江西省八校2023届高三上学期理数一模试卷【含答案】

 高三上学期理数一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．若复数则复数的虚部为（　　）

A．1 B． C．i D．

3．下列说法正确的是（　　）

A．“，”的否定形式是“，”

B．若函数为奇函数，则.

C．两个非零向量，，是的充分不必要条件

D．若，则

4．要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（　　）

A． B． C． D．

5．函数 的图像大致为(　　)

A． B．

C． D．

6．防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．设，数列中，，，，则下列选项正确的是（　　）

A．当，时，则

B．当，时，则

C．当，时，则

D．当，时，则

8．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（　　）

A． B． C． D．

9．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．已知双曲线：的左焦点为F，右项点为A，点B在C的一条渐近线上，且（点O为坐标原点），直线FB与y轴交于点D.若，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

11．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（　　）

A．存在点E、使得A、、D、四点共面；

B．存在点E，使；

C．存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为；

D．存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值.

12．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为　     　.

14．已知，则的展开式中项的系数是　     　.（用数字作答）

15．已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，若正三棱柱的侧面积为12，则球的表面积的最小值是　     　.

16．已知函数，若存在极小值点，则的最大值为　     　.

三、解答题

17．设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

（1）证明：；

（2）求的最小值.

18．2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响.

（1）求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；

（2）用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差.

19．如图所示，四边形ABCD为菱形，，二面角为直二面角，点E是棱AB的中点.

（1）求证：；

（2）若，，当二面角的余弦值为时，求直线PE与平面PAC所成的角正弦值.

20．已知椭圆：经过点，点为椭圆C的右焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作两条斜率都存在且不为的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交、，直线与椭圆相交、两点，求四边形的面积S的最小值.

21．已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.

（1）求实数的取值范围：

（2）若的两个零点分别为，证明：

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线方程为

（1）写出的极坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）点A为曲线C上一动点，点B为直线上一动点，求的最小值.

23．已知函数 ， ． 

（1）当 时，求不等式 的解集；  

（2）设 ，且当 ， ，求 的取值范围．  

1．B

2．A

3．D

4．B

5．B

6．B

7．D

8．B

9．A

10．B

11．C

12．D

13．

14．240

15．

16．-2

17．（1）证明：由

∴得，

即，又，

∴

则由正弦定理，得.

（2）解：由（1）有，则

则由余弦定理得，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

18．（1）解：每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题，

所以每个同学成为宣传员的概率为，

因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概率均为，

所以甲、乙、丙三名同学恰有两位同学通过测试的概率为.

（2）解：因为每个人成为宣传员的概率均为，故为独立重复试验，又随机变量表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生次的概率，所以随即变量满足二项分布，

所以，.

19．（1）证明：如图所示，设点F是棱AD的中点，连PF，EF，BD，

由及点F是棱AD的中点，可得，

又二面角为直二面角，即平面平面，平面，平面平面，

所以平面ABCD，

又因为平面ABCD，所以，

又因为四边形ABCD为菱形，所以，

而EF是的中位线，所以，可得，

又由，且平面，平面，所以平面

又因为平面，所以.

（2）解：设点O是AC与BD的交点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点О垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，，，

则，，

设平面PAC的法向量为，

则，

取，可得，，即，

又因为平面ABC的一个法向量为，由二面角的余弦值为，

得，解得，

则，，，，

设直线PE与平面PAC所成的角为，

则，

所以直线PE与平面ABCD所成的角正弦值为.

20．（1）解：由题意可得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）解：设直线的方程为，

联立得：，，

设，，则，，

所以

，

同理可得，

则，

当且仅当，即时取等号.

所以四边形的面积S的最小值为.

21．（1）解：的定义域为.

由题意可得，有2个零点，

令，则在时恒成立，故在上单调递增，

所以有2个零点可转化为有2个零点，

因为，由可得，由可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

若，则，此时恒成立，函数没有零点，

若，则，函数有且仅有一个零点，

若，则，因为，所以在上恰有一个零点，

令，则，

令，则，故为增函数，

所以，即，故为增函数，

所以，即，所以，所以，

所以在上恰有1个零点，

故 在和上各有1个零点，符合题意.

综上所述，的取值范围为.

（2）证明：由（1）可知，有两个零点，设为和，则，，

要证，只要证，即证，即证，

又，，所以，，

所以，只要证，

设，令，，所以只要证，即证，

令，，则，

所以在上为增函数，∴，

即当时，，所以，

即，故.

22．（1）解：将代入得的极坐标方程为：，

由得，

所以曲线C的普通方程.

（2）解：设点，因为，所以，所以，

依题意可知，的最小值就是点到直线的距离的最小值，

设点到直线的距离为，

则，

当且仅当时，等号成立，所以.

23．（1）解：当 时，不等式 化为：

当 时，不等式化为 ，解得：

当 时，不等式化为 ，解得：

当 时，不等式化为 ，解得：

综上，原不等式的解集为

（2）解：由 ，得 ，

又

则

不等式 化为：

得 对 都成立     ，解得：

又 ，故 的取值范围是