2021届江西省高三下学期理数二模试卷及答案

这是一份2021届江西省高三下学期理数二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，且 ，那么 〔    〕
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2
2. ，且 (其中 为虚数单位)，那么 〔    〕
A. -2                                          B. -4                                          C. 2                                          D. 4
3.某几何体的三视图如下列图，图中圆的半径都为1，那么此几何体的体积为〔  〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. π
4. 是抛物线 ： 的焦点，假设点 在抛物线上，那么 〔    〕
A. 3                                      B.                                       C. 4                                      D. 
5.根据下面给出的某地区2021年至2021年环境根底设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的选项是〔    〕
年份
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
投资额/亿元
47
53
56
62
122
140
156
A. 该地区环境根底设施投资额逐年增加
B. 2021年该地区环境根底设施投资增加额最大
C. 2021年和2021年该地区环境根底设施投资总额比2021年至2021年的投资总额小
D. 2021年该地区环境根底设施投资增加额相比2021年有所减少
6.函数 的图象为〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
7.定义在R上的函数f(x)，那么" 的周期为2"是" "的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
8.的展开式中 的系数为〔    〕
A. 5                                       B. 30                                       C. 1080                                       D. 2160
9.如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 ，…的图形之一，此图形中 的余弦值是〔    〕

A.                               B.                               C.                               D. 
10.动直线 与圆 相交于A，B两点，圆 以下说法：① 与 有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为 .其中正确的个数是〔    〕
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
11.定义：假设存在n个正数 ，使得 ，那么称函数 为“n阶奇性函数〞.假设函数 是“2阶奇性函数〞，那么实数m的取值范围是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
12.函数 的一个周期的图象如下列图，其中 ，那么 〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
二、填空题
13.设 ， 为非零向量，且 ，那么 ， 的夹角为________.
14.假设x，y满足约束条件 ，那么 的最大值是________.
15.F是双曲线 的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，假设A为线段FH的中点，那么双曲线的离心率为________.
16.如图，在平行六面体 中，所有棱长均为a，且 ，点E在楼 上，且 ，平面α过点E且平行于平面 ，那么平面α与平行六面体 各外表交线围成的多边形的面积是________.

三、解答题
17.正项数列 的前n项和为 ，且 .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前n项和 .
18.如图，四边形ABCD是菱形， ，四边形BDEF是平行四边形，

〔1〕求证： 平面ABCD；
〔2〕求二面角A-DE-B的余弦值.
19.在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表；
成绩分组
[4，5)
[5，6)
[6，7)
[7，8)
[8，9)
[9，10]
频数
5
18
28
26
17
6
[附：假设 ，那么 ， ，结果取整数局部]
〔1〕求抽取的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
〔2〕这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布 (其中 近似为样本平均数 近似为样本方差 )，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？
〔3〕样本中成绩在[9，10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与期望 .
20.如图，椭圆E： 的离心率为 ，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线 过点B且垂直于x轴，直线AP与 交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为 .

〔1〕求椭圆E的标准方程；
〔2〕设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为 ，△BQR的面积为 ，试判断 是否为定值，假设是定值，求出这个定值，假设不是定值，求 的取值范围.
21.函数 .
〔1〕当b=0时，讨论函数f(x)极值点的个数；
〔2〕当 时，都有 ，求实数a的取值范围.
22.在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 和 的直角坐标方程；
〔2〕点 ，曲线 与 相交于A，B两点，求 .
23.函数 .
〔1〕求证： ；
〔2〕当 时， 恒成立，求m的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
由 可得a=0，
故答案为：B.

【分析】 可求出集合A，然后得出∁RA={x|x≤1}，并求出B={x|x＞a}，然后根据〔∁RA〕∩B=〔0，1]即可求出a的值．
2.【解析】【解答】 ， ，解得： ，
.
故答案为：B.

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．
3.【解析】【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 个球，

那么该几何体的体积为 .
故答案为：D

【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．
4.【解析】【解答】∵点 在抛物线上，
，那么 ，
又抛物线C： 的焦点 ，故 ．
故答案为：C

【分析】 点的坐标代入抛物线方程，求出x0 ， 利用抛物线的定义转化求解即可.
5.【解析】【解答】A,B,D根据题中的信息很明显是正确的.
2021年和2021年该地区环境根底设施投资总额为262亿元，2021年至2021年的总额为218亿元.所以C不符合题意.
故答案为：C.

【分析】 由题中给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可.
6.【解析】【解答】函数的定义域为 ， ，
所以 ，
所以 ，故 为奇函数，
由 ，B选项不正确；
故答案为：D.

【分析】 先判断函数的奇偶性，再计算f〔π〕的值，并与0比较大小，即可得解．
7.【解析】【解答】解：当 成立时，有 ，那么f(x)的周期为2，
所以" "是" 的周期为2"的必要条件，
而当 时，f(x)的周期为2，那么x取整数时， ， 无意义.
所以" 的周期为2"是" "的必要不充分条件，
故答案为：B．

【分析】 根据函数对称性的定义，举实例，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
8.【解析】【解答】解： 表示5个因式 的乘积，所以它的展开式中含 的项是由其中一个因式取 ，其中两个因式取 ，剩下的两个因式取 得到的，
所以 的系数为 ，
故答案为：C

【分析】 根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得的系数．
9.【解析】【解答】在△ABC中， ,
在 BCD中， ，
在 BAD中， .
故答案为：C

【分析】 由题意在BCD中可求， 由余弦定理可得BD，进而根据余弦定理可求  的余弦值.
10.【解析】【解答】原点到直线 的距离 ，
因为圆 的半径为1且原点为其圆心，∴直线 与圆 相切，故①正确；
原点为圆 的圆心，故 ，∴线段AB的长度为定值，故②正确；
设 的中点为 ，那么 ，故线段AB的中点轨迹为 ，故③正确.
故答案为：D.

【分析】 根据直线和圆的关系判断①，②，结合圆的对称性判断③，从而求出答案.
11.【解析】【解答】依题意，方程 有且只有两个正根，
即 有且只有两个正根，
方程可以化为： ，因此转化为
函数 与 在y轴右侧的图象有两个交点，
先研究函数 的图象，因为 ，
当 时， ；当 时，
且当x=1时，y=0，y'=1，在x=1处切线的斜率是1，简图如下列图：

直线 过点(1，0)斜率为m，由图像有两个交点，可以得到m>0且 .
故答案为：D

【分析】 由题意将问题转化为函数与 在y轴右侧的图象有两个交点，然后分析出函数的性质，画出图象，利用数形结合即可求解.
12.【解析】【解答】由 ，
由 ，
又因为周期 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为在图示周期里， ，
那么点 关于直线x=4对称，
所以设 ，
那么 ，
又 ，
所以
.
故答案为：A.

【分析】 由题意求得φ、ω的值，写出函数f〔x〕的解析式，求图象的对称轴，可得点关于直线x=4对称，设 ，可得，计算可得，从而可求得 的值．
二、填空题
13.【解析】【解答】由 ，平方得到 ，所以 夹角为 ，
故答案为： .

【分析】 根据题意，平方得到 ， 由向量垂直的性质分析可得答案.
14.【解析】【解答】由题意作出可行域，如下列图：

由 的点 ，
所以 当 时 .
故答案为：2.

【分析】 画出满足条件的平面区域，结合图象求出z的最大值即可.
15.【解析】【解答】由题意，不妨设过右焦点F作渐近线 的垂线FH，可得FH的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，即点H的坐标为 ，
由中点公式得到点 ，代入双曲线方程，
得到 ，整理的 ，即 ，所以 .
故答案为： .

【分析】 设一渐近线方程为 ,那么FH的方程为 ， 代入渐近线方程求得A的坐标，再把点A的坐标代入双曲线求得离心率．
16.【解析】【解答】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN，

，且六边形内角均为 ，
连接EG，GM，ME，可知△EGM为等边三角形，
，
所以面积为 .
故答案为： ．

【分析】 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN然后画出图形，且，且六边形内角均为 ，进而可以求解.
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 根据条件可得数列  是以  为首项，2为公差的等差数列 ，再求出通项公式；
〔2〕利用分组法求出数列  的前n项和 .
18.【解析】【分析】〔1〕 证明FD垂直于平面ABCD内相交直线AC和BD即可；
〔2〕求出平面 BDE的法向量 ，用向量法计算二面角 A-DE-B的余弦值.
19.【解析】【分析】 〔1〕由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式即可求出抽取的样本平均数；
〔2〕根据正态分布的性质即可合格的人数；
〔3〕 的可能取值为1，2，3 分别求出对应的概率，即可求解分布列和期望.
20.【解析】【分析】〔1〕由离心率为 ， 即当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为 ，列方程组解得a,b,即可得出答案；
〔2〕 设  ，那么 ① ，写出直线AP的方程，令 时，得Q坐标，由 QR⊥BR ，推出 ， 写出直线RQ的方程，进而得A，B两点到直线RQ的距离分别为  ，推出 ，即可得出答案。
21.【解析】【分析】〔1〕 ，分析得  的正负， f(  ) 的单调性，进而可得 f(  ) 的极值点；
〔2〕 依题意  对任意的  恒成立， 记 ， 只需  ，  时， ，即可求出 实数a的取值范围 。
 
 
22.【解析】【分析】 〔1〕直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果。
23.【解析】【分析】〔1〕由绝对值不等式的性质和根本不等式，注意等号成立的条件即可得证；
〔2〕由参数别离和二次函数的最值求法，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围。