斜率分别为 和 ，因此它们垂直，那么以 为直径的圆过点 ，
由 ，解得 ，即 ，
过 作 轴垂线 ， 为垂足，

为圆与 轴切点时圆半径最小，此时 即为圆直径，所以圆半径为 ，面积为 。
故答案为：C．

【分析】设两直线交点为 ，由于两直线的斜率分别为 和 ，因此它们垂直，那么以 为直径的圆过点 ，再利用两直线求交点的方法，联立两直线方程求出交点M的坐标，过 作 轴垂线 ， 为垂足，点为圆与 轴切点时圆半径最小，此时 即为圆直径，进而求出圆的半径长，再利用圆的面积公式求出圆 面积的最小值 。
12.【解析】【解答】∵ ，∴ ， ，
， ， ，
∴ ， ，
，
当 时， ，
当 时， 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合两角和与差的正弦公式和余弦公式，进而利用角之间的关系式，从而结合分类讨论的方法，进而求出的值。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为： 。

【分析】利用条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出的值。
14.【解析】【解答】作出可行域，如图 内部〔含边界〕， 表示出可行域内点与原点连线斜率，由得 ， ， ，

所以 ，
，记 ，由勾形函数性质知 在 上递减，在 上递增，
， ， ，∴ 。
故答案为： 。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用目标函数 的几何意义，进而利用最优解和几何法求出 的取值范围 。
15.【解析】【解答】 函数 有两个零点，
有两个解，
那么 或 都有解，
，解得 ，
故 的取值范围是〔1，+∞〕。
故答案为：〔1，+∞〕。

【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，那么函数 有两个零点，所以有两个解，那么 或 都有解，进而求出实数a的取值范围。
16.【解析】【解答】双曲线的渐近线方程是 ，设 是双曲线上任一点，
不妨设 ， ， ，
∵ 在双曲线上，∴ ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 或 时等号成立，
∴ 的最小值为 。
故答案为： 。

【分析】利用双曲线的标准方程求出渐近线方程，设 是双曲线上任一点，再利用点到直线的距离公式求出点 到 的两条渐近线的距离分别为 和 ，进而求出，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值 。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1)利用等差中项公式结合条件，再利用与的关系式，再结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，判断出数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 进而利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式和 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合余弦定理和勾股定理，进而证出线线垂直，即，在直四棱柱 中，那么平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
 再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
〔2〕 由〔1〕知， ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如下列图的空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 和平面 所成角的正弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合程序框图的顺序结构条件结构和循环结构，进而求出输出y的值。
〔2〕利用条件结合程序框图的顺序结构条件结构和循环结构，进而结合概率公式求出输出y的分布列。
〔3〕利用条件结合程序框图的顺序结构条件结构和循环结构，进而求出输出的y的值，再结合输出y的值与频率的关系得出程序输出 的值为1，2，3的频率分别为 ， ， ，可近似地认为都是 ，与〔2〕中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确 。
20.【解析】【分析】(1)利用椭圆 的离心率为 ，一个焦点坐标为 ， 进而求出c的值，再结合离心率公式，进而求出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆 的标准方程，再利用曲线 上任一点到点 和到直线 的距离相等，结合代入法和点到直线的距离公式，进而求出抛物线 的标准方程。
〔2〕利用点 为 和 的一个交点，过 作直线 交 于点 ，交 于点 ，且 互不重合，联立椭圆和抛物线的标准方程、直线和抛物线的标准方直线与椭圆的方程，进而求出交点P,Q,R的坐标， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用条件 结合向量相等的坐标表示，进而求出直线的方程，再联立直线与x轴所在的直线方程，进而求出直线 与 轴的交点坐标。
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数f(x)和函数g(x)的解析式，再利用求导的方法求出曲线 在点 处的切线的斜率和曲线 在点 处的切线的斜率，再利用点斜式求出两曲线的切线方程，再利用曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，从而证出 。
〔2〕 令 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而结合条件 ， 从而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕 设直线 和 的倾斜角分别为 和 ， 由参数方程知 ， ，所以， 和 均为钝角，且 ， 再利用两角差的正切公式，进而求出 的值。
〔2〕 设 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，以 为圆心， 为半径作圆，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 分别联立直线 和 与x轴所在直线方程，进而求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出圆 的极坐标方程。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a的值结合零点分段法，进而求出绝对值不等式 的解集。
〔2〕利用a的值结合绝对值三角不等式，进而求出函数的最小值， 因为存在实数 ，使得 成立，所以 ，进而求出实数m的取值范围。